| Autor |
  Basis, Rang, Kern einer Abbildung |
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 |  Beitrag No.40, eingetragen 2023-02-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-02-26 18:27 - Biene30 in Beitrag No. 38)
\(f(\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)) = f(
x\cdot\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right)
+ (y-x)\cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)) = x \cdot\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\\1 \end{array}\right) + (y-
x)\left(\begin{array}{c} 2\\ 1\\0 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}
2x\\ x\\x \end{array}\right)
+\left(\begin{array}{c} 2y-2x \\ y-x\\0 \end{array}\right)
= \left(\begin{array}{c} 2x+2y-2x \\ x+y-x\\x \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2y \\ y\\x \end{array}\right)\)
Ich hoffe dass das richtig ist. Viele Grüße
\quoteoff
Ja, jetzt stimmt es. 👍
Und jetzt mache dir nochmal klar, warum du damit gezeigt hast, dass die Abbildung allein durch die zwei gegebenen Urbild-Bild-Paare eindeutig festgelegt ist.
Und studiere den Stoff gründlich!
(Am besten nimmst du dazu einmal ein geeignetes Lehrbuch zur Hand.)
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.38 begonnen.]\(\endgroup\)
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Biene30
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 | Beitrag No.41, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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Na zum Glück!
Die Abbildung von \(\mathbb{R^2}\) nach \(\mathbb{R^3}\) lautet
\(f(\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)) =\left(\begin{array}{c} 2y \\ y\\x \end{array}\right) \), daher ist die Abbildung eindeutig bestimmt
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.39 begonnen.]
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Biene30
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| Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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Hallo Diophant
könntest du ein Lehrbuch empfehlen?
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Diophant
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| Beitrag No.43, eingetragen 2023-02-26
|
Hallo Biene30,
\quoteon(2023-02-26 19:09 - Biene30 in Beitrag No. 42)
könntest du ein Lehrbuch empfehlen?
\quoteoff
Das hängt ein wenig davon ab, was genau du studierst und was bei euch dann letztendlich an Stoff erwartet wird.
Gruß, Diophant
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Biene30
Aktiv
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| Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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Ich studiere Mathematik. Aber was ich nicht weiß ist was noch dran kommt. Aktuell mache ich Analysis 1 und Lineare Algebra 1
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PhysikRabe
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 | Beitrag No.45, eingetragen 2023-02-26
|
Was Diophant schreibt ist richtig. Am besten fragt man beim jeweiligen Vortragenden der Lehrveranstaltung nach, welche Literatur empfohlen wird.
Ungeachtet dessen kann ich "Lineare Algebra" von Klaus Jänich empfehlen (siehe die Buchbesprechung hier). Das Buch ist eher kurz und geht nicht sehr in die Tiefe, aber genau das ist auch seine Stärke. Es enthält viele anschauliche Erklärungen. Zumindest parallel mit einem anderen Lehrbuch ist es sehr nützlich. Mir hat das Buch damals im 1. Semester sehr weitergeholfen.
Grüße,
PhysikRabe
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.43 begonnen.]
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Diophant
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| Beitrag No.46, eingetragen 2023-02-26
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\quoteon(2023-02-26 19:16 - Biene30 in Beitrag No. 44)
Ich studiere Mathematik. Aber was ich nicht weiß ist was noch dran kommt. Aktuell mache ich Analysis 1 und Lineare Algebra 1
\quoteoff
Dann benötigst du auf jeden Fall für jedes Teilgebiet ein eigenes Lehrbuch. Da bin ich nicht mehr so drin, da könnten andere vielleicht mehr dazu sagen. Da das hier im Thread ein wenig den Rahmen sprengen würde: starte doch einmal in diesem Unterforum einen Thread, wo du gezielt nach Literatur fragst.
Für einen Einstieg in die Lineare Algebra könnte ich dieses Buch empfehlen. Das wird jedoch für ein Mathestudium vom Stoff her hicht ausreichen. Es wäre aber wie gesagt geeignet, einen Einstieg zu finden.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.44 begonnen.]
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Biene30
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| Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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Also das Buch von Jänich scheint für die Grundlagen auszureichen. Es gibt auch günstige Gebrauchtware zu kaufen. Vielen Dank erstmal.
Und in dem Unterforum habe ich einen Thread gepostet. Auch hierfür danke sehr
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Biene30
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| Beitrag No.48, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
|
Es geht nun weiter mit der Aufgabe
Ich soll jetzt eine Basis des Bildes von f bestimmen.
Hierzu habe ich zuerst folgende Matrix gebildet
\(A=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
Dann habe ich A^T gebildet
\(A^T=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
Dann habe ich den Gaußalgorithmus angewendet indem ich II-I Zeile gerechnet habe
\(\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
Und diese Matrix dann wieder transponiert
\(B=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 0\\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right) \)
Und die Basis wären jetzt die Spaltenvektoren
Basis =\(\{\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right), \left(
\begin{array}{r r r | r}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right)\}\)
Ist das korrekt?
