Die Mathe-Redaktion [Home] - Neues auf einen Blick 05.06.2023 18:48 [Neues] [Forum] [Suche] - Registrieren/Login
 
Matroids Matheplanet Forum Index
Moderiert von nzimme10
Analysis » Integration » Integral trigonometrische Substitution
Autor
Universität/Hochschule J Integral trigonometrische Substitution
marathon
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
  Themenstart: 2023-03-11

Hallo hier eine Anfrage zu einem mittelschweren Integral nun gut nach ganz oben hin gibt es ja bei den Intergralen sowieso keine Grenzen..... daher ja auch die unterschiedliche Validierung Differenzieren als Handwerk Integrieren als Kunst.... gut also der semper idem der Worte sind genug getan.... bildelement zur aufgabe https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_Screenshot_2023-03-11_14.57.00.png \ int((sin(3x)/sin(x)dx nun wurde zuerst aufgespalten im Zähler leuchtet mir ein also int((sin(2x+x)/sin(x))*dx erbring als trigo Identität int(((sin(2x)*cos(x) +(sin(x)*cos(2x)))/(sin(x))*dx gut soweit und nun taucht in dem Video gleich ein umgeformter trigonometrischer pytasgoras auf sin^2(x) +cos^2(x) =1 siehe auch eingefügtes Bildelement cos(2x) ist demnach = 1-2sin^2(x) sehe ich nicht wie kommt man darauf!!! weill das Video der Reihe nach durchgehen

   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-11

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo marathon, was genau ist eigentlich deine Frage? Was die Identität \(\cos 2x=1-2\sin^2x\) angeht, die kann man sich bspw. mit einer elementareren Identität herleiten, nämlich \[\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y\] Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Integralrechnung' in Forum 'Integration' von Diophant]\(\endgroup\)

   Profil
marathon
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-11

\ ich probier es mal also cos(x+-Y)= cos(x)*cos(y) +sin(x)*sin(y) ich glaub ich sehe es hier heißt es ja cos(2x) also cos(x+x) bringt dann cos^2(x)-sin^2(x) super blöde gefragt wird hier mit dem - oder + gerechnet ach so immer gegenteilig also bei + mit minus und umgekehrt ich sehe daher cos^2(x)-sin^2(x) und nun wird der cos^2(x) noch ausgetauscht mit 1-sin^2(x) muss man auch erst sehen in einem anderen Script gefunden also 1-sin(x)-sin(x) = 1-2sin(x) tatsächlich also weiter zu dem Video

   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-12

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo marathon, \quoteon(2023-03-11 23:50 - marathon in Beitrag No. 2) \ ich probier es mal also cos(x+-Y)= cos(x)*cos(y) +sin(x)*sin(y) ich glaub ich sehe es hier heißt es ja cos(2x) also cos(x+x) bringt dann cos^2(x)-sin^2(x) super blöde gefragt wird hier mit dem - oder + gerechnet ach so immer gegenteilig also bei + mit minus und umgekehrt \quoteoff Immer "gegenteilig", wie du es genant hast. Das meint man ja mit dem Symbol \(\mp\). \quoteon(2023-03-11 23:50 - marathon in Beitrag No. 2) \ ich sehe daher cos^2(x)-sin^2(x) und nun wird der cos^2(x) noch ausgetauscht mit 1-sin^2(x) muss man auch erst sehen in einem anderen Script gefunden also 1-sin(x)-sin(x) = 1-2sin(x) tatsächlich also weiter zu dem Video \quoteoff Am Ende hast du die Quadrate an den Sinustermen vergessen, aber vom Prinzip her passt es. Gruß, Diophant\(\endgroup\)

