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 kommutative Algebra: irreduzible Komponenten von Spec A |
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NikNak123
Neu 
Dabei seit: 08.03.2023
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2023-03-08
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Hey,
ich hatte bei dieser Aufgabe in meiner Klausur über kommutative Algebra Probleme, und da ich die Klausur nochmal schreiben werde, würde ich die Aufgabe gerne verstehen.
Sei k ein Körper mit Charakteristik ungleich 2.
Betrachte den Ring A:= k[X,Y]/(X(Y+1),X(Y+X²))
Bestimme alle irreduziblen Komponenten von Spec A.
Eigentlich sieht das nicht nach so einer schweren Aufgabe aus, allerdings habe ich vielleicht 1-2 Sätze aus der Vorlesung übersehen, um diese Aufgabe zu lösen.
Es hat mit Sicherheit irgendetwas damit zu tun,(X(Y+1),X(Y+X²)) zu zerlegen.
Ich weiß auch, dass für p ∈ A minimales Primideal, V(p) eine irreduzible Komponente von Spec A ist. Insbesondere ist für A Integritätsring, Spec A irreduzibel.
Wenn ich also Spec A irgendwie scheiben könnte als
Spec A = Spec k[X,Y]/primideal ∪ Spec k[X,Y]/primideal ∪ ...
so wäre doch die Aufgabe gelöst, da k[X,Y]/primideal Integritätsring ist.
Ist dieser Ansatz richtig? Wie genau ich das mache, weiß ich dann nicht.
Ich bedanke mich schonmal im vorraus.
MfG NikNak
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
iStein
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Dabei seit: 25.08.2022
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-04-11
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Hallo NikNak123,
einige Ideen zur Aufgabe.
Definition in Wikipedia: Spec (R) = (P, P Primideale in R)
Die Aufgabe heißt, alle Primideale von A zu finden.
Der Ring A hat Nullteiler X, Y+1, Y+X2 und X+1, X-1 in den Nullteiler-Produkten X(Y+1), X(Y+X2) und X(X2-1).
Die Primideale P müssen also alle Nullteiler-Produkten zu 0 in A/P machen.
Also P1= (X) ist ein Primideal. Da z.B. für X(Y+1) =0 in A, daher sicher auch in A/P1, Y+1 (ungleich) 0 in A/P1, aber X=0 in A/P1. A/P1 ist ein Integritätsring.
Das ist wohl auch in der Zerlegung I=(X(Y+1), X(Y+X2)) = (X) (Y+1, Y+X2) zu sehen.
Es sind auch alle P= (X, f(Y)), mit f(Y) irreduzibel, sind Primideale.
Außerdem, wie immer P0= (1) = A ist ein Primideal.
Der zweite Faktor I2= (Y+1, Y+ X2) ist nicht prim, enthält aber Primideale.
Wie sind „irreduzible Komponenten“ definiert?
Nach meinem Wissensstand, irreduzible Komponenten V(P) <--> Primideale P. oder?
Grüße
PS: Formeleditor funktioniert nicht so richtig. X2 soll z.B. X quadrat sein.
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