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| Autor |
  Was für eine Art Relation ist die Umkehrrelation einer surjektiven linkstotalen Relation? |
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IVmath
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 |  Themenstart: 2023-02-12
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Hallo,
was für eine Art Relation ist die Umkehrrelation einer surjektiven linkstotalen zweistelligen Relation (surjektiven Multifunktion)?
Ich komme zu dem Ergebnis, dass es ebenfalls wieder eine surjektive linkstotale Relation (surjektive Multifunktion) ist. Liege ich da richtig?
Wie kann man das beweisen?
Muss das bewiesen werden, oder ist das trivial oder Mathematikern allgemein bekannt?
Vielen vielen Dank.
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thureduehrsen
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-12
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Stelle deinen Beweis doch mal vor, dann wird sich zeigen, ob er durchgeht.
mfg
thureduehrsen
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IVmath
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-12
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\quoteon(2023-02-12 13:59 - thureduehrsen in Beitrag No. 1)
Stelle deinen Beweis doch mal vor, dann wird sich zeigen, ob er durchgeht.
\quoteoff
Ich bin ja kein Mathematiker und kein Student. Ich habe keine Idee, wie man bei einem Beweis dafür herangehen könnte.
Ich habe mir Mengenbildchen ähnlich wie im Wikipedia-Artikel aufgemalt und das daraus hergeleitet.
Ich weiß nicht, wie ich aus
$$\left(\forall b\in B\; \exists a\in A\colon\; (a,b)\in R\right)\land \left(\forall a \in A\; \exists b\in B\colon\; (a,b)\in R\right)$$
die Eigenschaften der Umkehrrelation herleiten kann.
Die Negation könnte ich bilden, aber wie die Umkehrrelation?
Könnt Ihr mir bitte helfen?
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thureduehrsen
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-12
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Du hast doch schon den Abschnitt des WP-Artikels zur surjektiven linkstotalen Relation gefunden. Also sollte es kein Problem sein, indemselben Artikel den Abschnitt zur Umkehrrelation zu finden und damit zu arbeiten.
\quoteon(2023-02-12 14:25 - IVmath in Beitrag No. 2)
Ich bin ja kein Mathematiker und kein Student.
\quoteoff
Dann werde Mathematiker. Student musst du dafür nicht unbedingt sein.
mfg
thureduehrsen
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IVmath
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-12
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\quoteon(2023-02-12 14:49 - thureduehrsen in Beitrag No. 3)
Du hast doch schon den Abschnitt des WP-Artikels zur surjektiven linkstotalen Relation gefunden. Also sollte es kein Problem sein, indemselben Artikel den Abschnitt zur Umkehrrelation zu finden
\quoteoff
Nachdem mir die Rechenregeln für Quantoren nicht weitergeholfen haben, war ich inzwischen auch schon von selber darauf gekommen, dass ich nur $a$ und $b$ zu vertauschen brauche.
Danke, danke für Deine Bestätigung.
Damit habe ich dann anschließend festgestellt, dass die Umkehrrelation einer surjektiven Relation eine linkstotale Relation ist und umgekehrt:
$$\text{surjektiv} \land \text{linkstotal}:$$
$$\left(\forall b\in B\; \exists a\in A\colon\; (a,b)\in R\right)\land \left(\forall a \in A\; \exists b\in B\colon\; (a,b)\in R\right)\tag{1}$$
$$\left(\forall b\in B\; \exists a\in A\colon\; (b,a)\in R^{-1}\right)\land \left(\forall a \in A\; \exists b\in B\colon\; (b,a)\in R^{-1}\right)$$
nach Vertauschen der Bezeichner $a,b$ und $A,B$:
$$\left(\forall a\in A\; \exists b\in B\colon\; (a,b)\in R^{-1}\right)\land \left(\forall b \in B\; \exists a\in A\colon\; (a,b)\in R^{-1}\right)$$
nach Vergleichen mit (1):
$$\text{linkstotal} \land \text{surjektiv}$$
Daraus folgt meine ursprüngliche Behauptung.
Danke, danke für Deinen Hinweis.
1.) Ist mein Beweis korrekt?
2.) Muss ich angeben, dass meine Relationen zweistellige Relationen sind?
\quoteon(2023-02-12 14:49 - thureduehrsen in Beitrag No. 3)
\quoteon(2023-02-12 14:25 - IVmath in Beitrag No. 2)
Ich bin ja kein Mathematiker und kein Student.
\quoteoff
Dann werde Mathematiker. Student musst du dafür nicht unbedingt sein.
\quoteoff
3.) Muss ich Mathematikern nun, wenn ich sie in einem Text verwenden will, meine Behauptung beweisen, oder ist sie für die meisten Mathematiker offensichtlich?
Ich brauche das für die Beantwortung von https://www.matheplanet.eu/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=261617
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nzimme10
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-12
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\quoteon(2023-02-12 15:22 - IVmath in Beitrag No. 4)
3.) Muss ich Mathematikern nun, wenn ich sie in einem Text verwenden will, meine Behauptung beweisen, oder ist sie für die meisten Mathematiker offensichtlich?
