| Autor |
  Basis, Rang, Kern einer Abbildung |
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Biene30
Aktiv 
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
 |  Themenstart: 2023-02-22
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Hallo. Ich habe folgende lineare Abbildung
\(f: \mathbb{R^2} -> \mathbb{R^3}\)
\(f(\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right))=(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right))
\)
und
\(f(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right))=(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right))
\)
!. Ist f eindeutig bestimmt?
Was muss ich hier tun? eine Darstellung mit x und y finden?
2. Finde eine Basis für das Bild von f
3. Gesucht ist der Kern von f, die Dimension vom Kern und der Rang von f
4. Gesucht ist die Matrix bezüglich der Standardbasen zu f.
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2811
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-22
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Es ist nicht klar, was überhaupt gefragt ist. Was für eine Abbildung ist $f$? Ist sie auf $\mathbb R^2$ oder auf $\mathbb R^3$ definiert? Die Gleichungen ergeben so keinen Sinn.
Grüße,
PhysikRabe
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10672
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-02-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
die "f's" auf der rechten Seite sind ein Fehler, oder?
\quoteon(2023-02-22 14:42 - Biene30 im Themenstart)
Ist f eindeutig bestimmt?
Was muss ich hier tun? eine Darstellung mit x und y finden?
\quoteoff
Nein. Hier hast du im wahrsten Sinne des Wortes deine Hausaufgaben nicht gemacht. Zum einen handelt es sich offenbar um eine lineare Abbildung, das hast du unterschlagen bzw. übersehen.
Zum anderen solltest du die eine oder andere Grundlage über lineare Abbildungen und das Konzept der Linearität kennen. Und mit der Kenntnis dieser Grundlagen lässt sich die Frage sofort beantworten.
Damit die Abbildung eindeutig bestimmt ist, müsstest du für jedes beliebige Urbild \((x,y)^T\in\IR^2\) das Bild unter \(f\) angeben können.
Geht das hier?
Falls ja, warum? Falls nein, dito.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]\(\endgroup\)
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lula
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Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-22
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Hallo
Wenn f linear ist kannst du leicht die Bilder der Standardeinheitsvektoren finden und damit auch die von (x,y)
lula
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Biene30
Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-22
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Hallo Diophant danke für den Hinweis ich habe den Beitrag Nummer 1 geändert. Viele Grüße
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-02-22
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\quoteon(2023-02-22 17:07 - Biene30 in Beitrag No. 4)
Hallo Diophant danke für den Hinweis ich habe den Beitrag Nummer 1 geändert. Viele Grüße
\quoteoff
Schön. Und was ist jetzt mit deinem Anliegen? Abbildung eindeutig bestimmt, ja oder nein?
Gruß, Diophant
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Biene30
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-22
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\quoteon(2023-02-22 14:50 - Diophant in Beitrag No. 2)
Damit die Abbildung eindeutig bestimmt ist, müsstest du für jedes beliebige Urbild \((x,y)^T\in\IR^2\) das Bild unter \(f\) angeben können.
Geht das hier?
Falls ja, warum? Falls nein, dito.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Lineare Algebra' in Forum 'Lineare Abbildungen' von Diophant]
\quoteoff
Ich muss erst nachschauen was das Urbild nochmal war
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Biene30
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-22
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Ist das Bild
\(f(\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right))=(\left(\begin{array}{c} 2*y \\ y \\ x \end{array}\right))
\) für das erste f?
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-02-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-02-22 17:20 - Biene30 in Beitrag No. 7)
Ist das Bild
\(f(\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right))=f(\left(\begin{array}{c} 2*y \\ y \\ x \end{array}\right))
\) für das erste f?
\quoteoff
Nein, so einfach geht das hier nicht. Was weißt du bisher über lineare Abbildungen?
Urbilder sind hier alle Vektoren aus der Urbildmenge, also dem \(\IR^2\). Die beiden Vektoren, die du dort gegeben hast, bilden die denn eine Basis des \(\IR^2\)? Die Antwort auf diese Frage liefert dir hier sofort auch die Beantwortung der Aufgabenstellung (soweit du sie gepostet hast).
