| |
| Autor |
  Hauptkrümmungen & Hauptkrümmungsrichtungen -> Normalkrümmung |
|
jckhrry
Neu 
Dabei seit: 20.03.2023
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2023-03-20
|
Hallo zusammen,
das Forum hat mir schon oft geholfen. Heute lege ich meine erste Frage selber an, da ich mit ausführlicher Rechereche nicht weitergekommen bin.
Ich möchte für eine Evolventenschraubfläche die Krümmungen an einem beliebigen Punkt in eine beliebige Richtung bestimmen. Ich habe dazu die Funktion der Fläche im \(\mathbb{R}^3 \) folgendermaßen definiert:
\(f\left( u,v \right) = \left[ f_{1}(u,v),f_{2}(u,v),f_{3}(u,v) \right]\)
Ich möchte die Krümmung an einem Punkt der Fläche bestimmen. Der Punkt ist definiert durch \((u_0,v_0)\) und die Richtung als Linearkombination der partiellen Ableitungen der Fläche: \(r = \alpha * f_u + \beta * f_v\). \( \alpha{} , \beta{} \) sind Skalare.
Ich habe dazu die Weingartenabbildung bestimmt:
\[L= \left(\begin{array}{cc} \frac{\cos\left(\mathrm{\beta}\right)}{\mathrm{c}\,\mathrm{u}} & -\frac{\sin\left(\mathrm{\beta}\right)}{{\mathrm{c}}^2\,\mathrm{u}}\\ 0 & 0 \end{array}\right)\]
Die Eigenwerte \(\lambda_i\) und Eigenvektoren \(v_i\) von \(L\) sind ja die Hauptkrümmungen und Hauptkrümmungsrichtungen. Dazu ermittle ich
\(\lambda_1 = \frac{\cos\left(\mathrm{\beta}\right)}{\mathrm{c}\,\mathrm{u}}, v_1 = \left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)\) &
\(\lambda_2 = 0 , v_2 = \left(\begin{array}{c} \frac{\sin\left(\mathrm{\beta}\right)}{\mathrm{c}\,\cos\left(\mathrm{\beta}\right)}\\ 1 \end{array}\right)\).
Die Normalkrümmung in Richtung \(r\) kann man nun mit dem Satz von Euler (https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptkr%C3%BCmmung) bestimmen:
\(k_n = \lambda_1 * \cos(\varepsilon)^2 + \lambda_1 * \sin(\varepsilon)^2\).
Dabei ist \(\varepsilon\) der Winkel zwischen der gegebenen Tangentialrichtung \(r\) und der zu \( \lambda_1\) gehörenden Hauptkrümmungsrichtung.
Jetzt kommt der Punkt an dem ich leider nicht weiterkomme.
Wie bestimme ich hier den Winkel \(\varepsilon\). Der Tangentialvektor \(r\) ist definiert im \(\mathbb{R}^3 \). Der Eigenvektor der Weingartenabbildung ist definiert in der Tangentialebene \(\mathbb{R}^2\). Ich denke, dass ich nun zuerst einen der beiden Vektoren für die Winkelberechnung nun in der jeweilig anderen Basis ausdrücken muss. Kann mir jemand im Forum dabei helfen?
Vielen Dank im Voraus!
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2226
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-20
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
diese Betrachtungen funktionieren in dieser Weise nur, wenn du deine Fläche als (eingebettete oder immersierte) Untermannigfaltigkeit des $\mathbb R^3$ betrachtest.
Nennen wir deine Fläche $M$, dann benötigt man dazu formal eine Immersion $\iota\colon M\to \mathbb R^3$, welche dann auch eine Inklusion $(\d\iota)_p\colon T_pM\to T_p\mathbb R^3$ für alle $p\in M$ mit sich bringt.
Auf diese Weise sind dann Tangentialvektoren an $M$ insbesondere auch Tangentialvektoren von $\mathbb R^3$.
