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 Bundeswettbewerb Mathematik 2023 1. Runde |
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Homothety121
Neu 
Dabei seit: 05.02.2023
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2023-03-24
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Da die 5 Tage nach Einsendeschluss schon um sind, möchte ich hier eine Diskussion zu den Aufgaben der 1. Runde starten! Wie schwierig fandet ihr die diesjährigen Aufgaben?
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Homothety121
Neu 
Dabei seit: 05.02.2023
Mitteilungen: 3
|  Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-01
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Ich kann ja mal eine kurze Lösungsskizze zur 3) machen:\\
Sei $S$ der Schnittpunkt der beiden Umkreise der Dreiecke $\triangle AEB$ und $\triangle CFB$. Es genügt dann zu zeigen, dass $S$ auf dem Umkreis von $\triangle AFD$ ist oder dass die Punkte $A$, $F$, $D$ und $S$ ein Sehnenviereck bilden. Dazu ist $\angle ASF=180°-\angle FDA$ eine äquivalente Aussage.\\
Berechnung von $\angle ASF$:\\
$\angle ASF= 360°-\angle BSA-\angle FSB$\[=360°-\angle BEA -(180°-\angle BCF)=180°+\angle BCF-\angle BEA.\]
Es muss dann somit gezeigt werden, dass $\angle BEA - \angle BCF = \angle FDA$ gilt.
\[\angle BEA- \angle BCF\]
\[=\angle BEA-(\angle BCD - \angle FCD)\]
\[=\angle BEA + \angle EAB -\angle BCD\]
\[=180°-\angle EAB -\angle ABE +\angle EAB -\angle BCD\]
\[=180°-\angle ABE -\angle BCD\]
\[=180°-\angle ABE-(180°-\angle ABC)\]
\[=180°-\angle ABE-180°+\angle ABC\]
\[=\angle EBC\]. Die Winkelgleichheit $\angle EBC= \angle FDA$ zeigt man dann mit $\triangle AFD \cong \triangle CBE$.\\
Anmerkung: Zu dieser Aufgabe gibt es auch eine elegante Lösung mit Inversion am Kreis. Bisher habe ich gezeigt, dass die Umkreise der drei Dreiecke $\triangle AEB$, $\triangle BFC$ und $\triangle AFD$ einen Punkt gemeinsam haben. Die Behauptung, dass $S$ auch auf dem Umkreis von $\triangle CED$ liegt zeigt man analog. Meiner Meinung nach ist diese Aufgabe dieses Jahr etwas schwieriger als die Geometrie Aufgabe vom letzten Jahr. 😁
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Ixx
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Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 348
|  Beitrag No.2, eingetragen 2023-04-09
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Moin zusammen,
ich habe gerade meine Zweitkorrektur abgeschlossen und mit (inkl. Erstkorrektur) 65 Arbeiten, die ich gesehen habe, etwa eine 5%-Stichprobe. Die Preisvorschläge verteilen sich dabei wie folgt:
1. Preis: 3
2. Preis: 2
3. Preis: 11
Anerkennung: 34
Kein Preis: 15
Dabei war auffällig, dass die sehr einfache Einstiegsaufgabe recht häufig korrekt bearbeitet wurde. Wenn nicht, war in Teilaufgabe c) oft die Begründung nicht ausreichend. (Eine einfache Rechnung, die zeigt, dass 68 nicht durch 3 teilbar ist, genügt nicht. Man muss schon diese Rechnung in Zusammenhang mit der Aufgabenstellung bringen...)
Aufgabe 2 wurde recht durchschnittlich (im Mittel "mit Lücken") bearbeitet. Hier war eine große Fehlerquelle, dass nicht ausgeschlossen wurde, dass es neben den gefundenen keine weiteren Lösungen der Gleichung gibt.
Aufgaben 3 und 4 dagegen vielen recht katastrophal (aus meiner Sicht) aus. In der Geometrie wurde oft, falls "bearbeitet", nur eine Skizze, aber kein Beweis mitgeliefert. Und in der vierten Aufgabe wurde zwar oft -- sofern man die Aufgabenstellung verstanden hat -- ein "Muster", welche Nachkommastellen der Ausgangszahl $\alpha$ in den Spalten- und Zeilenzahlen landen, erkannt, dann aber sich keine Gedanken mehr um die zu zeigende Periodizität gemacht. Generell wurden beide Aufgaben im Mittel nur mit großen Lücken bearbeitet.
Die Teilnehmenden kamen im Mittel aus Klasse 10 und haben eine fünf-seitige Bearbeitung eingereicht. Hervorzuheben ist, dass eine Person aus Klasse 4 dabei war.
