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Mathematik » Topologie » Konstruiere Topologie auf einem Vektorraum.
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Universität/Hochschule J Konstruiere Topologie auf einem Vektorraum.
julian2000P
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  Themenstart: 2023-03-19

Hallo zusammen, ich betrachte gerade das folgende Problem: Sei $E$ ein Vektorraum und $\mathcal{U}$ ein Mengensystem bestehend aus absorbierenden, kreisförmigen Mengen mit der Zusatzeigenschaft, dass für alle $V \in \mathcal{U}$ ein $U \in \mathcal{U}$ existiert mit $U+U \subseteq V$. Definiere außerdem $$ \mathcal{B}:= \left\{\bigcap_{i=1}^nU_i\Big|U_i \in \mathcal{U}, n \in \mathbb{N}\right\}. $$ Nun soll ich zeigen, dass es auf E eine eindeutige Topologie gibt, sodass die algebraischen Operationen stetig sind und $\mathcal{B}$ eine Nullumgebungsbasis ist. Die Eindeutigkeit konnte ich bereits zeigen. Ich habe aber leider keine Idee wie ich für die Existenz meine gewünschte Topologie definieren kann. Wenn ich die Topologie so definieren kann, dass $x + \mathcal{B}$ eine Umgebungsbasis von $x$ ist, so würde es mir gelingen zu zeigen, dass die algebraischen Operationen stetig sind. Ich habe außerdem gezeigt, dass auch das Mengensystem $\mathcal{B}$ aus kreisförmigen, absorbierenden Mengen mit der Zusatzeigenschaft besteht, weiß aber nicht ob mir das etwas bringt. Kann mir jemand einen Hinweis oder Ansatz geben, wie ich die Topologie definieren muss, sodass das gewünschte folgt? Danke!

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Buri
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-19

Hi julian2000P, die Nullumgebungsbasis B bestimmt doch die Topologie, sie lautet T={G ⊆ E | für alle x ∈ G existiert ein V ∈ B mit x+V ⊆ G}. Gruß Buri

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julian2000P
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-20

Hallo Buri, danke für den Ansatz! Ich glaube, das Beispiel mit dieser konstruierten Topologie gelöst zu haben. Grüße

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julian2000P hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
julian2000P hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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