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 Höchstwahrscheinlich erstes aperiodisches Monotile gefunden |
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Slash
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 |  Beitrag No.40, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-20
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https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_11b.png
Die Schneeflocke in ihrer größeren Struktur bis außen zu den nächsten 6-Eck-Löchern besteht aus 2 Grund-Clustern (s. Bild 2): 3 Pullis (halber Ring um ein 6-Eck-Loch) und 2 Pullis (wovon einer gespiegelt ist), die außen eine Docking-Stelle für ein halbes 6-Eck-Loch besitzen. Rechts ist der 2er gespiegelt angesetzt.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_aperiodic-monotile_neu3.png
Mit diesen 2 Formen lässt sich die Schneeflocke legen. Vielleicht auch die Ebene lückenlos parkettieren, und damit auch die Schneeflocke erweitern? Hab es noch nicht probiert. Die 6-fache Rotationssymmetrie bleibt aber erhalten. Ob sich deshalb auch ein periodisches Muster ergeben kann, sei dahingestellt. Die Penrose-Parkettierungen besitzen auch Darstellungen mit unendlicher 5-facher Rotationssymmetrie, also ausgehend von einem Mittelpunkt, ohne dass das Muster je periodisch wird.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_11c2.png
Man muss dann nur die Regel beachten, dass sobald ein halbes 6-Eck-Loch außen ist (Bild oben), ein 2er entsprechend eingesetzt werden muss.
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haribo
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 | Beitrag No.41, eingetragen 2023-04-21
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Beim linken befindet sich aussen ein weiteres halbes sechseck, das passt ja auch in ein aussen auftauchendes halbes sechseck
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_B08B0695-6323-499D-9A34-61E954BEC877.jpeg
und ich muss mal probieren ob sich in deiner struktur( extrem toll!) ausserhalb des innersten rings weitere abgegrenzte teile /bereiche in zwo belegarten belegen lassen
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Slash
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| Beitrag No.42, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-21
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Da hast du ein gutes Auge gehabt! Deshalb funktioniert wohl auch dieser 5er mit dem 3er als nächst größeres Cluster-Set.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_11d.png
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haribo
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| Beitrag No.43, eingetragen 2023-04-21
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was wäre denn jetzt, wenn mit nem inneren unbelegten sechseck es sich per 6 fach rotation schön regelmässig, also periodisch, unendlich fortsetzen liesse, also dass was ich halbunendlich benannt habe (die regelmässigkeit müssten wir noch genau finden, aber was wäre wenn, ist meine frage)
ist halbunendlich auch unendlich? ist es dann auf der oberhalb des start-sechsecks liegenden beliebig grossen fläche, periodisch?
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| Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-22
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Das ist eine gute Frage...
Ich denke, falls sich unendlich viele 6-Eck-Löcher oberhalb füllen lassen, müsste es auch eine entsprechende Fortsetzung nach unten hin geben.
Aber eine Rotationssymmetrie, selbst bei einer unendlichen Fläche ohne Lücken, ist nicht automatisch gleichbedeutend mit einem periodischen Muster innerhalb eines Rotationssektors. Wie gesagt, existieren bei den Penrose-Parkettierung auch immer 2 solcher Möglichkeiten. Hier der Anfang der einen mit Rauten. 5 identische Sektoren, die wiederum spiegelsymmetrisch aufgebaut sind.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Penrose_5er.png
Da wir es jetzt mit einer Monokachel zu tun haben, könnten wir versuchen, ob sich eine Spirale aufbauen lässt. Da ergab sich ja fast immer ein periodischer Aufbau innerhalb der Sektoren.
