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| Autor |
  Matrizen mit selbem Kern |
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doge21
Neu 
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Mitteilungen: 3
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2023-02-13
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Hallo, ich bereite mich gerade auf eine lineare Algebra Prüfung vor und komme bei dieser Frage nicht weiter:
Seien n, m ≥ 1, sei K ein Körper, und seien A, B ∈ Km×n Matrizen,
für welche die linearen Gleichungssysteme A · x = 0 und B · x = 0
dieselben Lösungen besitzen.
(A) Es existiert C ∈ Kn×n so, daß B = A · C gilt.
(B) Es existiert C ∈ Km×m so, daß B = C · A gilt.
(C) Die Kerne der durch A und B bestimmten linearen Abbildungen
sind identisch.
C ist wahr, dass verstehe ich, für die Aussagen A,B kenne ich zwar die Lösungen von der Rückseite aber kann diese nicht nachvollziehen bzw. komme nicht auf die richtige Begründung. Ich weiß, dass A,B äquivalent sein müssen, weil sie den selben Rang haben. Also muss es 2 reguläre Matrizen Q und P geben für die gilt:
B = Q*A*P
Aber danach fällt mir nix mehr ein.
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semasch
Senior 
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 454
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-13
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Moin doge21,
zu
(A): Wäre die Aussage korrekt, so folgte offenbar $\operatorname{ran}(B) \subseteq \operatorname{ran}(A)$. Verwende das, um ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
(B): Sei $r := \dim(U)$ mit $U := \ker(A) = \ker(B)$. Gehe dann wie folgt vor:
(i) Wähle eine Basis $(b_1, \ldots, b_n)$ von $K^n$ derart, dass $(b_{n-r+1}, \ldots, b_n)$ eine Basis von $U$ ist (warum geht das?).
(ii) Überlege dir, dass dann die Familie $(c_1, \ldots, c_{n-r})$ mit $c_i := A b_i$ für $i = 1, \ldots, n-r$ linear unabhängig ist (warum?).
(iii) Ergänze diese Familie zu einer Basis $(c_1, \ldots, c_m)$ von $K^m$ (warum geht das?).
(iv) Verwende den Fortsetzungssatz, um ein geeignetes $C$ zu definieren, was dann gegeben ist, wenn $B b_i = C A b_i$ für alle $i = 1, \ldots, n$ gilt (warum?).
LG,
semasch
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doge21
Neu
Dabei seit: 13.02.2023
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-14
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Danke für die schnelle Antwort semasch,
zu A) ein Gegenbeispiel mit zwei Matrizen desselben Rangs kann ich leicht finden, allerdings weiß ich nicht was mir das bringt weil ich muss ja beweisen, wieso prinzipiell kein C dieser Form existieren kann. Ich kann außerdem auch ein Beispiel für zwei gleichrangige Matrizen finden (allerdings mit ungleichem Kern) für die die Aussage gilt.
zu B)
i) n-r ist doch die Dimension des ranges oder nicht? Daraus kann ich eine Basis des Unterraums der Urbilder bestimmen. Wie ich dadurch zu einer Basis des Kerns komme verstehe ich nicht.
ii) Wenn U aber der Unterraum der Urbilder ist, dann ist der Kern von AU leer und daher injektiv und das Bild l.u.
iii) Laut dem Basisergänzungssatz kann ich jede l.u. Familie zu einer Basis ergänzen und laut dem Fortsetzungssatz existiert, dann genau eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft f(bi) = ci.
Ich hoffe, das alles hat halbwegs sinn ergeben, bin aber immer noch recht verwirrt.
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semasch
Senior
Dabei seit: 28.05.2021
Mitteilungen: 454
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-14
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\quoteon(2023-02-14 00:17 - doge21 in Beitrag No. 2)
zu A) ein Gegenbeispiel mit zwei Matrizen desselben Rangs kann ich leicht finden, allerdings weiß ich nicht was mir das bringt weil ich muss ja beweisen, wieso prinzipiell kein C dieser Form existieren kann.
\quoteoff
Du sollst die Aussage
\[
\forall A, B \in K^{m \times n}: \ker(A) = \ker(B) \implies
\exists C \in K^{m \times n}: B = A C
\]
auf ihren Wahrheitsgehalt untersuchen, also entweder die Aussage oder ihre Negation beweisen. Die Negation lautet natürlich auf
\[
\exists A, B \in K^{m \times n}: \ker(A) = \ker(B) \land
\forall C \in K^{m \times n}: B \neq A C,
\]
ist also eine Existenzaussage und lässt sich durch Angabe eines Beispiels beweisen. Genau das sollst du hier mithilfe meines Hinweises aus Beitrag #1 machen.