Studiere vielleicht ersteinmal Begriffe wie Basis, Linearkombination, Linearität, lineare Abbildung, Urbild, Bild, Kern, usw...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Biene30
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-22
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Also die Vektoren \(\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)\) und
\(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)\) bilden eine Basis des \(\mathbb{R^2}\)
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Diophant
Senior
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-02-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-22 17:48 - Biene30 in Beitrag No. 9)
Also die Vektoren \(\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)\) und
\(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)\) bilden eine Basis des \(\mathbb{R^2}\)
\quoteoff
Ja. Und weiter?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Biene30
Aktiv
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Mitteilungen: 201
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-22
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Weiter weiß ich leider noch nicht. Ich muss mir das alles nochmal genauer anschauen
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-02-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-22 20:45 - Biene30 in Beitrag No. 11)
Weiter weiß ich leider noch nicht. Ich muss mir das alles nochmal genauer anschauen
\quoteoff
Du kannst jeden Vektor eines beliebigen Vektorraums als Linearkombination der Basisvektoren (einer zugehörigen Basis) darstellen. Hier also etwa
\[b_1=\bpm 0\\1 \epm,\ b_2=\bpm 1\\1 \epm\quad\Rightarrow\quad\bpm x\\y \epm=u\cdot b_1+v\cdot b_2\ \ \forall (x,y)^T\in\IR^2\]
(Jeweils mit eindeutigen Werten für \(u\) und \(v\))
Auf der anderen Seite haben lineare Abbildungen gewisse Eigenschaften, die dir ja bekannt sind.
Was folgt jetzt daraus: kannst du für jedes \((x,y)^T\in\IR^2\) das Bild unter \(f\) angeben/ausrechnen? Falls ja: dann ist die Abbildung eindeutig bestimmt.
Es ist wirklich ein Holzweg, wenn man zuerst Aufgaben rechnet und dann den Stoff studiert. Da das so häufig zu beobachten ist, muss ich es hier einmal wieder loswerden.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Biene30
Aktiv
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-24
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\quoteon(2023-02-22 14:42 - Biene30 im Themenstart)
Hallo. Ich habe folgende lineare Abbildung
\(f: \mathbb{R^2} -> \mathbb{R^3}\)
\(f(\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right))=(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right))
\)
und
\(f(\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right))=(\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right))
\)
Ist f eindeutig bestimmt?
Was muss ich hier tun? eine Darstellung mit x und y finden?
\quoteoff
Kann ich nicht einfach die Urbilder in eine Matrix schreiben und dann folgendes tun:
$\left(
\begin{array}{r r r | r}
0 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{array}
\right)$
Wird zu
$\left(
\begin{array}{r r r | r}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)$
Da die Matrix vollen Rang hat sind die Vektoren linear unabhängig. Außerdem sehen wir dass die Vektoren die Basis des \(\mathbb{R^2}\) bilden. Somit ist f eindeutig bestimmt
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thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1490
Wohnort: Kiel, Deutschland
 | Beitrag No.14, eingetragen 2023-02-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
Hallo Biene30,
\quoteon(2023-02-24 17:37 - Biene30 in Beitrag No. 13)
Kann ich nicht einfach die Urbilder in eine Matrix schreiben und dann folgendes tun:
$\left(
\begin{array}{r r r | r}
0 & 1 \\
1 & 1 \\
\end{array}
\right)$
Wird zu
$\left(
\begin{array}{r r r | r}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{array}
\right)$
\quoteoff
was auch immer du dir davon versprichst, ist nicht zielführend.
Mache dir einmal klar, was eine lineare Abbildung ist und was eine lineare Fortsetzung ist.
Beispiel: erkläre mir mal die folgende Rechnung:
\[
f(7,5) = f(-2\cdot(0,1)+7\cdot(1,1)) = -2\cdot(2,1,0)+7\cdot(2,1,1) = (-4,-2,0)+(14,7,7)=(10,5,7)
\]
Kannst du daraus die Eindeutigkeit von \(f\) ersehen?
