Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 01.10.2023 14:01 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von mire2 StrgAltEntf
Logik, Mengen & Beweistechnik » Mengenlehre » Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten
Autor
Universität/Hochschule Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten
carlox
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1580
  Themenstart: 2023-02-26

Hallo allerseits, Gibt es die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten ? Behauptung: Die Menge $\{z \mid z \not \in z\}$ existiert nicht (in ZFC). Beweis: Das neue Konstantensymbol $\{z \mid z \not \in z\}$ wird mit Hilfe der definitorischen Erweiterung eingeführt: $\forall y \; (\{z \mid z \not \in z\} \equiv y \quad .\leftrightarrow. \quad \forall z (z \in y \leftrightarrow z \not \in z))$ wobei zusätzlich noch gelten muss : $ZFC \vdash \exists | y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \not \in z))$ $\quad$ (*) Wenn man also Folgendes zeigt: $ZFC \vdash \neg \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \not \in z))$ dann hat man gezeigt, dass die Menge $\{z \mid z \not \in z\}$ nicht existiert. Es gilt: $\vdash \forall z (z \in y \leftrightarrow z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad (z \in y \leftrightarrow z \not \in z)$ $\vdash \forall z (z \in y \leftrightarrow z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad (y \in y \leftrightarrow y \not \in y)$ $\quad [y/z] $ $\vdash (y \in y \leftrightarrow y \not \in y) \quad .\rightarrow. \quad (r \equiv r \land \neg r \equiv r)$ $\quad$ Ex falso quodlibet $\vdash \forall z (z \in y \leftrightarrow z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad (r \equiv r \land \neg r \equiv r)$ $\quad$ Kettenschluss $\vdash \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad (r \equiv r \land \neg r \equiv r) $ $\quad$ $y \not \in Fr(S)$ und $Pv$ Damit gilt dann: $\vdash\neg \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \not \in z)$ Also kann (*) nicht gezeigt werden. Deshalb gibt es keine definitorische Erweiterung. Also existiert deswegen das neue Konstantensymbole $\{z \mid z \not \in z\}$ nicht. Was meint ihr dazu ? Ist der Beweis richtig? mfg cx

   Profil
carlox wird per Mail über neue Antworten informiert.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]