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 Diskrete Untergruppe ist abgeschlossene Menge |
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Maximilian121
Junior 
Dabei seit: 07.01.2023
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2023-03-20
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Hallo,
bei einem Gitter aus der Zahlentheorie handelt es sich um eine diskrete Subgruppe. Warum ist ein Gitter zusätzlich auch eine abgeschlossene Menge?
Meine Definition: Der Begriff angeschlossene Menge bedeutet, dass eine Menge $X \subseteq \mathbb{R}^n$ abgeschlossen ist, wenn das Komplement der Menge $X^C$ offen ist.
Ich hann hier die Definition nicht richtig anwenden, denn was ist das Komplement eines Gitters?
Viele Grüße,
Maximilian
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-20
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
zunächst mal solltest du dir selbst klarmachen bzw. sagen, von welcher Gruppe dein Gitter eine Untergruppe ist. Die Begriffe "offen / abgeschlossen" beziehen sich ja darauf bzw. auf eine entsprechende Topologie.
In einem nächsten Schritt solltest du dir dann ebenfalls konkret klarmachen, was "diskret" dann bedeutet. Relativ einfach wird der Beweis dann zum Beispiel mit der Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen mit Hilfe von Folgen: $A\subseteq \mathbb R^n$ (mit euklidischer Norm) ist genau dann abgeschlossen, wenn für jede konvergente Folge $(x_n)_n$ mit $x_n\in A$ für alle $n\in \mathbb N$ auch $\lim\limits_{n\to \infty} x_n\in A$ gilt. Edit: Aber auch mit der von dir gegebenen Definition sollte das gut gehen, wenn dir der Begriff "diskret" klar ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-20
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Hallo,
ein Gitter ist ja von der Form
\[\Gamma=\{a_1x_1+\cdots+a_mx_m\mid a_1,\ldots,a_m\in\IZ\},\]
wobei \(x_1,\ldots,x_m\in\IR^n\) linear unabhängig sind.
Wieso ist dies überhaupt eine diskrete Menge? Wieso ist z. B. nicht 0 ein Häufungspunkt von \(\Gamma\)?
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nzimme10
Senior
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-20
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
@StrgAltEntf: Ich mache lieber ein konkretes Beispiel: Nehmen wir als Basis des Gitters die Standardbasis $e_1,e_2$ im $\mathbb R^2$. Nun betrachten wir die Kugel mit Radius $1/2$ um den Ursprung. Darin liegt nur der Ursprung selbst.
LG Nico \(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-20
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\quoteon(2023-03-20 20:40 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
@StrgAltEntf: Ich mache lieber ein konkretes Beispiel: Nehmen wir als Basis des Gitters die Standardbasis $e_1,e_2$ im $\mathbb R^2$. Nun betrachten wir die Kugel mit Radius $1/2$ um den Ursprung. Darin liegt nur der Ursprung selbst.
\quoteoff
Nehmen wir mal ein anderes Beispiel. \(x_1=\binom32\), \(x_2=\binom{59/12}{13/4}\). Dann liegt \(\binom{1/4}{1/4}\) in der Kugel mit Radius 1/2 und im Gitter.
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-20
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Dann musst du eben den Radius der Kugel kleiner machen. Irgendwann liegt wieder nur der Ursprung darin.
Das ist ja der ganze Witz an der Diskretheit. Für jedes Element des Gitters gibt es eine offene Umgebung, so dass dieses Element das einzige Element des Gitters ist, welches in dieser Umgebung liegt.
LG Nico
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Maximilian121
Junior
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-20
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Hallo,
zur Diskretheit, das bedeutet ja, dass es um jeden Punkt eine Umgebung gibt. Im 2-dimensionalen hießt das, es gibt einen Kreis um jedes Element, sodass nur das Element selbst enthalten ist.
@Nico du willst etwa auf den Häufungspunkt hinaus, oder? Eine diskrete Menge hat diesen nämlich nicht. Und soweit ich weiß ist eine abgeschlossene Menge so definiert, dass diese keinen Häufungspunkt hat?
