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  Kumulative Verteilungsfunktion |
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Post123
Junior 
Dabei seit: 02.03.2023
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2023-03-02
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Hallo zusammen,
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen! Von meinem Chef habe ich folgende Aufgabenstellung erhalten: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit (unter vereinfachender Normalverteilungsannahme), dass die Rendite eines Portfolios bei <-5% liegt, bei einem Erwartungswert von 2,3% und einer Standardabweichung (als Volatilität) von 3%.
Mit Excel habe ich sowohl Einzelwahrscheinlichkeiten (anhand Norm.vert, FALSCH) als auch die kumulative Wahrscheinlichkeiten (Norm.vert, WAHR) berechnet. Allerdings entsprechen die kumulierten Wahrscheinlichkeiten nicht der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Wenn ich die Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion manuell ziehe, erhalte ich nicht die Werte der kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Ich habe teilweise sehr hohe Abweichungen. Ist die kumulative Verteilungsfunktion nicht die Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion? Habe ich hier evtl. einen Denkfehler? Die Einzelwahrscheinlichkeit für die Rendite von -5% liegt bei 0,69%, die kumulierte Wahrscheinlichkeit bei 0,75%. Bei einer Rendite von z.B. -6% liegt die Wahrscheinlichkeit bei 0,29%, die kumulierte Wahrscheinlichkeit bei 0,28%. Für -7% Rendite liegt die Einzelwahrscheinlichkeit bei 0,1%, die kumulierte WS auch. Also müsste doch die kumulierte WS für -5% bei 1,1% (0,69% + 0,29% + 0,1%) liegen und nicht bei 0,75% oder?
Über eine zeitnahe Rückmeldung wäre ich Euch sehr dankbar. Vielen Dank und Grüße
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-02
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Hallo und willkommen hier im Forum!
\quoteon(2023-03-02 13:24 - Post123 im Themenstart)
Wenn ich die Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion manuell ziehe, erhalte ich nicht die Werte der kumulierten Wahrscheinlichkeiten. Ich habe teilweise sehr hohe Abweichungen. Ist die kumulative Verteilungsfunktion nicht die Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion? Habe ich hier evtl. einen Denkfehler?
\quoteoff
Offensichtlich: ja. Denn die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung, es gibt hier also keine Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X=k)\) (also das, was du "Einzelwahrscheinlichkeiten" nennst). Denn in diesem Fall gilt grundsätzlich \(P(X=k)=0\).
Die Summenbildung geschieht hier über ein Integral, also für deinen Fall
\[P(X<-5)=\int_{-\infty}^{-5}{f(x)\ \dd x}\]
Wobei \(f(x)\) die Dichte der Normalverteilung mit den entsprechenden Parametern ist.
Das könntest du in Excel mit der Funktion GAUSS berechnen, wobei diese Funktion die sog. Standardnormalverteilung verwendet. Dazu müsstest du deine Zufallsvariable noch folgendermaßen transformieren:
\[Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-0.023}{0.03}\]
Oben setzt du noch \(X=-0.05\) ein, dann kannst du für den so erhaltenen Wert von \(Z\) die kumulierte Wahrscheinlichkeit berechnen. Achtung: Excel liefert da einen um 0,5 zu kleinen Wert zurück, diese 0,5 musst du also noch aufaddieren.
(Einfacher geht das hier vermutlich mit einem Taschenrechner, der die Normalverteilung an Bord hat...)
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 999
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 13:44 - Diophant in Beitrag No. 1)
(Einfacher geht das hier vermutlich mit einem Taschenrechner, der die Normalverteilung an Bord hat...)
Gruß, Diophant
\quoteoff
... oder mit der App Probability Distributions fuer Android-Smartphones.
vg Luis
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Post123
Junior 
Dabei seit: 02.03.2023
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Hallo Diophant,
herzlichen Dank für die schnelle Rückmeldung.
Mit deiner u.a. Formel komme ich ebenfalls auf eine kumulierte WS von 0,75%. Der Wert ist soweit nachvollziehbar. Das was ich nicht verstehe ist, wieso die kumulierte Verteilungsfunktion F nicht die Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f abbildet.
