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| Autor |
 Mengen, die sich selbst als Element enthalten (ZFC) |
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carlox
Aktiv 
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1577
 |  Themenstart: 2023-02-26
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Hallo allerseits,
Gibt es die Menge aller Mengen, die sich selbst als Element enthalten ?
Behauptung:
Die Menge $\{z \mid z \in z\}$ existiert nicht.
Beweis:
Das neue Konstantensymbol $\{z \mid z \in z\}$ wird mit Hilfe der definitorischen Erweiterung eingeführt:
$\forall y \; (\{z \mid z \in z\} \equiv y \quad .\leftrightarrow. \quad \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in z))$
wobei zusätzlich noch gelten muss :
$ZFC \vdash \exists | y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in z))$ $\quad$ (*)
Wenn man also Folgendes zeigt:
$ZFC \vdash \neg \exists y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \in z))$ bzw. gleichbedeutend:
$ZFC \vdash \forall y \exists z \; \neg (z \in y \leftrightarrow z \in z))$
dann hat man gezeigt, dass die Menge $\{z \mid z \in z\}$ nicht existiert.
Nach dem Z-Korrolar 3 gilt:
$\vdash \forall x \exists y \; \neg (y \in x \leftrightarrow y \in y)$
Also kann (*) nicht gezeigt werden.
Deshalb gibt es keine definitorische Erweiterung.
Die Menge $\{z \mid z \in z\}$ existiert nicht.
-----------------------
Z-Korrolar 3:
Behauptung:
$ZFC \vdash \forall x \exists y \; \neg (y \in x \leftrightarrow y \in y)$
Beweis:
1) Es gilt nach dem (Aus):
$ZFC \vdash \forall x \exists y \; \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z)$ , also
$ZFC \vdash \exists y \; \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z)$ $\quad (*)$
Es gilt:
$ZFC \vdash \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z $
$ZFC \vdash \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad (y \in y \leftrightarrow y \in x \land y \not \in y) $ $\quad$ Subst. [y/z]
Mit $\;$ $A \leftrightarrow B \land \neg A \quad .\rightarrow. \quad \neg(A \leftrightarrow B)$ $\;$ folgt dann:
$ZFC \vdash \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad \neg (y \in y \leftrightarrow y \in x) $
$ZFC \vdash \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad \exists y \neg (y \in y \leftrightarrow y \in x) $ $\quad$ Ph
$ZFC \vdash \exists y \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \not \in z) \quad .\rightarrow. \quad \exists y \neg (y \in y \leftrightarrow y \in x) $ $\quad$ $y \not \in Fr(S)$ und $Pv$
Mit (*) folgt dann:
$ZFC \vdash \exists y \; \neg (y \in y \leftrightarrow y \in x) $
Also:
$ZFC \vdash \exists y \; \neg (y \in x \leftrightarrow y \in y ) $
und damit:
$ZFC \vdash \forall x \exists y \neg (y \in x \leftrightarrow y \in y ) $
Ist das alles korrekt?
mfg
cx
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Buri
Senior 
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-02-26
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Hi carlox,
die Menge {z | z∈z} existiert, es ist die leere Menge.
Gruß Buri
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carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1577
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-26
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Hallo Buri,
vielen Dank für dein Posting.
\quoteon
die Menge {z | z∈z} existiert, es ist die leere Menge.
\quoteoff
Bist du sicher?
Im Buch "Einführung in die Mengenlehre" von Ebbinghaus steht nur:
$\emptyset = \{z \mid z \neq z\} $
Das konnte ich auch beweisen.
Das ist zwar kein Gegenargument zu deiner Behauptung.
Aber wo ist mein Denkfehler?
mfg
cx
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5000
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-02-26
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\quoteon(2023-02-26 19:46 - carlox in Beitrag No. 2)
Im Buch "Einführung in die Mengenlehre" von Ebbinghaus steht nur:
$\emptyset = \{z \mid z \neq z\} $
\quoteoff
Für eine Menge $z$ mit $z\in z$ würde $\{z\}$ das Fundierungsaxiom nicht erfüllen.