Anfang Mai findet dann das Drittkorrektur-Wochenende statt, bei dem noch einmal über alle Arbeiten drübergeschaut und die Preise endgültig festgelegt werden.
Und dann folgt ab der Rücksendung der Ergebnisse für alle Preisträger_innen die zweite Runde. Schon einmal Viel Spaß dann mit den neuen Aufgaben! :)
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Hilbertraum
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Dabei seit: 19.07.2021
Mitteilungen: 4
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-04-16
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Hallo zusammen,
zur Schwierigkeit der Aufgaben: Die ersten beiden Aufgaben fand ehrlich gesagt schon ziemlich einfach. Die 1a) ist trivial, bei der 1b) muss man einfach ein wenig herumprobieren. Die 1c) könnte für alle, die zum ersten mal am BWM teilnehmen vielleicht etwas schwerer sein, ist meiner Meinung nach aber auch (insb. im Vergleich zur 1. Aufgaben der letzten Jahre) relativ machbar.
Die A2 kann durch geschickte Umformung relativ einfach gelöst werden:
\(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=3 \\
\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=6 \\
\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2+y^2-2yz+z^2=6 \\
\Leftrightarrow (x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2=6.\)
Daraus ist dann ersichtlich, dass die drei Basen auf der linken Seite ±1, ±1 und ±2 sein müssen, da nur dann \(1^2+1^2+2^2=6\) gilt. Das ist nur für drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen möglich.
Alternativ kann man die Aufgabe auch deutlich weniger elegant lösen, indem man nach einer der Variablen mit pq-Formel auflöst und sich dann die Diskriminante anschaut, die ja nicht-negativ und eine Quadratzahl sein muss.
Auch ist es möglich die Aufgabe zu lösen, indem man die Variablen ein wenig umdefiniert: Man ordnet x, y, z erstmal o.B.d.A. der Größe nach. Dann kann man \(a, b \in \mathbb{N} \) einführen, sodass \(y=x+a\) und \(z=x+b\) gilt. Den Gleichheitsfall schließen wir einfach durch ausprobieren aus, dann sind $a$ und $b$ positiv. Setzt man das in die gegebene Gleichung ein, fällt der Ausdruck fast komplett zusammen. Dann kann man mit einer quadratischen Ergänzung $a=1$ und $b=2$ herleiten.
Ich habe an einer vierten Lösung herumexperimentiert, bei der ich zunächst zwei Vektoren $v, w$ im $\mathbb{R}^3$ definiert habe als
\( v= \left(
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right) \) und \( w= \left(
\begin{array}{c}
z \\
x \\
y \\
\end{array}
\right) \).
Dann ist die linke Seite der Gleichung in der Aufgabe das Quadrat des Betrags von einem der beiden Vektoren minus das Skalarprodukt beider Vektoren. Vielleicht kann man hier irgendwas mit Cauchy-Schwarz-Ungleichung o.Ä. finden, aber das sei mal anderen überlassen :). Auch hier muss ich sagen, dass die Aufgabe dieses Jahr verhältnismäßig einfach war. Ich erinnere mich da z.B. an die A2 des BWM 2021 (Stammbrüche), das war m.E. schon nochmal über der A2 von diesem Jahr.
Die Aufgabe 3 dieses Jahr fand ich hingegen für eine Geo Aufgabe in Runde 1 verhältnismäßig schwierig. Ich hab da eine ähnliche Lösung wie du @Homothety121. Die A4 war auch recht interessant und mal etwas Neues. Da bin ich mit meiner sehr formalen Lösung nicht ganz zufrieden.
BTW, kommt es nur mir so vor oder werden die Musterlösungen dieses Jahr irgendwie später veröffentlicht? Ich meine in den letzten beiden Jahren waren sie schon früher da. 🤔
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Ixx
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Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 348
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-04-17
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\quoteon(2023-04-16 19:16 - Hilbertraum in Beitrag No. 3)
BTW, kommt es nur mir so vor oder werden die Musterlösungen dieses Jahr irgendwie später veröffentlicht? Ich meine in den letzten beiden Jahren waren sie schon früher da. 🤔
\quoteoff
Karl Fegert (Vorsitzender der Aufgabenkomission) hat noch ein paar weitere Lösungen, die auf Teilnehmende zurückgehen (insbesondere in der Geometrie), mit in die vorläufigen Lösungsbeispiele aufgenommen. Ich würde vermuten, dass demnächst dann dergleichen auch für alle online gestellt wird.
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