| |
| Autor |
  Einheitskreis: Abgeschlossenheit, innere Punkte, Rand bestimmen |
|
Farbspiel
Aktiv 
Dabei seit: 12.06.2022
Mitteilungen: 68
 |  Themenstart: 2023-02-08
|
Hat der Einheitskreis
$S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2=1\}$ innere Punkte? Ist $S$ abgeschlossen? Dann will ich den Rand bestimmen.
$S$ ist abgeschlossen:
Betrachten wir die Menge $S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; x^2+y^2=1\}$. Betrachte eine konvergente Folge $(x_n,y_n)$ in $S\subset\mathbb{R}^2$ mit $(x_n,y_n)\rightarrow (x,y)\subset \in\mathbb{R}^2$. Wegen $(x_n,y_n)\in S$ folgt insbesondere $x_n^2+y_n^2=1$ für alle $n\in\mathbb{N}$. Daher ist $x_n^2+y_n^2$ eine konstante Folge. Da $x_n^2+y_n^2\rightarrow x^2+y^2$ erhalten wir $x^2+y^2=1$. Also $(x,y)\in S$ q.e.d.
Also ist der Abschluss von $\overline{S}=S$
Der Rand des Einheitskreises ist $\partial S=\overline{S}\setminus S^{\circ}$. Nun bin ich mir bei den inneren Punkten unsicher:
$S^{\circ}=\{(a,b)\in S| \exists r>0: U_r((a,b))\subset S\} $
Ich habe mir die Aufgabe selbst ausgedacht, als Übung für die Klausur. Es hängt ja zunächst auch davon ab welche Metrik $d$ man benutzt, ich weiß nicht ob ich die festlegen muss oder ob ich für eine beliebige Metrik eine Aussage über $S^{\circ}$ machen kann.
Ich glaube, dass es keine inneren Punkt von $S$ gibt, wenn ich mir das bildlich vorstelle, aber ich weiß nicht, wie ich das formal zeigen kann.
Mein Ansatz war anzunehmen, dass es einen inneren Punkt $(a,b)\in S^{\circ}$ gibt, also insbesondere ein $r>0$ existiert mit $U_r((a,b))=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| d((a,b),(x,y))
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2050
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-08
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-02-08 17:38 - Farbspiel im Themenstart)
[...] Es hängt ja zunächst auch davon ab welche Metrik $d$ man benutzt, ich weiß nicht ob ich die festlegen muss oder ob ich für eine beliebige Metrik eine Aussage über $S^{\circ}$ machen kann. [...]
\quoteoff
Das hängt, wie wir schon mehrmals herausgefunden haben, immer von der jeweiligen Topologie ab. Du musst zuerst sagen, auf welche Topologie du dich beziehst. Davor ergibt das Konzept "offen" oder "abgeschlossen" oder "Rand" keinen Sinn.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Farbspiel
Aktiv
Dabei seit: 12.06.2022
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-08
|
\quoteon(2023-02-08 17:53 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Das hängt, wie wir schon mehrmals herausgefunden haben, immer von der jeweiligen Topologie ab. Du musst zuerst sagen, auf welche Topologie du dich beziehst. Davor ergibt das Konzept "offen" oder "abgeschlossen" oder "Rand" keinen Sinn.
\quoteoff
Erstmal findet alles im $\mathbb{R}^2$ statt.
Ja, sry. Meine Vorstellung war, dass ich es vielleicht irgendwie mit den Eigenschaften einer Metrik für alle metischen Räume zeigen kann.
Es gibt ja zum Beispiel bei Normen im $\mathbb{R}^n$ den Satz, dass alle Normen in $\mathbb{R}^n$ äquivalent sind, also die selben offenen Mengen besitzen. Bei Metriken ist das allerdings -glaube ich - nicht so.
Dann nehme ich mal die euklidische Metrik $d: \mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}, d((x,y),(a,b))=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} $, welche durch die euklidische Norm induziert wird.
Zeige ich jetzt, dass $S$ keine inneren Punkte hat, gilt, dann gilt es für alle Metriken, welche durch eine Norm induziert werden.
So etwas ist ja dann schon eine ziemlich allgemeine Aussage.
Versuch der zu nichts führte:
Angenommen es existiert $(a,b)\in S^{\circ}$, also insbesondere ein $r>0$ mit $U_r((a,b))=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| d((a,b),(x,y))
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2050
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-08
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
es ist denke ich einfacher hier ein direktes Argument zu machen. Man nehme einen Punkt $p\in S$ und ein $r>0$. Jetzt muss man eigentlich nur einen Punkt $\tilde p$ mit $d(p,\tilde p)\(\endgroup\)
|
Profil
|
Farbspiel
Aktiv
Dabei seit: 12.06.2022
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-09
|
\quoteon(2023-02-08 20:24 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Hallo,
Man nehme einen Punkt $p\in S$ und ein $r>0$. Jetzt muss man eigentlich nur einen Punkt $\tilde p$ mit $d(p,\tilde p)0$ mit $|a+b|> |\frac{r}{2}|$ beliebig. Wähle $p_r=(a+\frac r2,b+\frac r2)$, dann gilt $$d(p,p_r)=d((a,b),(a+\frac r2,b+\frac r2))=\sqrt{(a-(a+\frac r2))^2+(b-(b+\frac r2))^2}=\sqrt{(
\frac r2)^2+(\frac r2)^2}=\sqrt{2(\frac r2)^2}=\sqrt{
\frac{r^2}{2}}=r\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac r2 |\frac{r}{2}|$.
Daher ist $p_r\notin S$. Für jedes $r'>0$ kann man also ein $r
|
Profil
|
Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7081
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-09
|
Die Idee ist richtig. In der Ungleichungskette hat sich ein Fehler eingeschlichen $\sqrt{2}\not<1$.
Man macht sich das Leben leichter, wenn man $p_r=(a\cdot(1+r/2), b\cdot(1+r/2))$ wählt.
|
Profil
|
Farbspiel
Aktiv
Dabei seit: 12.06.2022
Mitteilungen: 68
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-09
|
\quoteon(2023-02-09 18:41 - Kitaktus in Beitrag No. 5)
Die Idee ist richtig. In der Ungleichungskette hat sich ein Fehler eingeschlichen $\sqrt{2}\not<1$.
Man macht sich das Leben leichter, wenn man $p_r=(a\cdot(1+r/2), b\cdot(1+r/2))$ wählt.
\quoteoff
Stimmt, danke, aber $r\frac{\sqrt{2}}{2}
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2050
Wohnort: Köln
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-02-12
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-02-08 20:06 - Farbspiel in Beitrag No. 2)
Es gibt ja zum Beispiel bei Normen im $\mathbb{R}^n$ den Satz, dass alle Normen in $\mathbb{R}^n$ äquivalent sind, also die selben offenen Mengen besitzen. Bei Metriken ist das allerdings - glaube ich - nicht so.
\quoteoff
Dazu noch: Selbst wenn es so ein Resultat geben würde (was es für Metriken aber nicht gibt), dann müsstest du immer noch mindestens die Information geben, dass du dich auf die Topologie beziehst, die von einer Metrik erzeugt wird.
Die Begriffe "offen" und "abgeschlossen" etc. beziehen sich auf die Topologie (also die offenen Mengen). Auch im $\mathbb R^n$ gibt es Topologien, die nicht von einer Metrik (und damit auch nicht von einer Norm oder einem Skalarprodukt) induziert werden. Ein ganz einfaches Beispiel ist die indiskrete Topologie $\lbrace \emptyset, \mathbb R^n\rbrace$.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
Farbspiel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Farbspiel hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. | | Farbspiel wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