--zippy
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carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1577
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-02-27
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\quoteon(2023-02-26 20:02 - zippy in Beitrag No. 3)
\quoteon(2023-02-26 19:46 - carlox in Beitrag No. 2)
Im Buch "Einführung in die Mengenlehre" von Ebbinghaus steht nur:
$\emptyset = \{z \mid z \neq z\} $
\quoteoff
Für eine Menge $z$ mit $z\in z$ würde $\{z\}$ das Fundierungsaxiom nicht erfüllen.
--zippy
\quoteoff
Zur leeren Menge:
Behauptung: $\{z \mid z \neq z\}$ ist eine Menge.
Beweis:
Da nach Z-Korrolar 4 gilt:
$ZFC \vdash \exists | y \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \neq z)$
(d.h. $\phi(y) := \forall z (z \in y \leftrightarrow z \neq z)$ ist ein konstanter Ausdruck)
kann das neue Konstantensymbol $\{z \mid z \neq z\}$ mit Hilfe der definitorischen Erweiterung eingeführt werden:
$\forall y \; (\{z \mid z \neq z\} \equiv y \quad .\leftrightarrow. \quad \forall z (z \in y \leftrightarrow \phi(y)))$
Z-Korrolar 4:
$ZFC \vdash \exists | y \forall z (z \in y \leftrightarrow z \neq z)$
Das bedeutet:
$\phi(y) := \forall z (z \in y \leftrightarrow z \neq z)$ ist ein konstanter Ausdruck
Beweis:
$\phi(y) := \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \neq z)$
1) Existenz:
Zeige: $ZFC \vdash \exists y \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \neq z)$
Beweis:
Es gilt nach (AUS) :
$ZFC \vdash \forall x \; \exists y \; \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \in x \land z \neq z)$
Da gilt: $ZFC \vdash (z \in x \land z \neq z) \quad .\leftrightarrow. \quad z \neq z$ folgt:
$ZFC \vdash \forall x \; \exists y \; \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \neq z)$ , also:
$ZFC \vdash \exists y \; \forall z \; (z \in y \leftrightarrow z \neq z)$
2) Eindeutigkeit:
Zeige:
$ZFC \vdash \forall y_1 \; \forall y_2 \; (\forall z (z \in y_1 \leftrightarrow z \neq z) \land \forall z (z \in y_2 \leftrightarrow z \neq z) \quad .\rightarrow. \quad y_1=y_2)$
gleichbedeutend:
$ZFC \vdash \forall y_1 \; \forall y_2 \; (\forall z ((z \in y_1 \leftrightarrow z \neq z) \land (z \in y_2 \leftrightarrow z \neq z)) \quad .\rightarrow. \quad y_1=y_2)$
Es gilt:
$ZFC \vdash (z \in y_1 \leftrightarrow z \neq z) \land (z \in y_2 \leftrightarrow z \neq z) \quad .\rightarrow. \quad z \in y_1 \leftrightarrow z \in y_2$
also:
$ZFC \vdash \forall z ((z \in y_1 \leftrightarrow z \neq z) \land (z \in y_2 \leftrightarrow z \neq z)) \quad .\rightarrow. \quad \forall z (z \in y_1 \leftrightarrow z \in y_2)$ $\quad (*1)$
Nach (EXT) gilt:
$ZFC \vdash \forall y_1 \forall y_2 (\forall z \; (z \in y_1 \leftrightarrow z \in y_2) \rightarrow y_1 \equiv y_2) $
also:
$ZFC \vdash \forall z \; (z \in y_1 \leftrightarrow z \in y_2) \rightarrow y_1 \equiv y_2 $ $\quad (*2)$
Aus (*1) und (*2) folgt mit Kettenschluss:
$ZFC \vdash \forall z ((z \in y_1 \leftrightarrow z \neq z) \land (z \in y_2 \leftrightarrow z \neq z)) \quad .\rightarrow. \quad y_1 \equiv y_2$
also:
$ZFC \vdash \forall y_1 \forall y_2 (\forall z ((z \in y_1 \leftrightarrow z \neq z) \land (z \in y_2 \leftrightarrow z \neq z)) \quad .\rightarrow. \quad y_1 \equiv y_2)$
Sind die Beweise richtig?
mfg
cx
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