Viele Grüße
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Diophant
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| Beitrag No.49, eingetragen 2023-02-26
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-26 19:49 - Biene30 in Beitrag No. 48)
Ich soll jetzt eine Basis des Bildes von f bestimmen.
Hierzu habe ich zuerst folgende Matrix gebildet
\(A=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
Dann habe ich A^T gebildet
\(A^T=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
Dann habe ich den Gaußalgorithmus angewendet indem ich II-I Zeile gerechnet habe
\(\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
Und diese Matrix dann wieder transponiert
\((A^T)^T=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 0\\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right) \)
Und die Basis wären jetzt die Spaltenvektoren
Basis =\(\{\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right), \left(
\begin{array}{r r r | r}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right)\}\)
Ist das korrekt?
\quoteoff
Korrekt: ja*. Aber sehr sehr umständlich. Die lineare Unabhängigkeit der beiden gegebenen Bildvektoren hätte hier schon ausgereicht (warum?).
Die Antwort auf das "warum?" in der Klammer würde dir auch gleich den Kern der Abbildung liefern, der ja laut Titel auch auf der Agenda steht.
BTW: in solchen Fällen wäre es für uns sehr hilfreich, wenn die gesamte Aufgabenstellung am Anfang einmal komplett und im Originalwortlauft angegeben wird. Am besten natürlich eingetippt! 🙂
*Bis auf die falsche Bezeichnung \((A^T)^T\)
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Biene30
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| Beitrag No.50, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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Weil zwei linear unabhängige Vektoren eine Basis bilden oder? Also hätte ich auch die beiden Vektoren (2,1,0)^T und (2,1,1)^T als Basis nehmen können?
Genau, du hast es richtig gesehen, die Frage nach dem Kern kommt als nächstes. Ich ändere nur noch gerade den Beitrag Nummer 1, indem ich alle Fragen hinzufüge.
Liebe Grüße
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.51, eingetragen 2023-02-26
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-26 20:48 - Biene30 in Beitrag No. 50)
Weil zwei linear unabhängige Vektoren eine Basis bilden oder? Also hätte ich auch die beiden Vektoren (2,1,0)^T und (2,1,1)^T als Basis nehmen können?
\quoteoff
Ganz so einfach ist es nicht. Die zwei linear unabhängigen Bildvektoren sagen dir, dass das Bild auf jeden Fall mindestens Dimension 2 besitzt. Auf der anderen Seite ist der Urbildraum der \(\IR^2\) (ein zweidimensionaler Raum), damit ist die Abbildung injektiv und es ist klar, dass das Bild genau Dimension 2 hat.
Ist dir dieser Satz schon über den Weg gelaufen? Damit kannst du dann den Kern bestimmen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Biene30
Aktiv
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
| Beitrag No.52, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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3. Rang, Kern und Dimension Kern von f
Ich würde hier die Matrix
\(\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)\) nehmen und Gaußalgorithmus anwenden und erhalte
\(\left(
\begin{array}{r r r | r}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
Also ist der Rang =2
Um den _Kern zu berechnen muss ich ja A*x=0 rechnen
\(\left(
\begin{array}{r r r | r}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right) \cdot \vec{x} = \vec{0}\)
Dann erhalte ich für x_1=0 und für x_2=0, also besteht der Kern nur aus dem Nullvektor
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]
|
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thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
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Wohnort: Kiel, Deutschland
 | Beitrag No.53, eingetragen 2023-02-26
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\id}{\operatorname{id}}\)
\quoteon(2023-02-26 20:37 - Diophant in Beitrag No. 49)
Korrekt: ja. Aber sehr sehr umständlich.
\quoteoff
Korrekt? Nein.
Was ich jetzt schreibe, ist Jammern auf hohem Niveau.
(Aber hohes Niveau willst du erreichen!)
\quoteon(2023-02-26 19:49 - Biene30 in Beitrag No. 48)
Hierzu habe ich zuerst folgende Matrix gebildet
\(A=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
Dann habe ich A^T gebildet
\(A^T=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 1 & 0 \\
2 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
\quoteoff
So weit, so unspektakulär. Du hast \(A\) definiert und \(A^T\) gebildet.
\quoteon(2023-02-26 19:49 - Biene30 in Beitrag No. 48)
Dann habe ich den Gaußalgorithmus angewendet indem ich II-I Zeile gerechnet habe
\(\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
\quoteoff
Also hast du die zweite Zeile durch die Differenz "2. Zeile minus erste Zeile" ersetzt.
Auch nicht verkehrt.