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nzimme10
Senior
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Mitteilungen: 2226
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-20
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo Maximilian,
nennen wir das Gitter mal $\Gamma\subseteq \mathbb R^n$.
Möglichkeit 1: Wir zeigen, dass $O:=\mathbb R^n\setminus \Gamma$ eine offene Menge ist. Also müssen wir für jedes $x\in O$ eine offene Umgebung $U_x\subseteq \mathbb R^n$ mit $U_x\subseteq O$ finden.
Nehmen wir uns also ein beliebiges $x\in O$ her. Was wäre, wenn wir nun annehmen, dass in jeder offenen Umgebung von $x$ ein Element von $\Gamma$ zu finden wäre?
Möglichkeit 2: Mittels Folgen. Wir nehmen eine in $\mathbb R^n$ konvergente Folge $(x_n)_n$ mit $x_n\in \Gamma$ für alle $n\in \mathbb N$. Kannst du zeigen, dass es dann ein $x\in \Gamma$ und ein $n_0\in \mathbb N$ mit $x_n=x$ für alle $n\geq n_0$ geben muss?
LG Nico
\(\endgroup\)
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Kezer
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Dabei seit: 04.10.2013
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-20
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\quoteon(2023-03-20 20:23 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2)
Hallo,
ein Gitter ist ja von der Form
\[\Gamma=\{a_1x_1+\cdots+a_mx_m\mid a_1,\ldots,a_m\in\IZ\},\]
wobei \(x_1,\ldots,x_m\in\IR^n\) linear unabhängig sind.
Wieso ist dies überhaupt eine diskrete Menge?
\quoteoff
Auf die Schnelle sehe ich aber auch kein schnelles Argument, welches zeigt, dass dein $\Gamma$ immer diskret ist. Es würde aus Satz 4 aus diesem Dokument folgen.
Die Differenz zweier Gitterpunkte ist immer noch ein Gitterpunkt und die Norm der Gitterpunkte hat eine positive untere Schranke(, welche man durch eine Gram-Schmidt Orthogonalisierung erhalten kann). Somit kann man keine nicht-trivialen Häufungspunkte bekommen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]\(\endgroup\)
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Maximilian121
Junior
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-20
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@Nico, zu deiner Möglichkeit 1:
Wenn $O$ offen ist, dann gibt es einen Kreis mit einem Radius, sodass der Kreis eine Teilmenge von $O$ ist, würde ich sagen. Ich kann dann aber deinen Ausführungen nicht ganz folgen, was du meinst wenn du sagst, Was wäre, wenn wir nun annehmen, dass in jeder offenen Umgebung von $x$ ein Element von $\Gamma$ zu finden wäre? Warum kann man das z.B. annehmen und die Folgerung daraus sehe ich noch nicht!?
Viele Grüße,
Maximilian
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-03-20
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Dass $O$ offen ist, wollen wir zeigen. Das können wir nicht annehmen.
Die andere Annahme wäre der Beginn eines Widerspruchsbeweises. Eigentlich wollen wir zeigen:
(i) Es gibt eine offene Umgebung $U\subseteq \mathbb R^n$ von $x$ mit $U\subseteq O$.
Die Verneinung davon ist:
(ii) Für jede offene Umgebung $U\subseteq \mathbb R^n$ von $x$ gilt $U\cap \Gamma\neq \emptyset$.
Nehmen wir (ii) an, dann solltest du einen Widerspruch zur Diskretheit von $\Gamma$ finden können. Daraus folgt dann, dass (i) gelten muss. Das zeigt dann aber gerade dass $O$ offen ist, weil $x\in O$ beliebig war. Das war wiederum die Definition davon, dass $\Gamma$ abgeschlossen ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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Maximilian121
Junior
Dabei seit: 07.01.2023
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-20
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Also nach meinem Verständnis würde $U\cap \Gamma\neq \emptyset$ bedeuten, ich habe einen offenen Kreis der z.B. das $U$ darstellt. Die Schnittmenge von $U$ und $\Gamma$ ist dann nicht leer, weil es möglich ist, dass sich ein "diskreter" Ball, damit meine ich eine Umgebung um ein diskretes Element geschnitten mit einer offenen Umgebung aus $U$ überlappen können.