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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ochen
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Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.15, eingetragen 2023-02-24
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Hallo,
berechne erst $f\left(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right) $ als Linearkombination von $f\left(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\right) $ und $f\left(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right) $.
Berechne anschließend $f\left(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\right) $ als Linearkombination von $f\left(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right) $ und $f\left(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right) $.
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Biene30
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-24
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Also zuerst hat man 7 und 5 als Linearkombination in f dargestellt und das gleich einer Abbildung mit Vektoren gesetzt die 3 Koordinaten haben und diese am Ende addiert.
Aber wie erkenne ich die Eindeutigkeit?
Ich habe bei dieser Aufgabe wirklich große Probleme
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Diophant
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Mitteilungen: 10672
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.17, eingetragen 2023-02-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-02-24 20:35 - Biene30 in Beitrag No. 16)
Also zuerst hat man 7 und 5 als Linearkombination in f dargestellt und das gleich einer Abbildung mit Vektoren gesetzt die 3 Koordinaten haben und diese am Ende addiert.
\quoteoff
Was weißt du denn für lineare Abbildungen über so etwas wie \(f(x\cdot e_1+y\cdot e_2)\)? Nimm hier einmal an, \(e_1\) und \(e_2\) wären die Einheitsvektoren der Standardbasis.
thuderuehrsen wollte dir mit seiner Rechnung andeuten, um was es geht.
ochen hat in Beitrag #15 detailliert beschrieben, was zu tun ist.
\quoteon(2023-02-24 20:35 - Biene30 in Beitrag No. 16)
Aber wie erkenne ich die Eindeutigkeit?
Ich habe bei dieser Aufgabe wirklich große Probleme
\quoteoff
Eindeutigkeit bedeutet hier: es gibt nur eine lineare Abbildung, welche die zwei Forderungen aus dem Themanstart erfüllt.
Wenn du einen Weg findest, die Bilder aller Vektoren aus \(\IR^2\) unter dieser Abbildung anzugeben, würdest du dann zustimmen, dass die Abbildung eindeutig bestimmt ist? Das wäre sonst nämlich nicht möglich.
Und genau das tut man mit dem Hinweis von ochen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Biene30
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-24
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\(f\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) =
1*\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) + (-1) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)\)
\(f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) =
x*\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) + y \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)\)
Meint ihr das so?
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.19, eingetragen 2023-02-24
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-24 21:18 - Biene30 in Beitrag No. 18)
\(f\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) =
1*\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) + (-1) \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)\)
\(f\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) =
x*\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right) + y \left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)\)
Meint ihr das so?
\quoteoff
Nein:
\[f\left(\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\right)=f\left(x\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}+y\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)=\dotsc\]
Bekommst du den letzten Schritt nun selbst hin?
(Stichwort: Linearität...)
Die Bilder der Einheitsvektoren bekommst du auf die gleiche Weise, indem du
\[e_1=\bpm 1\\1 \epm-\bpm 0\\1 \epm\quad,\quad e_2=\bpm 0\\1 \epm \]
verwendest.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Biene30
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-24
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\[f\left(\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\right)=f\left(x\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}+y\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)=f(x \cdot\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}) + f(y \cdot\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix})\]
Das würde so bei mir aussehen
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.21, eingetragen 2023-02-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-24 21:28 - Biene30 in Beitrag No. 20)
\[f\left(\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\right)=f\left(x\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}+y\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)=f(x \cdot\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}) + f(y \cdot\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix})\]
Das würde so bei mir aussehen
\quoteoff
Ja, aber du musst noch einen Schritt weiterdenken: was ist \(f(cx)\), wenn die Abbildung linear ist?
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Biene30
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-24
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\[ f\left(c \cdot x\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\right)= c \cdot f\left(x\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\right) \]
|
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Diophant
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| Beitrag No.23, eingetragen 2023-02-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-24 21:41 - Biene30 in Beitrag No. 22)
\[ f\left(c \cdot x\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\right)= c \cdot f\left(x\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\right) \]
\quoteoff
Nein, das hast du jetzt völlig falsch verstanden.