   Profil
marathon
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-13

also nochmal hat gerade vorhin nicht geklappt wollte dies einfach mit derm Kopiermodus hier einfügen Strange!!! \ wie gesagt den unteren Bereich sehe ich nicht merh die Additionstheoreme eben???????!!!! gut nach ein paar weiteren Umformung taucht in dem gegebenen Integral int(sin(3x)/sin(X),x,a,b) mit dem Zwischenschritt int(sin (2x+x)/sin(x),x,a,b) = int((cos(2x)*sin(x) + cos(x)*sin(2x))/sin(x),x,a,b) int(((1-2sin^2(x))*sin(x) + cos(x)*2sin(x)*cos(x))/sin(x),x,a,b) int(((sin(x)-2sin^3(x)) +2sin(x)*(1-sin^2(x)))/sin(x),x,a,b) int((3sin(x)-4sin^3(x))/sin(x),x,a,b) gekürzt bleibt int((3-4sin^2(x)),x,a,b) int((3-4(1/2*(1-cos(2(x)))),x,a,b) das heißt das 4sin^2(x) wird zu 4(1/2*(1-cos(2(x) sehe ich aber nicht in ganzer Perspektive cos(2x) ist ja (1-sin^2(x) dies wissen wir und letztendlich ich auch inzwischen würde dies im Rückschluss heißen das nur sin^2(x) = 1-cos(2X) ergibt aber woher kommt die 1/2 bei dem Umformungsresultat 4(1/2*(1-cos(2(x) brauche da leider ein paar weg zielführende Impulse

   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-13

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo marathon, da wurde die Identität \(\cos(2x)=1-2\sin^2 x\) nach dem Quadrat des Sinus aufgelöst und erneut verwendet. Dabei entsteht der Faktor 1/2. Ich finde das an dieser Stelle umständlich. Versuche einmal getrennt, in einer Nebenrechnung, das Integral \[\int{\sin^2x\ \dd x}\] zu berechnen. Damit würdest du hier IMO einfacher ans Ziel kommen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)

   Profil
marathon
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-13

\ also sin^2(x) partiell denke ich int(sin^2(x),x,a,b) sin(x)*sin(x) = einmal auf einmal ab!!!!! c-int(cos(x)*-cos(x),x,a,b) = cos(x)*sin(x)-int(1-sin^2(x),x,a,b) = 2cos(x)*sin(x)- x oder bin ich nun total bematscht nein dies wäre Blödsinn hört hier die Schleife gar nicht auf!!!! kklar im Internet wird eine Rekursionsformel angeboten geht es auch ohne diese!!! int(sin^n(x),x,a,b) = (n-1)/n*int((sin^(n-2)*(x)),x,a,b)-(cos(x)*sin^(n-1)*x)/n hab rumgedokterd sprich häretisch elaboriert Formeleditor macht auch bedingte Probleme komme trotzdem nicht ganz dutrch??

   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-14

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo marathon, jetzt hast du auf den letzten Metern "schlapp gemacht", dein Ansatz war nämlich völlig richtig. 🙂 Wir haben: \[\ba \int{\sin^2x\ \dd x}&=-\sin x\cdot\cos x+\int{\cos^2 x\ \dd x}\\ \\ &=-\sin x\cdot\cos x+\int{\left(1-\sin^2\right)\ \dd x}\quad\Rightarrow\\ \\ 2\int{\sin^2x\ \dd x}&=-\sin x\cdot\cos x+\int{1\ \dd x}\\ \\ &=-\sin x\cdot\cos x+x+C\quad\Rightarrow\\ \\ \int{\sin^2x\ \dd x}&=\frac{x-\sin x\cdot\cos x}{2}+C \ea\] Jetzt benutze das für das hier diskutierte Integral. Gruß, Diophant\(\endgroup\)

   Profil
Kuestenkind
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2568
  Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-14

Bei solch einem Integral würde ich diesen Weg gehen. Gruß, Küstenkind

   Profil
marathon
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-18

ja aber wir bzw soll doch dahin siehe Bildelement https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_red_pen.JPG gut getreu dem Motte in Bild Bilderserie sagt mehr als 1000 Worte die ersten Schritte kann ich ja nun durchaus nachvollziehen es ist nur der Schritt wo es dann zu https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/43568_red_pen_2.JPG \ 1/2(1-cos(2x)) übergeht was ich gefunden habe im Netz war nur das schon aufgezeigte cos (2X)=cos^2(x)- sin^2(x) = -1-sin^2(x)- sin^2(x)=1-2sin^2(x) und nun nach sin^2(x) auflösen wäre dies nicht besser cos(2x)-1 = -2sin^2(x) /2 und mal -1 bringt (-cos(2x) +1)/2 das x-sin(x)*cos(x)/2 bringt mich zumindest sehe ich es nicht kaum so recht voran ist diese vorgetragene Absicht nicht pragmatischer