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-03-20
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Mit intuitiven / anschaulichen Erklärungen allein, kommst du hier nicht weiter. Es ist nicht verboten, dass du dich in Ruhe mit dem Problem auseinandersetzt. Die Lösung muss dir ja nicht sofort einfallen.
Ich wollte dir ohnehin nur einige Anregungen geben, wie du die Fragestellung angehen könntest. Nachdenken / Dinge ausprobieren musst du schon selbst. Eventuell lohnt es sich auch, die relevanten Definitionen nochmal gründlich zu studieren (also gerade die topologischen Grundbegriffe "offen", "abgeschlossen", "diskret" etc.). Da scheinst du noch etwas unsicher zu sein.
LG Nico
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MartinN
Aktiv
Dabei seit: 05.08.2016
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Wohnort: Bayern
| Beitrag No.13, eingetragen 2023-03-21
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\quoteon(2023-03-20 22:35 - Kezer in Beitrag No. 8)
\quoteon(2023-03-20 20:23 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2)
Hallo,
ein Gitter ist ja von der Form
\[\Gamma=\{a_1x_1+\cdots+a_mx_m\mid a_1,\ldots,a_m\in\IZ\},\]
wobei \(x_1,\ldots,x_m\in\IR^n\) linear unabhängig sind.
Wieso ist dies überhaupt eine diskrete Menge?
\quoteoff
Auf die Schnelle sehe ich aber auch kein schnelles Argument, welches zeigt, dass dein $\Gamma$ immer diskret ist. Es würde aus Satz 4 aus diesem Dokument folgen.
Die Differenz zweier Gitterpunkte ist immer noch ein Gitterpunkt und die Norm der Gitterpunkte hat eine positive untere Schranke(, welche man durch eine Gram-Schmidt Orthogonalisierung erhalten kann). Somit kann man keine nicht-trivialen Häufungspunkte bekommen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\quoteoff
Folgt aus der Definition eines Gitters in dem Dokument nicht schon, dass ein Gitter diskret ist?
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
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| Beitrag No.14, eingetragen 2023-03-21
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
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\quoteon(2023-03-21 01:19 - MartinN in Beitrag No. 13)
Folgt aus der Definition eines Gitters in dem Dokument nicht schon, dass ein Gitter diskret ist?
\quoteoff
Es geht eher darum, dass das $\Gamma$ von StrgAltEntf tatsächlich ein Gitter ist.\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
Senior
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.15, eingetragen 2023-03-21
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\quoteon(2023-03-21 07:35 - Kezer in Beitrag No. 14)
\quoteon(2023-03-21 01:19 - MartinN in Beitrag No. 13)
Folgt aus der Definition eines Gitters in dem Dokument nicht schon, dass ein Gitter diskret ist?
\quoteoff
Es geht eher darum, dass das $\Gamma$ von StrgAltEntf tatsächlich ein Gitter ist.
\quoteoff
In dem verlinkten Dokument ist Diskretheit tatsächlich Bestandteil der Definition eines Gitters. Dann ist es natürlich trivial. (Edit: Trivial ist dann, dass ein Gitter diskret ist. Nicht aber, dass es abgeschlossen ist.)
Ich (und auch Wikipedia) kennt das, was ich in Beitrag #2 gepostet habe, als Definition für ein Gitter. Solch ein Gitter wird im Dokument mit Def. 2 eingeführt. Und im Dokument wird angekündigt, später zu zeigen, dass beide Definitionen übereinstimmen.
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Maximilian121
Junior
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-21
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So einmal die Definitionen:
Def 1. Diskrete Menge:
- Ist eine Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}^n$, wenn für alle $x \in X$ es einen Radius $r>0$ gibt, sodass $B(x,r) \cap X = \left\{ x \right\}$.
Def 2. Abgeschlossene Menge:
- Eine Menge $X$ ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement $X^c$ offen ist.
