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Lineare Algebra » Lineare Abbildungen » Aufgabe: simultan diagonalisierbar
Autor
Universität/Hochschule Aufgabe: simultan diagonalisierbar
Charly02
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 18.01.2023
Mitteilungen: 8
  Themenstart: 2023-02-09

Hallo, ich hab Mal wieder eine Aufgabe, bei der ich etwas unsicher bin: Sei \(K\) ein Körper. Seien \(f,g: K^n \rightarrow K^n\) zwei \(K\)-lineare Abbildungen. Wenn es eine Basis \(B\) von \(K^n\) gibt, deren Vektoren sowohl Eigenvektoren von \(f\) wie auch Eigenvektoren von \(g\) sind, so sagt man, dass \(f\) und \(g\) simultan diagonalisierbar sind. Man zeige: Wenn \(f\) und \(g\) simultan diagonalisierbar sind, dann ist \(f \circ g = g \circ f\). Dazu hab ich jetzt folgendes: Sei \(B=\{v_1,v_2,...,v_n\}\) eine Basis aus Eigenvektoren der linearen Abbildungen \(f,g: K^n \rightarrow K^n\) mit \(f(v_1) =b_1v_1\),\(g(v_1)=c_1v_1\) und \(x = \sum\limits^n_{i=1} a_iv_i\). Dann gilt \(f \circ g(x)=f(g(x))=f(g(\sum\limits^n_{i=1} a_iv_i))=f(\sum\limits^n_{i=1} g(a_iv_i))=f(\sum\limits^n_{i=1} a_ig(v_i))=f(\sum\limits^n_{i=1} a_ic_iv_i)=\sum\limits^n_{i=1} f(a_ic_iv_i)=\sum\limits^n_{i=1} a_ic_if(v_i)=\sum\limits^n_{i=1} a_ic_ib_iv_i=\sum\limits^n_{i=1} a_ib_ic_iv_i=\sum\limits^n_{i=1} a_ib_ig(v_i)=\sum\limits^n_{i=1} g(a_ib_iv_i)=g(\sum\limits^n_{i=1} a_ib_iv_i)=g(\sum\limits^n_{i=1} a_if(v_i))=g(\sum\limits^n_{i=1} f(a_iv_i))=g(f(\sum\limits^n_{i=1} a_iv_i))=g(f(x))=g \circ f(x)\). Ist das so alles richtig oder gibt es hier etwas, was verbessert werden sollte? Ich bin für jeden Tipp dankbar 😊 Liebe Grüße Charly

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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten
darkhelmet
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2680
Wohnort: Bayern
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-10

Hi, zumindest für meine Augen muss es $(f\circ g)(x)$ heißen und nicht $f\circ g(x)$. Der Beweis ist korrekt. Übersichtlicher wird es, wenn du zunächst $(f\circ g)(v)=(g\circ f)(v)$ nur für jeden Vektor $v$ zeigst, der Eigenvektor von $f$ und $g$ ist. Dann sind $f\circ g$ und $g\circ f$ zwei lineare Abbildungen, die auf einer Basis übereinstimmen, also gleich.

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