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  Finde den Radius (Planimetrie) |
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Phoensie
Aktiv 
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
 |  Themenstart: 2023-03-14
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} % Natürliche Zahlen
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} % Ganze Zahlen
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} % Rationale Zahlen
\newcommand{\R}{\mathbb{R}} % Reelle Zahlen
\newcommand{\C}{\mathbb{C}} % Komplexe Zahlen
\newcommand{\ord}{\mathrm{ord}} % Gruppenordnung
\newcommand{\indep}{\perp \!\!\! \perp} % Stochastische Unabhängigkeit (Symbol)
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} % Realteil
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} % Imaginärteil
\renewcommand{\d}{\operatorname{d}} % Differential-d
\)
Liebe Matheplanetarier
Wie löse ich diese Aufgabe? Finde den Radius $r$ in Abhängigkeit von $a$.
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/52918_Prf4-Nr04.PNG
Der Mittelpunkt des Halbkreises liegt NICHT genau über dem rechten Kreisrand. Wäre dies der Fall, hätte man $r=3a-2a=a$. Augenscheinlich ist die Quadratdiagonale $3\sqrt{2}a$ lang. Zeichnet man alles in einem Koordinatensystem, dann liefert dies
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/52918_kreis1.PNG
Meine Idee war es zunächst, eine Horizontale $y=a$ durch den unteren Kreismittelpunkt und eine Vertikale $x=3a-r$ durch den oberen Kreismittelpunkt zu legen, um so ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse $r+a$ zu erhalten, in dem der Satz des Pythagoras anwendbar ist. Eine Kathete hat Länge $2a$, doch die andere (horizontale) Kathete des Dreiecks finde ich nicht...
Ich danke für euren Input.😉
LG Phoensie\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2568
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-14
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Huhu Phoensie,
die ist doch einfach \(3a-a-r=2a-r\) lang, oder übersehe ich etwas?
Gruß,
Küstenkind
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cramilu
Aktiv 
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2236
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-14
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Hallo Phoensie,
ich sehe es genau wie Kuestenkind:
\((a+r)^2\;=\;(2a)^2\,+\,(2a-r)^2\)
Auflösen, Fallunterscheidung, fertig.
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3324
Wohnort: Werne
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-14
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Hallo zusammen,
eine Fallunterscheidung ist nicht notwendig, auf beiden Seiten fällt $r^2$ raus. 😉
Ciao,
Thomas
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4358
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-14
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oder zeichnerisch, K2 um a vergrössern, dieser kreis geht durch E und einem punkt G der a entfernt ist rechts von C, die strecke E-G hat eine recht einfache steigung, und einen einfachen mittelpunkt, ihre mittelsenkrechte geht durch F da sie ja eine sehne des vergrösserten kreises ist
damit wird r ein einfacher weil ganzzahliger bruch und man braucht keine wurzeln zu ziehen
(du könntest auch deine zeichnung neu machen mit sechs kästchen für a anstelle von zehn) smile
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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haribo
Senior
Dabei seit: 25.10.2012
Mitteilungen: 4358
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-14
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@monty, rechnerisch muss man aber doch auch den radius finden dessen kreis K1 von aussen berührt, wiso soll der wegfallen?
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MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3324
Wohnort: Werne
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-14
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Hallo haribo,
die Gleichung von cramilu ist schon korrekt. Nur $r^2$ fällt nach Ausmultiplizieren auf beiden Seiten raus, ein linearer Term mit $r$ bleibt natürlich übrig. Damit kann ich dann $r$ berechnen.
Ciao,
Thomas
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cramilu
Aktiv
Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2236
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-14
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@haribo
Das mit der Vonaußenberührung war mir auch erst
verspätet eingefallen; der Kreismittelpunkt wandert
dann entlang der Verlängerung der oberen Quadrat-
seite nach links über die obere linke Quadratecke \(D\)
hinaus:
\((r-2a)^2\,+\,(2a)^2\;=\;(r-a)^2\)
@MontyPythagoras
Zugegeben, »Fallunterscheidung« ist überkandidelt.
Ich meinte den Fall \(a=0\) , weil ich beim Auflösen
durch \(a\neq0\) teile. Die Abhängigkeit, die dann für \(r\)
herauskommt, 'passt' aber auch für den Fall \(a=0\) .
@Phoensie
Siehste - und wieder gibt es streng genommen mehr
zu bedenken als es die Aufgabe vermuten ließ. 😉
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Phoensie
Aktiv
Dabei seit: 11.04.2020
Mitteilungen: 442
Wohnort: Muri AG, Schweiz
|  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-15
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Aaaaaah, ja klar. (Ich hab das Dreieck unterhalb der Hypothenuse gezeichnet, und folglich den Weg nicht gesehen. Ist alles klar jetzt.)
LG Phoensie 😁👌
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Phoensie hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Phoensie hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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