Im Internet steht: "Die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen zeigt die Wahrscheinlichkeit einzelner Ergebnisse des Zufallsexperiments (das meine ich mit Einzelwahrscheinlichkeit). Bei der Verteilungsfunktion werden hingegen die Wahrscheinlichkeiten bis zu einer bestimmten Ausprägung aufaddiert und die Summe der Wahrscheinlichkeiten dargestellt".
Hier steht, dass die Ausprägungen aufaddiert werden. Und genau das war eigentlich auch mein Verständnis. Nur passt das in Excel mit der Norm.vert Funktion nicht. Liegt der Grund also daran, dass die Summenbildung über ein Integral gebildet wird und nicht einfach die Werte aufaddiert werden, wie es oben steht? Sorry für die Verwirrung. Vielen Dank vorab.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Diophant
Senior
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-02
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Hallo,
\quoteon(2023-03-02 15:22 - Post123 in Beitrag No. 3)
Mit deiner u.a. Formel komme ich ebenfalls auf eine kumulierte WS von 0,75%. Der Wert ist soweit nachvollziehbar. Das was ich nicht verstehe ist, wieso die kumulierte Verteilungsfunktion F nicht die Summe der Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f abbildet.
Im Internet steht: "Die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen zeigt die Wahrscheinlichkeit einzelner Ergebnisse des Zufallsexperiments (das meine ich mit Einzelwahrscheinlichkeit). Bei der Verteilungsfunktion werden hingegen die Wahrscheinlichkeiten bis zu einer bestimmten Ausprägung aufaddiert und die Summe der Wahrscheinlichkeiten dargestellt".
Hier steht, dass die Ausprägungen aufaddiert werden. Und genau das war eigentlich auch mein Verständnis. Nur passt das in Excel mit der Norm.vert Funktion nicht. Liegt der Grund also daran, dass die Summenbildung über ein Integral gebildet wird und nicht einfach die Werte aufaddiert werden, wie es oben steht? Sorry für die Verwirrung. Vielen Dank vorab.
\quoteoff
Aufaddieren heißt ja im stetigen Fall: Integrieren. Denn du müsstest ja für ein beliebig kleines Intervall stets noch überabzählbar unendlich viele "Einzelwahrscheinlichkeiten" aufaddieren, die alle gleich Null sind.
Die Excel-Funktion NORM.VERT kannst du auch verwenden, indem du den Parameter "Kumuliert" auf Wahr setzt. Das ist sogar einfacher als mein erster Tipp über die Funktion GAUSS. Wobei mir da spontan nicht klar ist, wie man die untere Schranke \(-\infty\) eingibt, aber ich bin alles andere als Excel-Experte...
Setzt man den Parameter "Kumuliert" auf FALSCH, dann liefert die Funktion den Wert der Dichtefunktion der betreffenden Normalverteilung zurück. Dieser Wert ist aber im stetigen Fall keine Wahrscheinlichkeit.
Anschauliches Beispiel: die Länge von einem bestimmten Bolzentyp sei normalverteilt mit dem Mittelwert 3cm. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus einer beliebig großen Stichprobe herausgegriffener Bolzen dieses Typs genau 3cm lang ist, ist gleich Null. Die Dichtefunktion der Normalverteilung würde an dieser Stelle aber den Wert \(\frac{1}{2\pi\sigma^2}\) zurückliefern.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Post123
Junior
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56215_Kumulierte_WS.PNG
Hallo Diophant,
Ich füge mal meine Berechnung in Excel bei. Hoffe, dass du das Bild sehen kannst.
Die Aufgabenstellung war zu errechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Rendite eines Aktien Portfolios bei <= -5% liegen wird. Wie bereits geschrieben bei einem Erwartungswert von 2,3% und einer Standardabweichung von 3%. Ich bin so vorgegangen, dass ich nicht nur die Rendite <-5% betrachtet habe, sondern eine Reihe von -10 % bis +10% (s. Bild anbei). In der Spalte B ist die Dichtefunktion pro Zufallsvariable (errechnet mit Norm.vert --> Parameter: FALSCH). Die Spalte B interpretiere ich so, dass die Wahrscheinlichkeit eine Rendite von genau -5% zu erhalten bei 0,69% liegt. Ist das Richtig?
In der Spalte C habe ich die kumulierte WS d.h. die Verteilungsfunktion mit der Excel Funktion Norm.vert--> Paramter: WAHR) erstellt. Die Spalte C interpretiere ich wie folgt: mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,748% wird die Rendite bei <= -5% liegen. Ist das zutreffend?