\quoteoff
Es gibt wohl kaum ein allgemein anerkanntes Gebot darüber, was man "den Mathematikern" zeigen muss oder was sie als "offensichtlich" ansehen. Das kommt doch total darauf an, an wen sich deine Ausführungen richten.
Schreibe ich einen Fachartikel im Bereich Analysis für eine Fachzeitschrift, dann brauche ich wohl kaum den Banachschen Fixpunktsatz zu beweisen. In diesem Leserkreis darf ich natürlich erwarten, dass dieses Resultat bekannt ist.
Schreibe ich hingegen ein Lehrbuch über Analysis, das sich an Studienanfänger richtet, dann muss ich mir schon eher überlegen, ob dieser Satz bereits bekannt ist oder ob es nicht sogar sinnvoll wäre, den Beweis zu geben oder wenigstens zu skizzieren.
Ein anderer Aspekt ist, ob es für dein eigentliches Anliegen hilfreich ist, wenn man den Beweis des anderen Resultats kennt. Wenn der eigentliche Beweis nicht relevant ist, dann kann man durchaus auch auf die Literatur verweisen. Man fängt ja nicht immer bei Adam und Eva an und leitet alles aus den Axiomen der Mengenlehre oder anderer Fundierungen der Mathematik her.
LG Nico
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IVmath
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-12
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Bei mir geht es um Umkehrfunktionen und um die Auflösung von Gleichungen durch algebraische Funktionen und elementare Funktionen (Liouville, Ritt). Es ist also wohl Algebra.
Dazu brauche ich Begriffe wie partielle Umkehrfunktion und Korrespondenz und will die Tatsache verwenden, dass diese unter gewissen Umständen algebraisch sind. Leider kann ich dazu in der Literatur nichts finden.
Ich wurde hier im Forum auch schon mal gefragt, was eine algebraische Funktion ist, weil es mehrere Definitionen dafür gäbe.
Nun will ich meinen Text aber später nicht mit mehreren Seiten Definitionen und Lemmas beginnen müssen.
Deshalb wäre es schön, wenn ich wüsste, ob ich meine Behauptung oben zumindest bei Algebraikern(?) allgemein voraussetzen kann.
Leider muss ich bei meinem Thema bei Adam und Eva anfangen, weil ich nichts dazu in der Literatur finde.
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-02-12
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Zu deiner konkreten Frage, die im Titel dieses Threads steht, gibt es sicherlich Literatur.
Seien $A$ und $B$ Mengen und $R\subseteq A\times B$ eine Relation mit Umkehrrelation $R^{\mathrm{op}}\subseteq B\times A$.
Letztere ist definiert durch
$$
(b,a)\in R^{\mathrm{op}} \iff (a,b)\in R.
$$
Linkstotalität von $R$ bedeutet, dass es für jedes $a\in A$ ein $b\in B$ mit $(a,b)\in R$ gibt. Offenbar bedeutet das genau, dass $R^{\mathrm{op}}$ rechtstotal (surjektiv) ist.
Surjektivität (oder auch: Rechtstotalität) von $R$ bedeutet, dass es für jedes $b\in B$ ein $a\in A$ mit $(a,b)\in R$ gibt. Das bedeutet dann eben gerade, dass $R^{\mathrm{op}}$ linkstotal ist.
Man sieht hier also, dass sich dieser Sachverhalt direkt aus den Definitionen ergibt und das kann man dann sicherlich als bekannt oder "offensichtlich" annehmen. Man kann ja auch einfach dazuschreiben, dass sich das direkt aus den Definitionen ergibt.
LG Nico\(\endgroup\)
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thureduehrsen
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-12
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
\quoteon(2023-02-12 15:22 - IVmath in Beitrag No. 4)
[...] dass die Umkehrrelation einer surjektiven Relation eine linkstotale Relation ist und umgekehrt:
$$\text{surjektiv} \land \text{linkstotal}:$$
$$\left(\forall b\in B\; \exists a\in A\colon\; (a,b)\in R\right)\land \left(\forall a \in A\; \exists b\in B\colon\; (a,b)\in R\right)\tag{1}$$
$$\left(\forall b\in B\; \exists a\in A\colon\; (b,a)\in R^{-1}\right)\land \left(\forall a \in A\; \exists b\in B\colon\; (b,a)\in R^{-1}\right)$$
nach Vertauschen der Bezeichner $a,b$ und $A,B$:
$$\left(\forall a\in A\; \exists b\in B\colon\; (a,b)\in R^{-1}\right)\land \left(\forall b \in B\; \exists a\in A\colon\; (a,b)\in R^{-1}\right)$$
\quoteoff
Du darfst hier nicht einfach die Bezeichner tauschen.
Es ist \((a,b)\in R\), aber \((b,a)\in R^{-1}\). Die Aussage \((a,b)\in R^{-1}\) ist falsch.