\quoteon(2023-02-26 19:49 - Biene30 in Beitrag No. 48)
Und diese Matrix dann wieder transponiert
\((A^T)^T=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 0\\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right) \)
\quoteoff
Jetzt ist dir ein Fehler unterlaufen:
Zwar ist \(\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 0\\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right) \) die Transponierte von \(\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\),
aber mich stört, dass du diese Matrix mit \((A^T)^T\) bezeichnest.
Für jede Matrix \(A\) gilt \((A^T)^T=A\) (rechne das gerne mal für den allgemeinen Fall nach!),
aber in unserer Situation würde das zu der falschen Aussage
\[
\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 0\\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
führen.
mfg
thureduehrsen
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.50 begonnen.]\(\endgroup\)
|
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10672
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.54, eingetragen 2023-02-26
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-02-26 21:01 - Biene30 in Beitrag No. 52)
3. Rang, Kern und Dimension Kern von f
Ich würde hier die Matrix
\(\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)\) nehmen und Gaußalgorithmus anwenden und erhalte
\(\left(
\begin{array}{r r r | r}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
Also ist der Rang =2
Um den _Kern zu berechnen muss ich ja A*x=0 rechnen
\(\left(
\begin{array}{r r r | r}
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right) \cdot \vec{x} = \vec{0}\)
Dann erhalte ich für x_1=0 und für x_2=0, also besteht der Kern nur aus dem Nullvektor
\quoteoff
Ja, genau. Das hättest du aber mit dem Rangsatz einfacher haben können, denn danach ist die Dimension des Kerns gleich Null. Also der Nullraum, und der besteht eben aus dem Nullvektor.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.52 begonnen.]\(\endgroup\)
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Biene30
Aktiv
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
| Beitrag No.55, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
|
Ahja den Rangsatz kenne ich natürlich (zumindest mal aus meinen Unterlagen). Stimmt, mit diesem wäre es einfacher gegangen
Okay das (A^T)^T = A ist weiß ich natürlich. Aber ich habe das hier doof aufgeschrieben, das führt zu einem Widerspruch das stimmt ich korrigiere es
|
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
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Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.56, eingetragen 2023-02-26
|
\quoteon(2023-02-26 21:09 - thureduehrsen in Beitrag No. 53)
Für jede Matrix \(A\) gilt \((A^T)^T=A\) (rechne das gerne mal für den allgemeinen Fall nach!),
aber in unserer Situation würde das zu der falschen Aussage
\[
\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 0\\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)
\]
führen.
\quoteoff
Um das für Biene30 noch zu ergänzen: Der Grund dafür ist, dass du die Matrix, die du nach dem Gauß-Algorithmus aus $A^T$ erhalten hast, wieder mit $A^T$ bezeichnest. Das ist aber offensichtlich eine andere Matrix.
Grüße,
PhysikRabe
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.54 begonnen.]
|
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Biene30
Aktiv
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
| Beitrag No.57, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
|
Jetzt kommt wieder eine für mich problematische Frage.
Ich soll ja jetzt die zu f gehörige Matrix bezüglich der Standardbasen angeben.
Ich weiß dass die Einheitsvektoren (1,0,0)^T, (0,1,0)^T und (0,0,1)^T sind. Mit denen muss ich jetzt ja wahrscheinlich arbeiten. und wahrscheinlich muss ich diese Matrix A wieder benutzen.
\(A=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 2 \\
1 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right)\)
Aber was genau muss ich hier tun?
|
Profil
|
Biene30
Aktiv
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
| Beitrag No.58, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
|
Oder muss ich die Einheitsvektoren (1,0)^T und (0,1)^T benutzen
|
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thureduehrsen
Senior
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1490
Wohnort: Kiel, Deutschland
| Beitrag No.59, eingetragen 2023-02-26
|
\quoteon(2023-02-26 21:20 - Biene30 in Beitrag No. 57)
Aber was genau muss ich hier tun?
\quoteoff
Aus dem ff fallen mir zwei Möglichkeiten ein:
entweder du studierst den Basiswechsel,
oder du lässt dir den folgenden Satz auf der Zunge zergehen:
In den Spalten der Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren der Ausgangsbasis, ausgedrückt als Linearkombination in der Zielbasis.
Wohlgemerkt sind beide Basen geordnet, d.h. die Basisvektoren haben eine festgelegte Reihenfolge.