   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.10, eingetragen 2023-03-19

Hallo marathon, \quoteon(2023-03-18 23:02 - marathon in Beitrag No. 9) ja aber wir bzw soll doch dahin siehe Bildelement... \quoteoff Das ist jetzt aber wirklich unverständlich. Wenn du einmal komplett auf deine "Bildelemente" verzichten könntest und stattdessen deine Fragen in möglichst kompakter Form hier eintippen würdest: dann wäre das für beide Seiten eine Erleicherung: für die, die Antworten schreiben genauso wie für dich. Ich kann deine Bilder betrachten und bei mir denken: "alle dargestellten Umformungsschritte wurden hier im Thread bereits besprochen". Was aber deine Frage hier ist: sorry, da steige ich aus... Gruß, Diophant

   Profil
marathon
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 25.07.2015
Mitteilungen: 690
  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-19

An Diophant Nein dies war wirklich nicht kryptisch dabei ist es bei der gegebenen Qualifikation ganz ganz einfach doch das hast du sicher eigentlich auch sofort erkannt??????!!! \ also der punkt innerhalb er erreichten Umformungskette war ja (3-4sin^2(x)) und der wie ich finde recht kompetent agierende Herr aus Asien kommend hatte in dieser Video Sequenz nun das 4sin^2(x) umgeformt in (4(1/2*(1-cos(2x)) um diesen Punkt ging es mir!!! übergeht was ich gefunden habe im Netz war nur das schon aufgezeigte cos (2X)=cos^2(x)- sin^2(x) = -1-sin^2(x)- sin^2(x)=1-2sin^2(x) und nun nach sin^2(x) auflösen wäre dies nicht besser cos(2x)-1 = -2sin^2(x) /2 und mal -1 bringt (-cos(2x) +1)/2 das x-sin(x)*cos(x)/2 bringt mich zumindest sehe ich es nicht kaum so recht voran also es ging mir da nur um das eben sicher an irgendeiner Stelle schon besprochene sin^2(x) was hier eben zu 1/2*(1-cos(2x))transformiert aber da scheint der Ansatz ja über cos (2X)=cos^2(x)- sin^2(x) = -1-sin^2(x)- sin^2(x)=1-2sin^2(x) zu laufen aber es stimmt meine Darstellung ist bisweilen doch etwas zu sehtr in sich verschachtelt....

   Profil
Diophant
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
  Beitrag No.12, eingetragen 2023-03-20

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo marathon, sorry, aber ich verstehe dein Anliegen nach wie vor nicht wirklich. Bzw. kann ich zu dem, was ich verstehe nur sagen: es ist bereits alles besprochen. Es gibt unzählige trigonometrische Identitäten, siehe dazu etwa bei Wikipedia. Dementsprechend gibt es beim Integrieren trigonometrischer Funktionen oftmals viele mögliche Wege. Die letzte Umformung, wo erneut \(\cos(2x)=1-2\sin^2(x)\Leftrightarrow\sin^2(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(1-\cos(2x)\right)\) verwendet wird, ermöglicht es, ohne Kenntnis der Stammfunktion von \(\sin^2(x)\) einfach mit einer linearen Substitution weiterzumachen. Das ist rein integrationstechnisch hier der etwas einfachere Weg. Aber eben u.U. eine Umformung mehr. Letztendlich ist es aber Geschmacksache, von "besser" oder "schlechter" würde ich da nicht sprechen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)

   Profil
marathon hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt.

Wechsel in ein anderes Forum:
 Suchen    
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]