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  Basis vom Bild einer Matrix bestimmen |
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LeonieMath
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 |  Themenstart: 2023-03-13
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Hallo zusammen, kann mir jemand erklären, wie ich die Basis des Bildes bestimme (Teilaufgabe 2)? Den Rang habe ich bestimmt, dieser ist = 2 und gibt die Dimension der gesuchten Basis an. Wie ich nun jedoch weiter verfahren soll, weiß ich nicht. Ich hoffe, dass mir jemand weiterhelfen könnte ;)
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56119_5D0AB593-A49D-42DB-963C-7DA2F488A529.jpeg
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-13
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Wenn du die Dimension des Bildes bereits kennst, was spricht dann dagegen, einfach $\dim(\opn{im}(\Phi_A))$ linear unabhängige Vektoren zu suchen, die im Bild enthalten sind. Solche Vektoren kann man an der Matrix $A$ sogar direkt ablesen.
Ich möchte an dieser Stelle einen geschätzten MP-Kollegen zitieren:
\quoteon(2023-03-09 22:05 - Kuestenkind in Beitrag No. 1)
Hier gibt es eine Gute-Nacht-Lektüre:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
Ich zitiere: "Der erste Schritt besteht darin, die dabei verwendeten mathematischen Begriffe zu verstehen. Wenn man sich nicht mehr an die Bedeutungen bzw. Definitionen erinnert, muss man diese im Skript oder bei Wikipedia nachschlagen."
\quoteoff
LG Nico\(\endgroup\)
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LeonieMath
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-13
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Danke Nico, deine Worte haben mir aus einem Moment der Schwäche geholfen - ich schiebe das mal auf die späte Uhrzeit ;-)
An andere User, die sich die Frage ebenfalls gestellt haben: Uns ist die Dimension der Basiselemente bekannt. Daher reicht es, 2 linear unabhängige Vektoren aus dem Bild der Abildung zu entnehmen. Dies kann man beispielsweise machen, in dem man die Matrix von rechts mit e_1 & e_2 multipliziert (e_i ist der Spaltenvektor, der an der i-ten Stelle den Eintrag 1 hat, sonst 0).
LG
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-13
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\quoteon(2023-03-13 10:40 - LeonieMath in Beitrag No. 2)
Dies kann man beispielsweise machen, in dem man die Matrix von rechts mit e_1 & e_2 multipliziert.
\quoteoff
Ja, weil das einfach die erste und zweite Spalte der Matrix als Ergebnis liefert. Das funktioniert in diesem konkreten Fall. In anderen Fällen muss das nicht so funktionieren.
LG Nico
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