\quoteon(2023-02-14 00:17 - doge21 in Beitrag No. 2)
Ich kann außerdem auch ein Beispiel für zwei gleichrangige Matrizen finden (allerdings mit ungleichem Kern) für die die Aussage gilt.
\quoteoff
Das tut hier, wie oben besprochen, nichts zur Sache, zumal es sich ja nicht mal auf die Situation aus der Aufgabenstellung bezieht.
\quoteon(2023-02-14 00:17 - doge21 in Beitrag No. 2)
zu B)
i) n-r ist doch die Dimension des ranges oder nicht? Daraus kann ich eine Basis des Unterraums der Urbilder bestimmen. Wie ich dadurch zu einer Basis des Kerns komme verstehe ich nicht.
ii) Wenn U aber der Unterraum der Urbilder ist, dann ist der Kern von AU leer und daher injektiv und das Bild l.u.
iii) Laut dem Basisergänzungssatz kann ich jede l.u. Familie zu einer Basis ergänzen und laut dem Fortsetzungssatz existiert, dann genau eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft f(bi) = ci.
\quoteoff
Zu (i): $n-r$ ist der Rang, das ist die Dimension des Bildes $\operatorname{ran}(A)$, $r$ ist der Defekt, das ist die Dimension des Kerns $\ker(A)$. Nach dem Basisexistenzsatz existiert eine Basis des Kerns, die wir $(b_{n-r+1}, \ldots, b_n)$ nennen. Diese kann man dann, wie du in (iii) schon richtig angewendet hast, nach dem Basisergänzungssatz zu einer Basis des gesamten Raums $K^n$ ergänzen, die wir dann mit $(b_1, \ldots, b_n)$ bezeichnen.
Was du mit Unterraum der Urbilder meinst, ist an dieser Stelle nicht klar (Urbilder von was?), es wird aber hier auch nicht benötigt.
Zu (ii): Mit $U$ habe ich in Beitrag #1 schon den gemeinsamen Kern von $A$ und $B$ bezeichnet, deswegen bezeichne ich das, was du den Unterraum der Urbilder nennst, mit $V$. Wenn ich in meiner Vermutung richtig liege (ne Definition hast du ja nicht gegeben, wie im Kommentar oben zu (i) schon angemerkt), ist bei dir
\[
V := [(b_1, \ldots, b_{n-r})].
\]
Bezeichnen wir mit $f_A$ die zu $A$ assoziierte lineare Abbildung, also
\[
f_A: K^n \to K^m, x \mapsto A x,
\]
so behauptest du nun korrekterweise, dass $f_A\rvert_V$ injektiv und daher die Familie $(c_1, \ldots, c_{n-r})$ linear unabhängig ist. Um die behauptete Injektivität zu begründen, solltest du imo kurz noch ein Argument dafür bringen, dass $U \cap V = \{0\}$ gilt. Das folgt aber einfach aus der linearen Unabhängigkeit der $b_i$ gemeinsam mit
\[
U = [(b_{n-r+1}, \ldots, b_n)].
\]
Zu (iii): Genau, du kannst nach dem Basisergänzungssatz die nach (ii) linear unabhängige Familie $(c_1, \ldots, c_{n-r})$ zu einer Basis $(c_1, \ldots, c_m)$ von $K^m$ ergänzen.
Zu (iv): Die intendierte Anwendung des Fortsetzungssatzes hier hast du noch nicht ganz begriffen. Lies dir die Anleitung aus Beitrag #1 zu diesem Unterpunkt nochmal durch und arbeite sie dann in zwei Schritten ab:
(iv).(i) Baue mit dem Fortsetzungssatz (und unter Verwednung der Basis der $c_i$'s) erstmal eine lineare Abbildung $f: K^m \to K^m$ derart, dass, wenn $C$ ihre Darstellungsmatrix bzgl. der kanonischen Basis ist, die Beziehung
\[
B b_i = C A b_i \tag{1}
\]
für $i = 1, \ldots, n-r$ erfüllt ist.
(iv).(ii) Warum gilt dann automatisch auch $(1)$ für $i = n-r+1, \ldots, n$ und warum folgt insgesamt $B = C A$?
LG,
semasch
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doge21
Neu
Dabei seit: 13.02.2023
Mitteilungen: 3
Wohnort: Wien
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-14
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Danke ich denke ich hab die Lösung jetzt begriffen.
lg
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doge21 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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