| |
| Autor |
 Frage zu einer asymptotischen Formel |
|
Julian5266
Aktiv 
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 34
 |  Themenstart: 2023-03-29
|
Hallo zusammen :)
Ich arbeite mich gerade durch ein Paper und bin hierbei das erste Mal mit einer asymptotischen Formel in Kontakt gekommen. Ich kenne mich noch nicht gut mit solchen Formeln aus. Eventuell kann mir hier jemand einen Tipp geben.
In dem Paper wird an einer Stelle einfach folgendes behauptet:
Mit der Stirling Formel folgt:
$$ \binom{k}{m} \cdot \delta^{k-m} \ \mathtt{\sim} \ \frac{1}{(1- \delta)^m} \frac{k}{\sqrt{m}}$$
für $m \rightarrow \infty$
Hier gilt $ 0 < \delta < \frac{1}{2}$. Außerdem sind $m$ und $k$ natürliche Zahlen (genauer sind es Indizes) mit $m \leq k$. Diese hängen zusammen sodass auch $k \rightarrow \infty$ wenn $m \rightarrow \infty$ (mehr Details möchte ich euch erst mal ersparen).
Wenn ich jetzt asymptotische Formeln richtig verstanden habe, dann behauptet er doch damit:
$$\lim_{m \to \infty}\frac{\binom{k}{m} \cdot \delta^{k-m}}{\frac{1}{(1- \delta)^m} \frac{k}{\sqrt{m}}} = 1$$
Für die Stirling Formel habe ich diesen Ausdruck hier gefunden:
$$k! \ \mathtt{\sim} \ \sqrt{2\pi k} \left( \frac{k}{e} \right)^k$$
Ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich hier rangehen soll. Ich muss also irgendwie Zeigen, dass dieser Bruch gegen 1 konvergiert und muss dabei die Stirling Formel anwenden. Aber wo genau und wie ? Ich meine die Stirling Formel sagt mir ja nur, dass:
$$\lim_{k \to \infty} \frac{k!}{\sqrt{2\pi k} \left( \frac{k}{e} \right)^k} = 1$$
Im Zähler des zu berechnenden Grenzwertes steht ein Binomialkoeffizient und dieser enthällt Fakultäten. Die werden wir jetzt wohl irgendwie mit Stirling angreifen müssen. Aber im Nenner steht nichts was nur ansatzweise an $\sqrt{2\pi k} \left( \frac{k}{e} \right)^k$ erinnern würde, deswegen weiß ich nicht was ich hier machen soll. Und was es mit dem Faktor $\frac{1}{(1-\delta)^m}$ auf sich hat und wie man darauf kommt, versteh ich auch nicht.
Hat irgendjemand hier eine Erklärung für diese Aussage oder zumindest einen Ansatz wie ich hier rangehen sollte ? Würde mich sehr freuen.
Liebe Grüße,
Julian
|
 Profil
|
Wauzi
Senior 
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11630
Wohnort: Bayern
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-30
|
Hallo,
rein fornal ergäbe die Stirlingformel folgenden Ausdruck:
(k;m)~(k^k*exp(k-m)*exp(m)*sqrt(2\pi*k)) /(m^m*(k-m)^(k-m)*exp(k)*sqrt(2\pi*2\pi*m*(k-m)))=
=((k-m)/m)^m*(k/(k-m))^k*sqrt(k/(2\pi*m*(k-m)))=
=(k/m-1)^m/(1-m/k)^k*sqrt(k/(2\pi*m*(k-m)))=
=(k/m)^m*(1-m/k)^(m-k)*sqrt(k/(2\pi*m*(k-m)))
Jetzt muß man aber die Nebenbedingungen für m,k,k-m untersuchen da die Stirlingformel ja keine Gleichheit darstellt, sondern nur für große Argumente näherungsweise gilt.
Auf der sicheren Seite ist man, wenn man die Formel mit Restglied (also O-Glied) verwendet. Ich denke aber, daß man hier nur weiterkommt, wenn man mehr über m und k weiß.
Bei der Ausgangsformel bei Dir wird bereits m=k zum Problem, da dann die linke Seite Deines Ausdrucks 1 ist, die rechte aber divergiert.
Gruß Wauzi
|
Profil
|
Julian5266
Aktiv
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-30
|
\quoteon
Auf der sicheren Seite ist man, wenn man die Formel mit Restglied (also O-Glied) verwendet. Ich denke aber, daß man hier nur weiterkommt, wenn man mehr über m und k weiß.