Beispiel: es ist \(3<4\) oder gleichbedeutend damit \(4>3\). Die Aussage \(3>4\) ist falsch.
(Du kannst nun natürlich sowohl \(a\) gegen \(b\) als auch \(A\) gegen \(B\) austauschen, aber jedes Nachdenken darüber beginnt mit Skepsis und endet mit Kopfschmerzen. Denn du hast dich nicht dazu geäußert, ob die Definition von \(R\) geändert wird oder nicht. Und dazu, die Definition zu ändern, rate ich in keinem Fall.)
\quoteon nach Vergleichen mit (1):
$$\text{linkstotal} \land \text{surjektiv}$$
Daraus folgt meine ursprüngliche Behauptung.
Danke, danke für Deinen Hinweis.
1.) Ist mein Beweis korrekt?
\quoteoff
Nein. Siehe oben.
\quoteon 2.) Muss ich angeben, dass meine Relationen zweistellige Relationen sind?
\quoteoff
Du könntest etwa schreiben "Sei R eine Relation zwischen A und B"; dann ist es auch klar.
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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Buri
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Dabei seit: 02.08.2003
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-02-12
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\quoteon(2023-02-12 20:42 - thureduehrsen in Beitrag No. 8)
Du darfst hier nicht einfach die Bezeichner tauschen.
Es ist \((a,b)\in R\), aber \((b,a)\in R^{-1}\). Die Aussage \((a,b)\in R^{-1}\) ist falsch
\quoteoff
Hi thureduehrsen,
(gelöscht)
Gruß Buri
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-02-12
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
@Buri: Nein, hier wurde falsch vertauscht. $R$ ist eine Relation zwischen $A$ und $B$, also $R\subseteq A\times B$. Folglich kann man nicht
$$
\forall a\in A\, \exists b\in B: (a,b)\in R^{-1}
$$
schreiben. Also kann man natürlich schreiben, aber es ist dann i.A. falsch.
LG Nico\(\endgroup\)
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IVmath
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Dabei seit: 29.07.2016
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-12
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Natürlich habe ich in meinem letzten Beweisschritt die Bezeichner $a,b$ und $A,B$ auch in der Definition von $R$ und $R^{-1}$ gegeneinander ausgetauscht: $R\subseteq A\times B$ zu $R\subseteq B\times A$ und $R^{-1}\subseteq B\times A$ zu $R^{-1}\subseteq A\times B$. Ich dachte, das sei klar.
Gut, es war mein Fehler: Ich habe ja nur einen Beweisansatz präsentiert, aber "Beweis" geschrieben.
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2623
Wohnort: Köln
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-02-12
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Das geht hier aber nicht. Natürlich kann man Bezeichnungen wie $a$ und $b$ beliebig umbenennen, aber die Mengen $A$ und $B$ in diesem Fall nicht. $A$ und $B$ sind irgendwelche vorgegebenen Mengen und $R\subseteq A\times B$ eine Relation.
Man kann dann nicht mitten in der Argumentation die Mengen $A$ und $B$ beliebig austauschen, denn sie sind ja im Prinzip fest vorgegeben. Man muss hier lediglich alle Vorkommen von $(a,b)\in R$ durch $(b,a)\in R^{-1}$ ersetzen und hat die Aussage damit bewiesen.
LG Nico\(\endgroup\)
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IVmath
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-13
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\quoteon(2023-02-12 23:13 - nzimme10 in Beitrag No. 12)
Man muss hier lediglich alle Vorkommen von $(a,b)\in R$ durch $(b,a)\in R^{-1}$ ersetzen und hat die Aussage damit bewiesen.
\quoteoff
Ja, selbstverständlich.
Mit meiner Umbenennung habe ich bewusst neue Objekte $A,B,R$ definiert. Ich habe das nur nicht geschrieben, weil ich dachte das sei klar.
Durch die Umbenennung fällt die Ähnlichkeit der letzten Zeile des Beweisansatzes mit der ersten sofort ins Auge.
Vielen vielen Dank allen.
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nzimme10
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| Beitrag No.14, eingetragen 2023-02-13
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Diese Umbenennung ist nicht nur sehr verwirrend und unnötig, sondern schlicht falsch, wenn man die zu zeigende Aussage beweisen will.
Du möchtest doch zeigen: Wenn $R\subseteq A\times B$ linkstotal und rechtstotal ist, dann ist dies auch $R^{-1}\subseteq B\times A$.
Dann kann ich nicht mitten im Beweis $A$ durch $B$ und $B$ durch $A$ ersetzen.
LG Nico\(\endgroup\)
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IVmath
Aktiv
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-14
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im Wikipedia-Artikel entdeckt:
Eine surjektive zweistellige Relation ist rechtstotal. Dann ist eine surjektive linkstotale zweistellige Relation bitotal.
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IVmath hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
IVmath hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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2023-09-30 22:43 U ?
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