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 Urbild eines UVR bestimmen, Matrix ist nicht invertierbar |
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oberstuflerin123
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 |  Themenstart: 2023-03-21
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Es seien \(V\) ein \(\mathbb{R}\)-Vektorraum mit Basis \(\mathcal{A} = (v_1, v_2, v_3, v_4)\) und \(W\) sei ebenfalls ein
\(\mathbb{R}\)-Vektorraum mit Basis \(\mathcal{B} = (w_1, w_2, w_3, w_4, w_5)\). Weiter sei \(L \in \text{Hom}_K (V, W)\) mit
Darstellungsmatrix\[M^\mathcal{A}_\mathcal{B}(L)=\begin{pmatrix}3&1&-2&2\\
-2&-2&7&-3\\
4&0&3&1\\
1&3&12&4\\
0&4&-17&5\end{pmatrix}\]
Bestimmen Sie \(L^{-1}(\text{span}(w_1,w_2,w_3))\).
Wie stelle ich das nun an?
Ich habe zunächst versucht, die linearen Gleichungssysteme zu lösen, aber dabei habe ich für \(w_1,w_2,w_3\) nur Widersprüche gefunden, also existiert keine Lösung. Dann habe ich mir gedacht, OK, komisch, probieren wir mal \(w_4,w_5\) aus, aber auch hier habe ich keine Lösung gefunden. Dann habe ich spaßeshalber den Kern von L bestimmt, dieser hat die Dimension 3, also muss das Bild die Dimension 1 haben, was mich schlussendlich zu dem Gedanken gebracht hat, dass mein Ansatz falsch war. Mein Gleichungssystem muss auf den span von den ws abziehlen, damit hätte ich dann aber 5 Gleichungen mit 7 Variablen. Daher die Frage: Geht das irgendwie anders?
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-21
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Hallo Oberstuflerin123,
es ist zwar schon ca. 14 Jahre her, aber deine Aufgabe wurde auf dem MP tatsächlich schon einmal besprochen:
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=125948
Schaue doch einmal, ob du mit den Tipps dort schon weiterkommst.
Gruß, Diophant
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oberstuflerin123
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-22
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@Diophant: Wow, sogar mit den gleichen Zahlen :)
Witzigerweise kam ich gestern nicht auf die Lösung bin 10km Rad gefahren und die frische Luft tat meinen grauen Zellen offenbar gut, sodass ich alleine auf die Lösung von Redfrettchen gekommen bin. Ich habe auch etwas weiter gedacht:
Angenommen es wird das Urbild des Spans von 3 Vektoren gesucht, die keine Basisvektoren sind. Müsste ich dann zunächst diese 3 Vektoren zu einer Basis ergänzen, die Basis wechseln das Gleichungssystem lösen und schließlich die Basis wieder wechseln um auf die Ursprungsbasis zu kommen?
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-03-22 09:32 - oberstuflerin123 in Beitrag No. 2)
Angenommen es wird das Urbild des Spans von 3 Vektoren gesucht, die keine Basisvektoren sind. Müsste ich dann zunächst diese 3 Vektoren zu einer Basis ergänzen, die Basis wechseln das Gleichungssystem lösen und schließlich die Basis wieder wechseln um auf die Ursprungsbasis zu kommen?
\quoteoff
Zu einer Basis von was? Du musst hier aufpassen, dass du mit der Dimension nicht durcheinanderkommst. Im vorliegenden Fall ist es ja bspw. so, dass von einer beliebigen Basis des \(\IR^5\) mindestens ein Element nicht im Bild der Abbildung liegen kann.
Damit hätte man bei deinen Vorgaben auch das Problem, dass gar nicht klar ist, welcher Teil des Spanns überhaupt ein Urbild unter der Abbildung besitzt, bzw. welcher Teil eben überhaupt im Bild von \(L\) liegt.
Nehmen wir also drei Vektoren \(v_i\in \on{Im(L)}\) an (mit \(i\in\lbrace 1,2,3 \rbrace\)). Zweckmäßigerweise würde man zunächst eine Basis des gesamten Bilds berechnen (und zwar ausgedrückt durch die vorhandene Basis \(\mc{B}\)). Und dann könntest du ja die fraglichen Vektoren, die den Spann bilden, als Linearkombination der Basis des Bilds ausdrücken und die Linearität der Abbildung verwenden.
Für einen Basiswechsel gibt es so keinen Grund.
(Ich will aber nicht ausschließen, dass es hier noch eine einfachere Möglichkeit gibt, die ich übersehe.)
PS: doch, eine Möglichkeit ist mir dann selbst noch gekommen. Angenommen, deine drei Vektoren liegen im Bild von \(L\), dann kannst du ja direkt deren Urbilder berechnen und die Frage der Darstellung des Urbilds des gesamten Spanns in den Urbildraum verlegen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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oberstuflerin123
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-22
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\quoteon(2023-03-22 15:06 - Diophant in Beitrag No. 3)
PS: doch, eine Möglichkeit ist mir dann selbst noch gekommen. Angenommen, deine drei Vektoren liegen im Bild von \(L\), dann kannst du ja direkt deren Urbilder berechnen und die Frage der Darstellung des Urbilds des gesamten Spanns in den Urbildraum verlegen.
\quoteoff
Mit dieser (falschen) Annahme habe ich oben angefangen, was der Grund für meine anfängliche Verzweifelung war. Ich habe angenommen, dass \(w_1,w_2,w_3\) im Bild von \(L\) liegen, tun sie aber nicht. Übrigens liegt keiner der Basisvektoren im Bild von \(L\). Insofern ist das keine allgemeingültige Annahme, oder irre ich mich da?
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-23
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmals,
\quoteon(2023-03-22 22:36 - oberstuflerin123 in Beitrag No. 4)
Mit dieser (falschen) Annahme habe ich oben angefangen, was der Grund für meine anfängliche Verzweifelung war. Ich habe angenommen, dass \(w_1,w_2,w_3\) im Bild von \(L\) liegen, tun sie aber nicht. Übrigens liegt keiner der Basisvektoren im Bild von \(L\). Insofern ist das keine allgemeingültige Annahme, oder irre ich mich da?
\quoteoff
Ja, da hast du recht. Da hatte ich den Zusammenhang deiner Rückfrage mit der Ausgangsfrage versehentlich nicht beachtet.
Für den von dir betrachteten Fall wäre deine Idee mit dem Basiswechsel vermutlich der beste Weg, weil du in dem Moment ja wieder den gleichen Weg wählen kannst, wie er für die Ausgangsfrage in dem verlinkten Thread vorgeschlagen wurde.
(Sorry nochmals für meine Unachtsamkeit.)
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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