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| Beitrag No.45, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-22
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Hier ein Cluster aus 72 Pullis. Es verbleibt ein Loch, eine rotationssymmetrische Figur aus 6 Drachen bzw. 2 Drachen als Überlappungen. Es lässt sich also ein Pulli wie schräg rechts unter dem Loch einfügen. Daneben eine Version mit den 3er und 2er-Clustern.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_16b.png
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haribo
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| Beitrag No.46, eingetragen 2023-04-23
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befinden sich die sechs drachen in einer waabe, wenn ich es zeichne mit den auf dem pulli gedruckten teil-linien ? das hat den vorteil das immer die eingezeichnete nummer in einer einzelnen waabe steht, also fast jede waabe durch einen pulli dominiert wird
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| Beitrag No.47, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-23
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Beantwortet das deine Frage? Sonst nochmal anders formulieren bitte.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_loch_muster_mp.png
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willyengland
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| Beitrag No.48, eingetragen 2023-04-23
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Vielleicht für den einen oder anderen interessant:
"Exploring the Hat Polykite Aperiodic Monotile"
Part 1:
https://www.youtube.com/watch?v=iNaEP2dfeVo
Part 2:
https://www.youtube.com/watch?v=nzsAIRontAA
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| Beitrag No.49, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-23
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Wirklich tolle Videos. Danke für die Links!
Hier ist noch ein interessantes Video dazu:
https://youtu.be/BWi1j5AH5QY
Die Software Inkscape ist Freeware.
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haribo
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| Beitrag No.50, eingetragen 2023-04-23
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ja danke, das beantwortet die frage,
die drachen liegen also über drei waaben verteilt, haben aber in summe genau die fläche einer waabe, beides wollte ich wissen
der unterschied zur leeren waabe ist also dass der ursprung (fals man von diesem konstrukt auch eine halbunendliche fläche belegen kann) jetzt auf dem knoten der waaben sitzt und vorher im zentrum einer waabe
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Slash
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| Beitrag No.51, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-24
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Ein Screenshot aus dem 2ten Video aus #48. Die Cluster sind die 7er aus #23. Hier so zusammengefügt, dass nur Lücken aus 1,2 oder 3 Pullis verbleiben.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_19.jpg
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Slash
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| Beitrag No.52, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-24
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Dadurch angeregt, habe ich diesen Rekord gefunden. Es verbleiben 2 Drachenlücken bei 193 Monokacheln. 24 kongruente 7er-Cluster + 20 graue Lückenfüller + ein 6er-Cluster wegen der Überlappung. Gleiche Farbe = gleiche Ausrichtung. Farbton dunkler, wenn direkt nebeneinander. Jetzt kann man fragen, ob sich nach diesem Schema immer größere Riesencluster mit 2 Drachenlücken konstruieren lassen? Innerhalb dieser Riesencluster (Megafliesen) bleibt es aber wohl nichtperiodisch.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_26.png
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Unbenannt_26b.png
Es lassen sich auch 8er-Cluster kolorieren, dann gibt es weniger Lückenfüller.
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haribo
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| Beitrag No.53, eingetragen 2023-04-25
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doll, damit gewinnst du schonmal jeden camuflage wettbewerb,
ich bräuchte zum verständnis wieder die waabenlage nahe der drachenlücken, kann sie mir aber gelegentlich auch selber drüberlegen... und bin gespannt ob du es erweitern kannst
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Slash
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| Beitrag No.54, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-25
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Hier nochmal mit anderen Farben und nur 3 verschiedenen kongruenten Cluster-Gruppen.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/8038_Fast_periodisch_1_d.png
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haribo
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| Beitrag No.55, eingetragen 2023-04-26
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diese überlagerung meinte ich, die beiden rauten sind also in einer waabe
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_mono-6.PNG
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willyengland
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| Beitrag No.56, eingetragen 2023-06-01 08:47
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Es gibt eine neue Kachel, die zusätzlich auch ohne Spiegelungen auskommt, die sog. Vampir-Kachel. Es ist aber im Grunde nur eine Abwandlung der ersten Kachel:
https://www.spektrum.de/news/vampir-kachel-loest-den-einstein-ab/2146095
Original-Artikel:
https://arxiv.org/pdf/2305.17743.pdf
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/45618_1_Untitled-1.jpg
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| Beitrag No.57, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-02 21:10
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Das ist wirklich cool! Der letzte Absatz ist auch sehr schön:
Zurücklehnen können sich Mathematikerinnen und Mathematiker aber noch nicht. »Es wäre interessant, herauszufinden, wie viele Seiten eine Einstein-Kachel mindestens braucht«, sagt Rao. »Oder ob eine rein aperiodische Kachel auch ein Polygon sein kann.« Das neue Ziel ist also, eine möglichst einfache Einstein-Kachel zu finden. Die Jagd ist eröffnet.
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