Wir haben:
\[f\left(\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\right)=f\left(x\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}+y\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)=f\left(x\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\right)+f\left(y\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)=x\cdot f\left(\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\right)+y\cdot f\left(\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)\]
Dabei habe ich nichts weiter ausgenutzt als die Linearität der Abbildung.
Jetzt bestimmst du auf die gleiche Art und Weise einmal die Bilder der beiden Standard-Einheitsvektoren \((1,0)^T\) und \((0,1)^T\) (bzw. im zweiten Fall hast du das Bild ja schon gegeben) und setzt die oben ein, dann bist du fertig.
Und studiere doch einfach den Stoff gründlicher. Das sind absolute Basics, ohne die du in diesem Fachgebiet kein Land sehen wirst, wenn sie nicht absolut sicher sitzen!
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
|
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Biene30
Aktiv
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-24
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Wir haben:
\[f\left(\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}\right)=f\left(1\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}+1\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)=f\left(1\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\right)+f\left(1\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)=1\cdot f\left(\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\right)+1\cdot f\left(\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)\]
Ich hoffe das stimmt
Liebe Grüße zurück
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.25, eingetragen 2023-02-24
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-24 22:47 - Biene30 in Beitrag No. 24)
Wir haben:
\[f\left(\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}\right)=f\left(1\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}+1\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)=f\left(1\cdot \begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\right)+f\left(1\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)=1\cdot f\left(\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}\right)+1\cdot f\left(\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)\]
Ich hoffe das stimmt
\quoteoff
Es stimmt, aber es ist leider an dieser Stelle Unsinn.
Gegeben hast du doch
\[f\left(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\right)=\bpm 2\\1\\0 \epm\]
Jetzt brauchst du aber noch
\[f\left(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\right)\]
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2811
Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.26, eingetragen 2023-02-24
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Zwischenfrage an Biene30: Ist dir überhaupt klar, was du machst bzw. was du zeigen möchtest? Diese Frage solltest du dir auch stellen, vor allem wenn du stockst und nicht weiter weißt. So kannst du für dich selbst überprüfen, ob du wirklich verstehst worum es geht, oder ob du nur stumpf die Vorschläge der Helfenden in diesem Thread abarbeitest.
Grüße,
PhysikRabe
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Biene30
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-24
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Hallo PhysikRabe
Da hast du einen guten Punkt getroffen ich weiß nicht wirklich was ich machen soll. Ich verstehe die Aufgabe nicht, verstehe nicht mal warum auf der rechten Seite ein dreidimensionaler Vektor steht. Aber in meinen Unterlagen und bei google finde ich nichts, vermutlich weil ich falsch suche
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PhysikRabe
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| Beitrag No.28, eingetragen 2023-02-24
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\quoteon(2023-02-24 23:07 - Biene30 in Beitrag No. 27)
Hallo PhysikRabe
Da hast du einen guten Punkt getroffen ich weiß nicht wirklich was ich machen soll.
\quoteoff
Das hatte ich befürchtet. Da stellt sich die Frage, warum du dann unwidersprochen weitermachst, und nicht hier im Thread schreibst, dass dir das Vorgehen unklar ist.
\quoteon(2023-02-24 23:07 - Biene30 in Beitrag No. 27)
Ich verstehe die Aufgabe nicht, verstehe nicht mal warum auf der rechten Seite ein dreidimensionaler Vektor steht.
\quoteoff
$f$ ist doch eine Abbildung von $\mathbb R^2$ nach $\mathbb R^3$. Es werden also zweidimensionale Vektoren auf dreidimensionale Vektoren abgebildet, wie von dir im Themenstart geschrieben.
Generell: Weißt du, was eine lineare Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei Vektorräumen $V,W$ ist? Wie sieht die allgemeine Definition aus? Was ist eine Basis eines Vektorraums? Warum ist eine lineare Abbildung $f:V\to W$ dadurch eindeutig definiert (was bedeutet das eigentlich?), dass gegeben ist, wie sie auf Basisvektoren in $V$ wirkt (hier kommt ins Spiel, was "linear" überhaupt bedeutet)?