\quoteoff
Vielen Dank für die Antwort. Ich bin damit schon ein gutes Stück weiter gekommen. Die vollen Informationen sind folgende:
Zuerst wählen wir ein festes $0 < \delta < \frac{1}{2}$. Der Index $k$ bezeichnet den Index einer Teilfolge der Natürlichen Zahlen. $(k)_k$ ist also eine streng Monoton steigende Folge der Natürlichen Zahlen. Nun zur Wahl von $m$. Zu jedem $k$ wird nun ein $m$ gewählt für das gilt:
$m$ ist die größte natürliche Zahl, sodass gilt:
$$\left[\frac{m}{1-\delta}\right] \leq k$$
wobei $[y]$ die größte natürliche Zahl kleiner gleich y beschreibt.Wenn man nun den Index m gegen unendlich laufen lässt ist das so gemeint, dass k auch immer den zu m gehörigen Index bezeichnet. Ist meiner Meinung etwas unschön geschrieben, aber da ich noch nicht alles in dem Paper verstanden haben, hab ich die unschöne Schreibweise übernommen.
Ich vermute nun kann mit hinreichend viel nachdenken irgendwie zeigen, dass sich der Term $\frac{k}{m}$ für hinreichend große m wie $\frac{1}{1-\delta}$ verhällt und der Term $\frac{k}{k-m}$ wie $\frac{1}{\delta}$. Damit bin ich zwar immer noch nicht genau da wo ich sein möchte aber zumindest näher dran.
Um weitere Tipps bin ich natürlich immer dankbar, aber ich habe jetzt auf jeden Fall eine grobe Vorstellung des Problems, vielen Dank
|
Profil
|
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11630
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-30
|
Das schaut jetzt doch viel bessser aus.
Versuche mal (als Denkansatz)
m=k*(1-\delta)<=>m/k=1-\delta
Ich schaue mir das später noch mal an.
Gruß Wauzi
|
Profil
|
Julian5266
Aktiv
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-30
|
\quoteon(2023-03-30 11:36 - Wauzi in Beitrag No. 3)
Das schaut jetzt doch viel bessser aus.
Versuche mal (als Denkansatz)
m=k*(1-\delta)<=>m/k=1-\delta
Ich schaue mir das später noch mal an.
Gruß Wauzi
\quoteoff
Bis jetzt bin ich so weit gekommen:
$$\binom{k}{m}\delta^{k-m} \ \sim \ \frac{\sqrt{2\pi} \sqrt{k} k^k \left(\frac{1}{e} \right)^k}{\sqrt{2\pi} \sqrt{m} m^m \left( \frac{1}{e} \right)^m \sqrt{2\pi} \sqrt{k-m} (k-m)^{k-m} \left( \frac{1}{e} \right)^{k-m}} \cdot \delta^{k-m}$$
Kürzen des Ausdrucks liefert:
$$
\frac{k^k}{m^m(k-m)^{k-m}} \cdot \frac{\sqrt{k}}{\sqrt{2\pi} \sqrt{k-m} \sqrt{m}} \cdot \delta^{k-m}
=
\left( \frac{k}{m} \right)^m \cdot \left( \frac{k}{k-m} \right)^{k-m} \cdot \delta^{k-m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \sqrt{\frac{k}{k-m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
$$
Schummeln wir jetzt ein bisschen und sagen mal es gilt:
$$
\frac{m}{1-\delta} = k \Longleftrightarrow \frac{k}{m} = \frac{1}{1-\delta} \Longleftrightarrow \frac{1}{\delta} = \frac{k}{k-m}
$$
so können wir obige Gleichung weiterführen durch:
$$
\frac{1}{(1-\delta)^m} \cdot \frac{1}{\delta^{k-m}} \cdot \delta^{k-m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\delta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
=
\frac{1}{(1-\delta)^m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \mathcal{O}(1) \ \ \ \mathrm{für} \ m \rightarrow \infty
$$
Damit hab ich aber noch zwei Probleme:
1. Es fehlt mir noch der Faktor k im Produkt. Der ist aber wichtig, für den weiteren Verlauf des Beweises.
2. Ich weiß nicht wie ich rechtfertigen kann $\frac{k}{m}$ durch $\frac{1}{1-\delta}$ und $\frac{k}{k-m}$ durch $\frac{1}{\delta}$ zu ersetzen, wenn ich nur benutzen darf, dass $m$ die größte natürliche Zahl ist für die $\left[ \frac{m}{1-\delta} \right] \leq k$ gilt.
