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| Autor |
 Eigenschaften von Primzahlresten benennen: [war Wie nennt man?] |
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Bekell
Aktiv 
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3168
 |  Themenstart: 2023-03-02
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Ihr seht in der Tabelle die quadratischen Reste der ung. Primzahlen bis 37. (gelb) Gleich dahinter in jeder Zeile befinden sich im weissen Teil die zur selben PZ gehörigen quadrat. Nichtreste. Da die endliche Folge der jeweiligen quadrat Reste symmetrisch ist, hab ich die zweite Hälfte einfach überschrieben mit den quadrat. Nichtresten der jeweiligen PZ. Rot ist der Rest 398modPZ markiert.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/23651_QuadratischeRestefertig.png
Die quadratischen Reste im gelben Teil kann man unterteilen:
A: in solche Zahlen die selber Quadrate sind. (schwarz eingerahmt)
B: in solche Zahlen, die selber keine sind (nur gelb hinterlegt)
Wie unterscheidet man begrifflich diese beiden Gruppen? Da ja die Bezeichnungen "quadratischer Rest" und "quadratischer Nichtrest" schon, wie oben benutzt, belegt sind, verbieten sich diese.
Die Bezeichnungen "quadratische quadratische Reste" und "nichtquadratische quadratische Reste" würden verwirren. Vllt gibt es ja schon festgelegte Bezeichnungen dafür?
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StrgAltEntf
Senior 
Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-02
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Was hältst du von "positive Quadratzahlen kleiner p"?
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Bekell
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 09:05 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1)
Was hältst du von "positive Quadratzahlen kleiner p"?
\quoteoff
nicht schlecht, ...🙄
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MartinN
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Dabei seit: 05.08.2016
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-02
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Wenn du mod p rechnest, dann landest du in einer Restklasse des Restklassenringes \(\IZ / p \IZ \cong \IZ_p\). In diesem ist etwa für p = 7: \(\overline{2} = \overline{9}\) oder \(\overline{1} = \overline{8}\). Also in deine Tabelle (das gelbhinterlegte) nur "eine" Zahl zu schreiben, ist eigentlich falsch. Da müsste eine ganze Restklasse stehen (und du hast nur den kleinsten, nicht negativen Repräsentanten hineingeschrieben).
Außerdem gibt es Zahlen, die weder quadratischer Rest noch quadratischer Nichtrest sind... - du kannst nicht einfach alles was kein quadratischer Rest ist als "Nichtrest" bezeichnen. Etwa ist \(\overline{0} = p\IZ\) weder ein quadratischer Rest noch ein quadratischer Nichtrest.
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Bekell
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 09:34 - MartinN in Beitrag No. 3)
Wenn du mod p rechnest, dann landest du in einer Restklasse des Restklassenringes \(\IZ / p \IZ \cong \IZ_p\). In diesem ist etwa für p = 7: \(\overline{2} = \overline{9}\) oder \(\overline{1} = \overline{8}\). Also in deine Tabelle (das gelbhinterlegte) nur "eine" Zahl zu schreiben, ist eigentlich falsch. Da müsste eine ganze Restklasse stehen (und du hast nur den kleinsten, nicht negativen Repräsentanten hineingeschrieben).
\quoteoff
Da war ein Fehler noch drin, bei der Zeile für PZ 7, hab es verbessert.
Was meint \(\overline{1} = \overline{8}\) der Oberstrich. Wie spricht man es?
Das verstehe ich nicht. PZ 7 hat zum Beispiel 7 Reste, nämlich (0,1,2,3,4,5,6), davon ist die 0 weder q. R., noch q, NR. Die restlichen 6 Reste teilen sich hälftig in drei quadratische R. () und drei q. Nichtreste.
Du meinst, dass da alle Zahlen drin stehen sollten (was wegen der Unendlichkeit der Menge eigentlich illusorisch), die den und den Rest haben. Deshalb hab ich nur den kleinsten, nicht negativen Repräsentanten hineingeschrieben
\quoteon
Außerdem gibt es Zahlen, die weder quadratischer Rest noch quadratischer Nichtrest sind... - du kannst nicht einfach alles was kein quadratischer Rest ist als "Nichtrest" bezeichnen. Etwa ist \(\overline{0} = p\IZ\) weder ein quadratischer Rest noch ein quadratischer Nichtrest.
\quoteoff
Eine aus Nichtachtsamkeit erwachsene Ungenauigkeit von mir. Ich verstehe, was Du meinst und gehe d*accord.
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 11:13 - Bekell in Beitrag No. 4)
Was meint \(\overline{1} = \overline{8}\) der Oberstrich. Wie spricht man es?
\quoteoff
\(\overline x=\{...,x-2p,x-p,x,x+p,x+2p,...\}\) ist "die Restklasse von x (modulo p)".
Auf welches p sich der Strich bezieht, geht i. d. R. aus dem Zusammenhang hervor.
Hier ist \(\overline1=\overline8=\{...,-13,-6,1,8,15,...\}\).
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Bekell
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 12:12 - StrgAltEntf in Beitrag No. 5)
\quoteon(2023-03-02 11:13 - Bekell in Beitrag No. 4)
Was meint \(\overline{1} = \overline{8}\) der Oberstrich. Wie spricht man es?
\quoteoff
\(\overline x=\{...,x-2p,x-p,x,x+p,x+2p,...\}\) ist "die Restklasse von x (modulo p)".
Auf welches p sich der Strich bezieht, geht i. d. R. aus dem Zusammenhang hervor.
Hier ist \(\overline1=\overline8=\{...,-13,-6,1,8,15,...\}\).
\quoteoff
Danke, kurze und prägnante Bezeichnung, aber man muss es wissen ...
Kann man sowas sagen: \(\overline4= 2 * \overline8 \)?
Meint die Anzahl der Elemente der Menge der Restklasse 4 ist genau 2 x die Anzahl der Elemente der Restklasse 8...
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 12:41 - Bekell in Beitrag No. 6)
1) Kann man sowas sagen: \(\overline4= 2 * \overline8 \)?
2) Meint die Anzahl der Elemente der Menge der Restklasse 4 ist genau 2 x die Anzahl der Elemente der Restklasse 8...
\quoteoff
zu 1)
Wenn du \(2*\overline8=\{2\cdot x|x\in\overline8\}\) meinst, ist das nicht (unbedingt) richtig. Überlege dir, für welche p das gilt!
zu 2) Sowohl \(\overline4\) als auch \(\overline8\) haben unendlich viele Elemente.
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MartinN
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-02
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Wenn du die Anzahl / Kardinalität einer Menge meinst, dann solltest du das auch zum Ausdruck bringen und nicht einfach das Zeichen deiner Menge dafür verwenden. Mögliche Bezeichnungen, die ich kenne, sind: \(|A|=\#(A)=\text{card} (A) \)
Und nein, es gilt immer \(|\overline{4}|=|\overline{8}|\)
Alle Nebenklassen / Rest Klassen sind gleichmächtig. Du kannst einfach eine Bijektion zwischen beiden Mengen angeben, etwa indem zu jedem Element der Menge \(\overline{4}\) eine 4 addiert wird und du erhältst ein Element der Menge \(\overline{8}\).
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
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