Das sind die Fragen, die du dir stellen musst. Wenn du es nicht weißt, dann solltest du dein Skriptum konsultieren. Das sind grundlegende Dinge, ohne die du die Aufgabe gar nicht bearbeiten kannst. Falls dazu konkret etwas unklar ist, stelle hier im Thread eine Frage. Aber lass die Helfenden nicht im Ungewissen, was dir eigentlich klar ist und was nicht. Sonst ist der Austausch hier nicht zielführend, für die Helfenden nicht, und erst recht nicht für dich. Du möchtest doch etwas lernen.
Grüße,
PhysikRabe
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Biene30
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| Beitrag No.29, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-25
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Also
Die allgemeine Definition einer linearen Abbildung lautet
f(x+y)= f(x)+f(y)
f(c*x)= c*f(x)
Eine Basis eines Vektorraumes sind linear unabhängige Vektoren z.B. (1,0)^T und (0,1)^T im R^2
Warum eine lineare Abbildung dadurch eindeutig definiert ist weiß ich nicht
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ochen
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| Beitrag No.30, eingetragen 2023-02-25
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Ok, mit "eindeutig definiert" ist gemeint, dass du für jeden Vektor $(x, y) ^T$ den Funktionswert $f((x, y) ^T) $ nur mit der in der Aufgabenstellung gegebenen Information berechnen kannst.
Sei also $(x, y) ^T\in\mathbb R^2$ beliebig. Stelle diesen Vektor als Linearkombination von $(1, 1) ^T$ und $(0, 1) ^T$ dar. Dies geht genau auf eine Weise, da $\{(1, 1) ^T, (0, 1) ^T\}$ eine Basis des $\mathbb R^2$ ist. Nutze nun die Linearität von $f$ um $f((x, y) ^T) $ zu berechnen.
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Biene30
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| Beitrag No.31, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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Ich weiß nicht wie ich eine Linearkombination daraus basteln soll
\(f\left(\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\right)=f\left(x\cdot \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}+y\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)
\) geht ja nicht
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PhysikRabe
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| Beitrag No.32, eingetragen 2023-02-26
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\quoteon(2023-02-26 15:34 - Biene30 in Beitrag No. 31)
Ich weiß nicht wie ich eine Linearkombination daraus basteln soll
\(f\left(\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}\right)=f\left(x\cdot \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}+y\cdot \begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\right)
\) geht ja nicht
\quoteoff
Du sollst $\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)$ als Linearkombination der Basisvektoren darstellen. An dieser Stelle taucht $f$ erst einmal gar nicht auf.
Wo ist hier für dich das Problem? Weißt du nicht, was eine Linearkombination ist? Oder was eine Basis ist? Sag es bitte ganz ehrlich, damit wir dem Problem auf den Grund gehen können. Wir drehen uns nämlich im Kreis.
Grüße,
PhysikRabe
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Biene30
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| Beitrag No.33, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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Die Basis hat ochen mit ja angeben die ist ja \(\{(1, 1) ^T, (0, 1) ^T\}\)
Aber wie mache ich daraus jetzt eine Linearkombination.
Eine Linearkombination wäre doch hier\((x,y)^T = \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2}\) wobei \(\vec{a_1} \text{und} \vec{a_2}\) die Vektoren der Basis sind
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PhysikRabe
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| Beitrag No.34, eingetragen 2023-02-26
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\quoteon(2023-02-26 16:05 - Biene30 in Beitrag No. 33)
Eine Linearkombination wäre doch hier\((x,y)^T = \lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2\vec{a_2}\) wobei \(\vec{a_1} \text{und} \vec{a_2}\) die Vektoren der Basis sind
\quoteoff
Ja. Wie müssen $\lambda_1$ und $\lambda_2$ aussehen? Das ist wirklich elementar. Schreib es explizit hin. Man sieht es leicht.
$$\lambda_1 \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) + \lambda_2 \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)$$
Was sind $\lambda_1$ und $\lambda_2$, damit diese Gleichung stimmt?