Liebe Grüße,
Julian Gurdan
|
Profil
|
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11630
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-30
|
\quoteon(2023-03-30 13:12 - Julian5266 in Beitrag No. 4)
2. Ich weiß nicht wie ich rechtfertigen kann $\frac{k}{m}$ durch $\frac{1}{1-\delta}$ und $\frac{k}{k-m}$ durch $\frac{1}{\delta}$ zu ersetzen, wenn ich nur benutzen darf, dass $m$ die größte natürliche Zahl ist für die $\left[ \frac{m}{1-\delta} \right] \leq k$ gilt.
\quoteoff
Setze m/k=(1-\delta)*(1+r) und überlege, wie die Größenordnung von r sein kann.
Alternativ:
k=m/(1-\delta)*r oder k=m/(1-\delta)+r
oder etwas Ähnliches in der Art. Die Unterschiede des Inneren der Gaußklammer zum wahren Wert sind ja in diesen Größenordnungen belanglos.
|
Profil
|
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11630
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-03-30
|
Ich habe jetzt mal eingesetzt, bekomme aber nicht das gewünschte heraus. Rechne mal nach..
Setze m=rk
1. links
1/r^rk*(1-r)^(k(r-1))*sqrt(1/(2\pi*r*(k-rk)))
2. rechts
(1-r)^(k*(r-1))*1/r^rk*k/sqrt(rk)
Damit ist linke Seite durch rechte:
(1/r^rk*(1-r)^(k(r-1))*sqrt(1/(2\pi*r*(k-rk))))/((1-r)^(k*(r-1))*1/r^rk*k/sqrt(rk))=
=1/k*sqrt(1/(2\pi*(1-r)))
|
Profil
|
Julian5266
Aktiv
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-31
|
\quoteon(2023-03-30 13:51 - Wauzi in Beitrag No. 5)
\quoteon(2023-03-30 13:12 - Julian5266 in Beitrag No. 4)
2. Ich weiß nicht wie ich rechtfertigen kann $\frac{k}{m}$ durch $\frac{1}{1-\delta}$ und $\frac{k}{k-m}$ durch $\frac{1}{\delta}$ zu ersetzen, wenn ich nur benutzen darf, dass $m$ die größte natürliche Zahl ist für die $\left[ \frac{m}{1-\delta} \right] \leq k$ gilt.
\quoteoff
Setze m/k=(1-\delta)*(1+r) und überlege, wie die Größenordnung von r sein kann.
Alternativ:
k=m/(1-\delta)*r oder k=m/(1-\delta)+r
oder etwas Ähnliches in der Art. Die Unterschiede des Inneren der Gaußklammer zum wahren Wert sind ja in diesen Größenordnungen belanglos.
\quoteoff
Nochmals vielen Dank für die Hilfe. Ich habe jetzt Mal
$$k = \frac{m}{1-\delta} +r$$
versucht und bin glaube ich auf ein brauchbares Ergebnis gekommen. Denn bei diesem Ansatz gilt $ r = k - \frac{m}{1-\delta} $. Wir haben $m$ ja definiert als größte Natürliche Zahl für die gilt $\left[\frac{m}{1 - \delta} \right] \leq k$. Das ist äquivalent zu $m$ ist die größte Natürliche Zahl für die gilt $ \frac{m}{1 - \delta} < k + 1$. Da $0 < \delta < \frac{1}{2}$ sieht man schnell ein, dass $|k - \frac{m}{1-\delta}| < 1$ für alle $k$ und den jeweils zugehörigem $m$ und damit $|r| < 1$. Umstellen obiger Gleichung liefert dann:
$$\frac{k}{m} = \frac{1}{1 - \delta} + \frac{r}{m} \rightarrow \frac{1}{1-\delta} \ \mathrm{für} \ m \rightarrow \infty$$
und
$$
\frac{k}{k-m} = \frac{1}{\delta + \frac{r(1-\delta)}{k}} \rightarrow \frac{1}{\delta} \ \mathrm{für} \ m \rightarrow \infty
$$
Da wir uns nur für das Verhalten für $m \rightarrow \infty$ interessieren (was automatisch auch $k \rightarrow \infty$ bedeutet) müsste das eine ausreichende Begründung sein warum ich in der Asymptotischen Formel $\frac{k}{m}$ durch $\frac{1}{1 - \delta}$ und $\frac{k}{k-m}$ durch $\frac{1}{\delta}$ ersetzen darf. Damit müsste mein Zweites Problem gelöst sein. Mein erstes Problem, mit dem $k$ das im Produkt am Ende der asymptotischen Formel fehlt, habe ich immer noch nicht gelöst, aber ich fange immer mehr an zu glauben, dass das vielleicht ein Fehler ist und arbeite gerade daran, das irgendwie zu retten. Ich glaube eventuell eine brauchbaren Ansatz gefunden zu haben.
|
Profil
|
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11630
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-31
|
Der Ansatz, für den ich mich entschieden habe mit m=r*k geht immer. r ist dann von den anderen Parametern abhängig, also von k und von Delta.