Nun meinte mein Chef, dass die Spalte C gar nicht stimmen könnte, weil rein rechnerisch diese Werte die kumulierten Werte aus der Spalte B sein müssten. Und zu dieser Frage finde ich eben keine Antwort 🙃 Ich hoffe, ich konnte es einigermaßen erklären.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 16:26 - Post123 in Beitrag No. 5)
Nun meinte mein Chef, dass die Spalte C gar nicht stimmen könnte, weil rein rechnerisch diese Werte die kumulierten Werte aus der Spalte B sein müssten. Und zu dieser Frage finde ich eben keine Antwort 🙃 Ich hoffe, ich konnte es einigermaßen erklären.
\quoteoff
Ihr müsst beide in Sachen Stochastik nachsitzen! 😉
Also nochmal: die Werte der Dichtefunktion, die du in der Spalte B berechnest, sind völlig irrelevant und insbesondere kann man damit keine kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnen.
Sofern du die Spalte c)
- mit der Funktion GAUSS oder
- mit der Funktion NORM.VERT mit dem Parameter "Kumuliert" auf WAHR
berechnet hast, dann ist in dieser Spalte alles fein. Es spricht ja auch für sich, dass die Werte dieser Spalte nach unten offensichtlich gegen 1 streben...
Gruß, Diophant
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Post123
Junior
Dabei seit: 02.03.2023
Mitteilungen: 5
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Ich definitiv, hatte vor 20 Jahren das letzte Mal Stochastik 🙃
Also verstehe ich es richtig, dass beide Funktionen getrennt voneinander betrachtet werden müssen und und die Werte der Verteilungsfunktion nicht automatisch die kumulierten Werte der Dichtefunktion sind?
Die Spalte C habe ich mit der Funktion NORM.VERT mit dem Parameter "Kumuliert" auf WAHR berechnet.
Sind meine Interpretationen zu Spalte B und C korrekt?
Kann ich also schlussfolgern, dass das Aktienportfolio (mit den vorher genannten Parametern) mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,69% eine Rendite von -5% und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,75% eine Rendite von <= -5% aufweisen wird? Und die Verteilungsfunktion getrennt von der Dichtefunktion betrachtet werden muss und die Werte der Verteilungsfunktion nicht die kumulierten Werte der Dichtefunktion sind?
Ich glaube hier ist auch das Wort "kumuliert" etwas irreführend 😁
Vielen Dank nochmals für deine Mühe 👍
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Diophant
Senior
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-02
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\quoteon(2023-03-02 17:04 - Post123 in Beitrag No. 7)
Kann ich also schlussfolgern, dass das Aktienportfolio (mit den vorher genannten Parametern) mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,69% eine Rendite von -5%
\quoteoff
Nein. Die Wahrscheinlichkeit für eine Rendite von -5% ist exakt gleich Null.
\quoteon(2023-03-02 17:04 - Post123 in Beitrag No. 7)
und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,75% eine Rendite von <= -5% aufweisen wird?
\quoteoff
Das ist richtig.
\quoteon(2023-03-02 17:04 - Post123 in Beitrag No. 7)
Und die Verteilungsfunktion getrennt von der Dichtefunktion betrachtet werden muss und die Werte der Verteilungsfunktion nicht die kumulierten Werte der Dichtefunktion sind?
\quoteoff
Du packst das nach wie vor an der falschen Stelle an. Natürlich stellt die Verteilungsfunktion die kumulierte Dichtefunktion dar. Nur, dass wir es hier mit stetigen Funktionen zu tun haben und "kumulieren" hier automatisch "integrieren" bedeutet.
\quoteon(2023-03-02 17:04 - Post123 in Beitrag No. 7)
Ich glaube hier ist auch das Wort "kumuliert" etwas irreführend 😁
\quoteoff
Aus dem Grund verwende ich es im stetigen Fall normalerweise auch nicht. Es wird aber teilweise schon verwendet, vor allem auch im Englischen (wo Verteilungsfunktionen teilweise als cumulated density function bezeichnet werden).
Gruß, Diophant
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Post123
Junior
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Mitteilungen: 5
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-02
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Super, vielen lieben Dank Diophant. Jetzt ist es klar geworden 😉
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