Grüße,
PhysikRabe
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Diophant
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| Beitrag No.35, eingetragen 2023-02-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
als Ergänzung:
\quoteon(2023-02-26 16:05 - Biene30 in Beitrag No. 33)
Die Basis hat ochen mit ja angeben die ist ja \(\{(1, 1) ^T, (0, 1) ^T\}\)
\quoteoff
Nicht die Basis, sondern eine Basis. Eine andere Basis ist die kanonische Basis \(\lbrace (1,0)^T,(0,1)^T\rbrace\).
Meine Tipps weiter oben und die meisten anderen hier hatten sich auf die Standardbasis bezogen.
Du musst dich einfach entscheiden, mit welcher Basis du arbeiten möchtest.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Biene30
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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\(\lambda_2=y \) aber was ist \(\lambda_1\) das müsste ja eigtl x sein aber dann erhalte ich doch den Vektor
\(x \cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) + y \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x \\ x+y \end{array}\right)\)
Also was ist \(\lambda_1\)
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PhysikRabe
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| Beitrag No.37, eingetragen 2023-02-26
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Warum muss $\lambda_2$ unbedingt gleich $y$ sein? Wie du bemerkt hast funktioniert es damit nicht. Spiel doch ein bisschen damit herum. Mathematik ist kreativ. Du nimmst dir offenbar keine Zeit, verschiedene Dinge auszuprobieren. Da $\lambda_2 = y$ nicht zum Ziel führt, ist die naheliegende (und einzig mögliche, sprich eindeutige) Wahl, in der ersten Koordinate ein $x$ zu generieren. Man nimmt also $\lambda_1 = x$. Daraus ergibt sich unmittelbar, was $\lambda_2$ sein muss.
Das ist bereits die Auflösung. Ich schreibe es noch sauber für dich auf, bevor sich das noch weiter in die Länge zieht. Es ist
$$x\cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) + (y-x)\cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x \\ x+(y-x) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \, .$$
Also haben wir $\lambda_1 =x$ und $\lambda_2 = y-x$. Wo war hier für dich das Problem?
Jetzt haben wir jedes $(x,y)^T$ als Linearkombination der Basisvektoren ausgedrückt. Was ist nun $f((x,y)^T)$? An dieser Stelle muss man benutzen, dass $f$ linear ist. Du solltest als Ergebnis einen 3-dimensionalen Vektor hinschreiben können, der von $x$ und $y$ abhängt.
Grüße,
PhysikRabe
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Biene30
Aktiv
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| Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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\(f(\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)) = f(
x\cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ (y-x)\cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)) = x \cdot\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\\1 \end{array}\right) + (y-
x)\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\0 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}
2x\\ x\\x \end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c} 2y-2x \\ y-x\\0 \end{array}\right)
= \left(\begin{array}{c} 2x+2y-2x \\ x+y-x\\x \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2y \\ y\\x \end{array}\right)\)
Ich hoffe dass das richtig ist. Viele Grüße
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2811
Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.39, eingetragen 2023-02-26
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\quoteon(2023-02-26 18:27 - Biene30 in Beitrag No. 38)
\(f(\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)) = f(
x\cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ (y-x)\cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)) = x \cdot\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\\1 \end{array}\right) + (y-
x)\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\0 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}
2x\\ x\\x \end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c} 2y-2x \\ y-x\\0 \end{array}\right)
= \left(\begin{array}{c} 2x+2y-2x \\ x+y-x\\x \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2y \\ y\\x \end{array}\right)\)
Ich hoffe dass das richtig ist. Viele Grüße
\quoteoff
Ja, das ist richtig. Um zu überprüfen, dass du verstehst was du gemacht hast: Ist $f$ nun eindeutig bestimmt? Schreib noch einmal das Endergebnis hin. Wie sieht die Abbildung $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ aus?
Grüße,
PhysikRabe
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