Die gegebene Ungleichung verwendet man dann, um die Größenordnung von r abzuschätzen, die dürfte je nach Wahl von Delta irgendwo zwischen 1 und 1/2 liegen, wobei 1 nicht sein darf, da sonst Stirling nicht geht.
Ich habe nur das Problem gehabt, daß ich ein k zuviel habe, vielleicht ist es das, was Du suchst oder es ist wirklich ein Fehler in der vorliegenden Arbeit.
Ich möchte das nochmal in Ruhe durchrechnen, vielleicht kannst Du dann mit meinem Ergebnis was anfangen.
Gruß Wauzi
|
Profil
|
Wauzi
Senior
Dabei seit: 03.06.2004
Mitteilungen: 11630
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-04-01
|
Hallo,
ich habe jetzt das Ganze komplett durchgerechnet und komme auf folgendes:
Sei m=r*k mit m=m(k,\delta) und r=r(k,\delta)
Sei weiter m,k,k-m->\inf
Dann wird die linke Seite Deiner Aufgabe mit Stirling zu
((1/r)^r*(1/(1-r))^(1-r))^k*sqrt(1/2\pi)*sqrt(1/k)*sqrt(1/(r*(1-r)))*\delta^((1-r)*k)
rechte Seite:
1/(1-\delta)^rk*sqrt(k)/sqrt(r)
Teilt man links durch rechts ergibt sich
1/k*1/sqrt(2\pi)*(((1-\delta)/r)^r*(\delta/(1-r))^(1-r))^k*sqrt(1/(1-r))
Dies läßt sich umformen zu
1/k*1/sqrt(2\pi)*(((1-r)/r)^r*((1-\delta)/\delta)^r*\delta/(1-r))^k*sqrt(1/(1-r))
Aber rein gefühlsmäßig geht das nie und nimmer gegen 1
zu m und r:
aus gauss(m/(1-\delta))<=k mit m maximal ergibt sich
gauss((m+1)/(1-\delta))>k
und hieraus folgt
m>(1-\delta)*k-1
m<=(1-\delta)*(k+1)
Dies führt mit m=r*k zu etlichen Größenabschätzungen vor allem für r
Bei allen Varianten geht bei mir immer der Ausdruck gegen 0 und nicht gegen 1.
Aber man kann offensichtlich in guter Näherung r=1-\delta setzen.
Ich hoffe, ich habe mich nicht, wie so oft verrechnet.
Gruß Wauzi
|
Profil
|
Julian5266
Aktiv
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-01
|
Ich muss mich erneut für die Hilfe bedanken. Ich bin nämlich auch der Meinung, dass diese asymptotische Gleichung einfach nicht stimmt. Wenn du sagst dass die linke Seite geteilt durch die Rechte Seite bei dir immer 0 ergibt, muss dies ja Bedeuten, dass die Rechte Seite für $m \rightarrow \infty$ stärker wächst, als die Linke. Ich glaube, die richtige Aussage ist
$$\binom{k}{m} \delta^{k-m} \sim \frac{1}{(1 - \delta)^m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}}$$
für $m \rightarrow \infty$. Ich glaube ich konnte das auch beweisen. Mit dem oben bereits erwähnten Methoden konnte ich zeigen:
$$\binom{k}{m} \delta^{k-m} \sim \left( \frac{k}{m} \right)^m \cdot \left( \frac{k}{k-m} \right)^{k-m} \cdot \delta^{k-m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \sqrt{\frac{k}{k-m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$
für $m \rightarrow \infty$. Dann konnte ich mit hilfe von deinem Ansatz
$$
k = \frac{m}{1 - \delta} + r \ , \ \mathrm{also} \ r = k - \frac{m}{1 - \delta}
$$
zeigen, dass
$$
\frac{k}{m} \rightarrow \frac{1}{1 - \delta} \ \mathrm{und} \ \frac{k}{k-m} \rightarrow \frac{1}{\delta}
$$
für $m \rightarrow \infty$. Womit gilt
$$
\left( \frac{k}{m} \right)^m \cdot \left( \frac{k}{k-m} \right)^{k-m} \cdot \delta^{k-m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \sqrt{\frac{k}{k-m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \rightarrow
\left( \frac{1}{1 - \delta} \right)^m \cdot \left( \frac{1}{\delta} \right)^{k-m} \cdot \delta^{k-m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\delta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
=
\frac{1}{(1 - \delta)^m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \mathcal{O}(1)
$$
für $m \rightarrow \infty$. Damit wäre auch klar warum der bei all deinen Rechnung der Bruch gegen $0$ gegangen ist. Wenn wir jetzt auf der Rechten Seite einfach noch einen Faktor $k$ multiplizieren, dann verhällt sich diese natürlich nicht mehr asypmtotisch gleich zur Linken Seite sondern wächst schneller.