Def 3. Offene Menge:
- Eine Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}^n$ ist offen, wenn für jeden Punkt $x \in X$ es einen Radius $r$ gibt, sodass der offene Ball $B(x,r)$ vollständig in der Menge $X$ enthalten ist.
Wenn wir zeigen wollen $\Gamma \subseteq \mathbb{R}^n$ ist abgeschlossen, heißt dies, es muss gezeigt werden $\Gamma \setminus \mathbb{R}^n$ ist offen.
Ich denke jetzt mal laut: Diskret heißt, es gibt einen leeren "Raum" zwischen den Elementen. Zwischen allen Elementen könnte man nun offene Intervalle platzieren. Die Vereinigung all dieser offenen Intervalle wäre wieder offen und stellt dann das $\Gamma \setminus \mathbb{R}^n$ dar. So würde ich das jetzt angehen.
So richtig überzeugt bin ich noch nicht. Außerdem ist an den Definitionen etwas auszusetzen, also sind die Def's vollständig?
Viele Grüße,
Maximilian
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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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| Beitrag No.17, eingetragen 2023-03-21
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\quoteon(2023-03-21 11:52 - Maximilian121 in Beitrag No. 16)
So einmal die Definitionen:
Def 1. Diskrete Menge:
- Ist eine Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}^n$, wenn für alle $x \in X$ es einen Radius $r>0$ gibt, sodass $B(x,r) \cap X = \left\{ x \right\}$.
Def 2. Abgeschlossene Menge:
- Eine Menge $X$ ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement $X^c$ offen ist.
Def 3. Offene Menge:
- Eine Teilmenge $X \subseteq \mathbb{R}^n$ ist offen, wenn für jeden Punkt $x \in X$ es einen Radius $r$ gibt, sodass der offene Ball $B(x,r)$ vollständig in der Menge $X$ enthalten ist.
\quoteoff
Mit diesen drei Definitionen allein wirst du noch nicht zum Ziel kommen. Denn es gibt diskrete Mengen, die nicht abgeschlossen sind. (Bsp.: \(\{\frac1n\mid n>0\}\subseteq\IR\))
Es muss also irgendwie noch die Gittereigenschaft verwendet werden.
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nzimme10
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| Beitrag No.18, eingetragen 2023-03-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Ein Zusatz zum letzten Beitrag und deinen bisherigen Beiträgen:
Du musst bedenken, dass eine diskrete Teilmenge von $\mathbb R^n$ durchaus auch Häufungspunkte in $\mathbb R^n$ haben kann (siehe z.B. das Beispiel von StrgAltEntf). Diskret zu sein, bedeutet für $\Gamma$ zunächst mal nur, dass kein Element von $\Gamma$ ein Häufungspunkt von $\Gamma$ ist. Man sagt auch, dass alle Elemente von $\Gamma$ isolierte Punkte sind. Das sagt aber nicht, dass nicht trotzdem ein $x\notin \Gamma$ ein Häufungspunkt von $\Gamma$ sein könnte.
Dein Gitter $\Gamma$ hat aber auch in $\mathbb R^n$ keine Häufungspunkte. Das solltest du nutzen, wenn du der bisher vorgeschlagenen Möglichkeit 1 folgen willst.
LG Nico\(\endgroup\)
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Maximilian121
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-21
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Soll das etwa darauf hinauslaufen, dass nur die Punkte des Gitters wieder selbst Häufungspunkte darstellen; und man so sagen kann, dass $\Gamma$ abgeschlossen ist, wenn jeder Häufungspunkt von $\Gamma$ ein Punkt von $\Gamma$ ist?
Viele Grüße,
Maximilian
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nzimme10
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| Beitrag No.20, eingetragen 2023-03-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
In Beitrag #18 habe ich doch bereits geschrieben, dass kein Punkt von $\Gamma$ ein Häufungungspunkt ist, weil $\Gamma$ diskret ist.