Diese Webseite zum Beispiel macht das falsch, indem sie eine Menge und kein Tupel nutzt.
mfg
thureduehrsen
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.57 begonnen.]
|
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Biene30
Aktiv
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
| Beitrag No.60, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-27
|
Ich hätte ja
\(v_1=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right)\)
und
\(v_2=\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 \\
1 \\
1 \\
\end{array}
\right)\)
Also gilt
\(v_1=2*e_1+ 1*e_2+0*e_3\)
\(v_2=2*e_1+1*e_2+1*e_3\)
Ich erhalte dann die Matrix
\(\left(
\begin{array}{r r r | r}
2 & 1 & 0 \\
2 & 1 &1 \\
\end{array}
\right)\)
Habe ich das richtig gemacht?
|
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2811
Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.61, eingetragen 2023-02-27
|
Du sollst $f:\mathbb R^2 \to \mathbb R^3$ bezüglich der Standardbasen angeben. Deine Ausgangsbasis ist also $\{(1,0)^T , (0,1)^T\}$, nicht $\{(1,1)^T , (0,1)^T\}$ von den vorigen Aufgabenteilen.
Abgesehen davon kann die Matrix gar nicht richtig sein: Da $f$ von $\mathbb R^2$ nach $\mathbb R^3$ abbildet, muss die zugehörige Matrix 3 Zeilen und 2 Spalten haben.
Grüße,
PhysikRabe
|
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.62, eingetragen 2023-02-27
|
Hallo,
du hast
\[
f\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2y \\ y\\x \end{pmatrix}
\]
erhalten, das bedeutet, dass
\[
f(e_1)=f\begin{pmatrix} 1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix}=0e_1+0e_2+1e_3
\]
und
\[
f(e_2)=f\begin{pmatrix} 0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\0 \end{pmatrix}=2e_1+1e_2+0e_3
\]
ist.
Deine darstellende Matrix ist eine $3\times 2$-Matrix. Ihre Spalten sind die Koordiantenvektoren von $0e_1+0e_2+1e_3$ und $2e_1+1e_2+0e_3$, also gerade $\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 2 \\ 1\\0 \end{pmatrix}$ und auch in genau dieser Reihenfolge.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.60 begonnen.]
|
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Biene30
Aktiv
Dabei seit: 14.02.2023
Mitteilungen: 201
| Beitrag No.63, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-27
|
Ich würde also zuerst diese Abbildung nehmen
\(f(\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)) =\left(\begin{array}{c} 2y \\ y\\x \end{array}\right)\)
Und dann die Basisvektoren einsetzen
\(f(\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)) =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0\\1 \end{array}\right)\)
\(f(\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)) =\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1\\0 \end{array}\right)\)
Ist dieser erste Schritt richtig?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.61 begonnen.]
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PhysikRabe
Senior
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Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.64, eingetragen 2023-02-27
|
Ja, das ist richtig. Davon ausgehend ist nun nicht mehr viel zu tun, denn die Bilder dieser Basisvektoren sind ja bereits bezüglich der Standardbasis von $\mathbb R^3$ ausgedrückt. ochen hat in Beitrag No. 62 leider schon den Lösungsweg vorweg genommen. Die Matrix ist also $\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$. Du kannst selbst noch überprüfen, dass das wirklich die Abbildungsmatrix von $f$ ist, indem du diese Matrix auf $(x,y)^T$ anwendest.
Bitte denke es noch einmal selbst durch und stelle sicher, dass du wirklich verstanden hast, was gemacht wird, und vor allem wieso. Stelle Fragen, falls du dir unsicher bist. Jetzt hast du die Gelegenheit, Missverständnisse auszuräumen.
Grüße,
PhysikRabe
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Biene30
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| Beitrag No.65, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-27
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Ahja super ich habe ochens Beitrag leider erst zu spät gesehen.
Ich hätte allerdings die Matrix waagerecht gebildet
Also
(0 0 1
2 1 0)
Warum muss ich diese Vektoren senkrecht aufschreiben?
Viele Grüße
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PhysikRabe
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| Beitrag No.66, eingetragen 2023-02-27
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Das habe ich bereits geschrieben: $f$ ist eine Abbildung von $\mathbb R^2$ nach $\mathbb R^3$. Die zugehörige Matrix muss also eine $3\times 2$-Matrix sein, denn sie soll auf Vektoren in $\mathbb R^2$ wirken. Deshalb meine Aufforderung an dich, explizit zu überprüfen, dass die Matrix $\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$ tatsächlich $f$ repräsentiert: Berechne $\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)$ um zu sehen, dass $\left(\begin{array}{c} 2y \\ y \\ x \end{array} \right)$ herauskommt; das ist genau $f((x,y)^T)$.
Eine $2\times 3$-Matrix wie jene, die du aufgeschrieben hast, kann man nur auf Vektoren in $\mathbb R^3$ anwenden (erinnere dich daran, wie die Matrix-Multiplikation definiert ist).
Grüße,
PhysikRabe
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Biene30
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| Beitrag No.67, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-01
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\(\left(\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cc} 0 \cdot x + 2 \cdot y \\ 0 \cdot x + 1 \cdot y \ \\ 1\cdot x + 0 \cdot y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 2 \cdot y \\ 1 \cdot y \ \\ 1\cdot x \end{array}\right) \)
Vielen Dank an alle :-)
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