|
Profil
|
Julian5266
Aktiv
Dabei seit: 08.06.2022
Mitteilungen: 34
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-01
|
\quoteon(2023-04-01 17:31 - Julian5266 in Beitrag No. 10)
Ich muss mich erneut für die Hilfe bedanken. Ich bin nämlich auch der Meinung, dass diese asymptotische Gleichung einfach nicht stimmt. Wenn du sagst dass die linke Seite geteilt durch die Rechte Seite bei dir immer 0 ergibt, muss dies ja Bedeuten, dass die Rechte Seite für $m \rightarrow \infty$ stärker wächst, als die Linke. Ich glaube, die richtige Aussage ist
$$\binom{k}{m} \delta^{k-m} \sim \frac{1}{(1 - \delta)^m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}}$$
für $m \rightarrow \infty$. Ich glaube ich konnte das auch beweisen. Mit dem oben bereits erwähnten Methoden konnte ich zeigen:
$$\binom{k}{m} \delta^{k-m} \sim \left( \frac{k}{m} \right)^m \cdot \left( \frac{k}{k-m} \right)^{k-m} \cdot \delta^{k-m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \sqrt{\frac{k}{k-m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$$
für $m \rightarrow \infty$. Dann konnte ich mit hilfe von deinem Ansatz
$$
k = \frac{m}{1 - \delta} + r \ , \ \mathrm{also} \ r = k - \frac{m}{1 - \delta}
$$
zeigen, dass
$$
\frac{k}{m} \rightarrow \frac{1}{1 - \delta} \ \mathrm{und} \ \frac{k}{k-m} \rightarrow \frac{1}{\delta}
$$
für $m \rightarrow \infty$. Womit gilt
$$
\left( \frac{k}{m} \right)^m \cdot \left( \frac{k}{k-m} \right)^{k-m} \cdot \delta^{k-m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \sqrt{\frac{k}{k-m}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \rightarrow
\left( \frac{1}{1 - \delta} \right)^m \cdot \left( \frac{1}{\delta} \right)^{k-m} \cdot \delta^{k-m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\delta}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
=
\frac{1}{(1 - \delta)^m} \cdot \frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \mathcal{O}(1)
$$
für $m \rightarrow \infty$. Damit wäre auch klar warum der bei all deinen Rechnung der Bruch gegen $0$ gegangen ist. Wenn wir jetzt auf der Rechten Seite einfach noch einen Faktor $k$ multiplizieren, dann verhällt sich diese natürlich nicht mehr asypmtotisch gleich zur Linken Seite sondern wächst schneller.
Was ich hier noch erwähnen sollte ist, dass in meiner Variante der Quotient aus rechter und linker Seite zwar nicht unbedingt gegen 1 geht aber zumindest gegen eine Zahl. Das reicht aber für das weiterführen des Beweises auch. Der Beweis ist meiner Meinung nach sehr ungenau geführt...
\quoteoff
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4644
 | Beitrag No.12, eingetragen 2023-04-01
|
\quoteon(2023-04-01 17:31 - Julian5266 in Beitrag No. 10)
Ich bin nämlich auch der Meinung, dass diese asymptotische Gleichung einfach nicht stimmt.
\quoteoff
Kann es nicht sein, dass das Problem genau hier liegt:
\quoteon(2023-03-29 12:54 - Julian5266 im Themenstart)
(mehr Details möchte ich euch erst mal ersparen).
\quoteoff
--zippy
|
Profil
|
| Julian5266 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