Was hindert dich denn daran, einfach mal den bisher gegangenen Weg weiter zu verfolgen? Der letzte Stand war, dass wir einen Punkt $x\in O=\mathbb R^n\setminus\Gamma$ betrachten und annehmen, dass $U\cap \Gamma\neq \emptyset$ für jede offene Umgebung $U\subseteq \mathbb R^n$ von $x$ gilt.
Jetzt kommt ein typisches Argument: Nach Annahme finden wir insbesondere für jedes $n\in \mathbb N$ ein $x_n\in \Gamma$ mit $\lVert x_n-x\rVert<\frac 1n$. Mit Hilfe des Auswahlaxioms definiert das eine Folge $(x_n)_{n\in \mathbb N}$, die nach Konstruktion gegen $x$ konvergiert. Weiter bemerkt man, dass $x_n\neq x$ für alle $n\in \mathbb N$ aufgrund der Definition von $x_n$ gilt.
Das zeigt nun aber, dass $x$ ein Häufungspunkt von $\Gamma$ ist. In #18 habe ich bereits geschrieben, dass das nicht sein kann. (Edit: Dass $\Gamma$ auch in $\mathbb R^n$ keine Häufungspunkte haben kann, gilt es aber noch zu zeigen, vor allem, wenn es dir nicht klar ist).
Noch ein Edit: Das ist jetzt eine Möglichkeit, mittels Folgen zu zeigen, dass aus unserer Annahme folgt, dass $x$ ein H.P. von $\Gamma$ ist. Das folgt aber auch so schon direkt aus dieser Annahme: Wenn $U\cap \Gamma\neq \emptyset$ für jede offene Umgebung von $x$ gilt, dann gilt auch $(U\setminus\lbrace x\rbrace)\cap \Gamma\neq \emptyset$ für jede offene Umgebung von $x$ (warum?), was ebenso bedeutet, dass $x$ ein H.P. von $\Gamma$ ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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Maximilian121
Junior
Dabei seit: 07.01.2023
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-21
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Wir hatten doch:
$x\in O=\mathbb R^n\setminus\Gamma$ und $U\subseteq \mathbb R^n$, richtig? Wenn jetzt $U\cap \Gamma\neq \emptyset$ gilt, heißt das ja, dass es ein Element gibt, dass in $U$ und $\Gamma$ ist, die zwei Teilmengen schneiden sich also und sind nicht leer. $(U\setminus\lbrace x\rbrace)\cap \Gamma\neq \emptyset$ gilt, weil $U\setminus\lbrace x\rbrace$ ja wieder $U$ ist, wenn ich mich nicht täusche, da ja $x\in O=\mathbb R^n\setminus\Gamma$.
PS: @Nico, Ich lese parallel mal in deinem Skript, da stehen die Definitionen ganz sauber wie ich finde.
Viele Grüße,
Maximilian
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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| Beitrag No.22, eingetragen 2023-03-21
|
Hallo,
\quoteon(2023-03-21 12:26 - StrgAltEntf in Beitrag No. 17)
Es muss also irgendwie noch die Gittereigenschaft verwendet werden.
\quoteoff
Hier meinte ich, dass \((\Gamma,+)\) eine Gruppe ist.
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nzimme10
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| Beitrag No.23, eingetragen 2023-03-21
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Man kann sich das Leben auch prinzipiell einfacher machen und den Kontext verallgemeinern.
Man könnte folgende Aussage beweisen: Ist $G$ eine Hausdorffsche Gruppe (i.e. eine topologische Gruppe deren zugrundeliegender topologischer Raum ein Hausdorff-Raum ist), dann ist jede diskrete Untergruppe von $G$ abgeschlossen.
LG Nico\(\endgroup\)
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Maximilian121
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-22
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Noch ein paar Anmerkungen.
1.) War die Argumentation in Beitrag #21 so ok? Ich hab das eher über die "Mengeneigenschaften" begründet.
2.) @Nico du hattest am Anfang gesagt, meine Definition der Abgeschlossenheit wäre ausreichend, wenn ich mir klarmache was Diskretheit heißt.