Edit: Also in deinem Fall sind die Vektoren $\partial_1f(u,v)$ und $\partial_2f(u,v)$ Vektoren im $\mathbb R^3$, welche aber (unter der Identifikation) eine Basis von $T_{f(u,v)}M$ bilden. Bezüglich dieser Basis solltest du den Shape-Operator respektive die Weingartenabbildung angeben.
Was du als Weingartenabbildung bezeichnet hast, ist ja in Wahrheit einfach nur ein Zahlenfriedhof (eine Matrix). Das soll wohl die darstellende Matrix der Weingartenabbildung bezüglich einer Basis von $T_{f(u,v)}M$ sein. Die Eigenvektoren von der Weingartenabbildung "leben" im Tangentialraum, nicht im $\mathbb R^2$. Die Eigenvektoren der Koordinatendarstellung der Weingartenabbildung (also im Prinzip die deiner Matrix) leben im $\mathbb R^2$. Du musst das also noch "zurückübersetzen" in Vektoren im Tangentialraum.
Das ist also normale lineare Algebra: Man hat einen $\mathbb R$-Vektorraum $V$ der Dimension $2$ und eine lineare Abbildung $L\colon V\to V$. Durch Wahl einer Basis $(v_1,v_2)$ von $V$ erhält man einen expliziten Isomorphismus
$$
\sigma\colon \mathbb R^2\to V, \ (\lambda_1,\lambda_2)\mapsto \lambda_1v_1+\lambda_2v_2
$$
und somit die Koordinatendarstellung $\tilde L\colon \mathbb R^2\to \mathbb R^2$ von $L$, welche durch $\tilde L=\sigma^{-1}\circ L\circ \sigma$ gegeben ist. $\tilde L(v)$ kann man dann auch als eine Matrix multipliziert mit $v$ darstellen. Das ist aber natürlich nicht das gleiche, wie die (abstrakte) lineare Abbildung $L$, sondern eben nur die Darstellung davon in Koordinaten.
Bei dir ist nun $V=T_{f(u,v)}M$ und wir haben die Basis $\partial_1f(u,v),\partial_2f(u,v)$ von $T_{f(u,v)}M$.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
jckhrry
Neu
Dabei seit: 20.03.2023
Mitteilungen: 3
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-21
|
Hi nzimme10,
vielen Dank für deine Antwort. Das "zurückübersetzen in Vektoren im Tangentialraum" hat mir gefehlt. Den Shape-Operator habe ich in der Basis der Tangentialvektoren gebildet.
Mit deiner Hilfe habe ich nun die Rechnung weitergeführt.
1. Rückführung der Eigenvektoren \(v_i\) der Weingartenmatrix mit den partiellen Ableitungen in den Tangentialraum:
\[HKR_1 = v_1(1)* \partial_1f(u,v)+v_1(2)*\partial_2f(u,v)\]
\[HKR_2 = v_2(1)* \partial_1f(u,v)+v_2(2)*\partial_2f(u,v)\]
2. Winkelberechnung zwischen dem Vektor \(r\) in die Richtung in der ich die Krümmung ermitteln möchte und der ersten Hauptkrümmungsrichtung.
\[\cos\varepsilon = \frac{ \lt r, HKR_1\gt }{\left\| r \right\|\left\| HKR_1 \right\|}\]
3. Euler - Formel:
\[k_n = \lambda_1 * \cos(\varepsilon)^2 + \lambda_1 * \sin(\varepsilon)^2\]
Hast du das so mit deiner Antwort gemeint?
Viele Grüße,
jckhrry
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2226
Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-21
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Du hast denke ich ein $\lambda_1$, wo ein $\lambda_2$ stehen sollte.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
jckhrry
Neu
Dabei seit: 20.03.2023
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-21
|
oh ja das ist ein Tippfehler. Soll natürlich heißen:
3. Euler - Formel:
\[k_n = \lambda_1 * \cos(\varepsilon)^2 + \lambda_2 * \sin(\varepsilon)^2\]
|
Profil
|
jckhrry hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. | | jckhrry wird per Mail über neue Antworten informiert. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