\quoteon
In Beitrag #18 habe ich doch bereits geschrieben, dass kein Punkt von Γ ein Häufungungspunkt ist, weil Γ diskret ist.
\quoteoff
Ja, das hatte ich kurz ausgeblendet. Ich stimme dem aber so zu nach der Definition des Häufungspunktes (H.P heißt ja die Umgebung enthält mindestens ein Element verschieden von x, das würde der Diskretheit dann widersprechen, das war ja gerade, dass die Umgebung nur x selbst enthält und kein weiteres (etwas grob formuliert)).
\quoteon
Diskret zu sein, bedeutet für Γ zunächst mal nur, dass kein Element von Γ ein Häufungspunkt von Γ ist. Man sagt auch, dass alle Elemente von Γ isolierte Punkte sind.
\quoteoff
Stimme ich dir auch zu!
\quoteon
Wenn $U\cap \Gamma\neq \emptyset$ für jede offene Umgebung von $x$ gilt, dann gilt auch $(U\setminus\lbrace x\rbrace)\cap \Gamma\neq \emptyset$ für jede offene Umgebung von $x$ (warum?), was ebenso bedeutet, dass $x$ ein H.P. von $\Gamma$ ist.
\quoteoff
Das hatte ich versucht in Beitrag #21 zu begründen. Bitte um Korrektur, wenn falsch. Daraus folgt dann, dass wenn x ein H.P. von Γ ist, das ein Widerspruch zur Diskretheit ist, nach meinem Verständnis. Also ist die Annahme falsch.
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nzimme10
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| Beitrag No.25, eingetragen 2023-03-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
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\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-03-22 13:07 - Maximilian121 in Beitrag No. 24)
1.) War die Argumentation in Beitrag #21 so ok? Ich hab das eher über die "Mengeneigenschaften" begründet.
\quoteoff
Eine Argumentation sehe ich da ehrlich gesagt nicht.
\quoteon
2.) @Nico du hattest am Anfang gesagt, meine Definition der Abgeschlossenheit wäre ausreichend, wenn ich mir klarmache was Diskretheit heißt.
\quoteoff
Ich meinte damit, dass man hier sehr wohl auch mit der Definition von "abgeschlossen" arbeiten kann, weil du im Themenstart meintest, dass dir das nicht gelingt.
\quoteon
\quoteon
Diskret zu sein, bedeutet für Γ zunächst mal nur, dass kein Element von Γ ein Häufungspunkt von Γ ist. Man sagt auch, dass alle Elemente von Γ isolierte Punkte sind.
\quoteoff
Stimme ich dir auch zu!
\quoteoff
Da muss man nicht zustimmen oder so. Das ist die Definition von "diskret".
\quoteon
\quoteon
Wenn $U\cap \Gamma\neq \emptyset$ für jede offene Umgebung von $x$ gilt, dann gilt auch $(U\setminus\lbrace x\rbrace)\cap \Gamma\neq \emptyset$ für jede offene Umgebung von $x$ (warum?), was ebenso bedeutet, dass $x$ ein H.P. von $\Gamma$ ist.
\quoteoff
Das hatte ich versucht in Beitrag #21 zu begründen. Bitte um Korrektur, wenn falsch. Daraus folgt dann, dass wenn x ein H.P. von Γ ist, das ein Widerspruch zur Diskretheit ist, nach meinem Verständnis. Also ist die Annahme falsch.
\quoteoff
Dass $\Gamma$ diskret ist, bedeutet nach wie vor: Kein Element von $\Gamma$ ist ein Häufungspunkt von $\Gamma$. Die Argumentation in dem Widerspruchsbeweis zeigt, dass $x$ ein H.P. von $\Gamma$ ist, aber $x$ ist kein Element von $\Gamma$. Deshalb ist das auch kein Widerspruch zur Diskretheit von $\Gamma$.
Die von mir bisher vorgeschlagene Argumentation ist vermutlich nicht gerade die einfachste, weil man noch zusätzliche Dinge über $\Gamma$ wissen / nachweisen muss, bevor man damit zu einem Widerspruch kommt. Wenn man dieser weiter folgen will, dann muss man mit zusätzlichen Informationen über $\Gamma$ zeigen, dass $\Gamma$ generell keine Häufungspunkte in $\mathbb R^n$ besitzt. Dass $\Gamma$ diskret ist, reicht dafür nicht. In sofern war das von mir "falsch", zu sagen, man soll nur einen Widerspruch zur Diskretheit von $\Gamma$ finden.
Eventuell hilft es, wenn man die allgemeinere Aussage aus #23 ansieht. Diese Voraussetzungen sind alles, was man braucht. Es ist vermutlich einfacher, wenn man versucht, die Gruppenstruktur von Anfang an in den Beweis mit einzubeziehen. Ich mache mal einen Anfang:
Wir haben $\mathbb R^n$ mit seiner Standardtopologie und die Addition $+\colon \mathbb R^n\times \mathbb R^n\to \mathbb R^n$, welche eine stetige Abbildung ist (wenn man $\mathbb R^n\times \mathbb R^n$ mit der Produkttopologie versieht). Ebenso ist $x\mapsto -x$ stetig. Wir haben also eine Hausdorffsche Gruppe $(\mathbb R^n,+)$.
$\Gamma\subseteq \mathbb R^n$ ist nach Voraussetzung eine diskrete Teilmenge, so dass $(\Gamma,+)$ ebenfalls eine Gruppe ist (wobei $+$ natürlich auf $\Gamma$ eingeschränkt ist).
Wir wollen nach wie vor zeigen, dass $O:=\mathbb R^n\setminus \Gamma$ eine offene Menge ist, weil das gerade bedeutet, dass $\Gamma$ abgeschlossen ist. Nehmen wir uns also ein beliebiges $x\in O$. Wir müssen nun zeigen, dass es eine offene Umgebung von $x$ gibt, deren Durchschnitt mit $\Gamma$ leer ist, die also vollständig in $O$ enthalten ist.
Weil $\Gamma$ diskret ist, finden wir eine offene Umgebung $U\subseteq \mathbb R^n$ von $0\in \Gamma$ mit $U\cap \Gamma=\lbrace 0\rbrace$. Sei dann $V$ eine weitere offene Umgebung von $0$, so dass
$$
V+(-V):=\lbrace v+w\mid v\in V, w\in -V\rbrace \subseteq U
$$
gilt (warum gibt es das?). Damit ist $x+V=\lbrace x+v\mid v\in V\rbrace$ eine offene Umgebung von $x$ (warum?). Wenn $(x+V)\cap \Gamma=\emptyset$, dann sind wir fertig.
Andernfalls ist $(x+V)\cap \Gamma \neq \emptyset$. Kannst du zeigen, dass es dann ein $\gamma\in \Gamma$ mit $(x+V)\cap \Gamma=\lbrace \gamma\rbrace$ gibt? Da $x\notin \Gamma$ gilt, haben wir $x\neq \gamma$. Nun solltest du zeigen können, dass es deshalb eine weitere offene Umgebung $W\subseteq \mathbb R^n$ von $0$ gibt, für die $(x+W)\cap \Gamma=\emptyset$ gilt.
Daraus ergibt sich die Behauptung.
LG Nico\(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.26, eingetragen 2023-03-23
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Ich würde es folgendermaßen beweisen.
Angenommen, es gibt eine Folge \((x_n)\) in \(\Gamma\), die gegen ein \(x\in\IR^n\setminus\Gamma\) konvergiert. Wir können o. B. d. A. annehmen (oder ansonsten die Folge geeignet ausdünnen), dass alle Folgeglieder verschieden sind. Sei nun \(y_n:=x_{n+1}-x_n\). Dann ist \((y_n)\) eine Folge in \(\IR^n\setminus\{0\}\), die gegen 0 konvergiert. Da sowohl alle \(y_n\) als auch 0 Elemente von \(\Gamma\) sind (da \(\Gamma\) eine Gruppe ist), ist das ein Widerspruch dazu, dass \(\Gamma\) diskret ist.
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