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| Autor |
  Stetigkeit beim Residuensatz |
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Skalhoef
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Mitteilungen: 277
Wohnort: Uppsala (Schweden)
 |  Themenstart: 2023-04-17
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Hej,
mit dem Residuensatz kann man Integrale errechnen; Man summiert dann die Residuen über die verschiedenen Pole verschiedener Ordnung. Was ist jetzt, wenn man zwei Polstellen $\omega_{\pm}$ hat, die in einem gewissen Fall übereinstimmen?
Erhält man allgemein das gleiche***, wenn man
1. zuerst den Grenzwert $\omega_{-} \to \omega_{+}$ betrachtet und dann den Residuensatz benutzt.
2. zuerst das Integral mit dem Residuensatz errechnet (für $\omega_{-} \neq \omega_{+}$) und dann den Grenzwert $\omega_{-} \to \omega_{+}$ betrachtet?
Unten angehängt ist der Residuensatz in demjenigen Gewand, in dem ich ihn kenne.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/47370_ResidueTheorem.png
Zu ***: Ich habe es für ein paar Beispiele ausgerechnet, und es scheint immer das gleiche Ergebnis herauszukommen... Ich bin mir aber unsicher bzw. kann nicht begründen ob oder warum das allgemein gelten sollte.
Ich freue mich auf Rückmeldung.
Med vänliga hälsningar
Sebastian
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Skalhoef
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| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-17
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Ich will mal noch nen Ansatz hinzufügen... Also nur mal angenommen
$$
f(z) = \frac{h(z)}{(z - \omega_+)(z - \omega_-)}
$$
dann folgt für $\omega_+ = \omega_- \equiv \omega_{\star}$, dass
$$
\operatorname{Res}(f , \omega_{\star}) = h^{\prime}( \omega_{\star} )
$$
während für $\omega_+ \neq \omega_-$ dann folgt
$$
\operatorname{Res}(f , \omega_{+}) + \operatorname{Res}(f , \omega_{-}) = \frac{h( \omega_{+} )}{ \omega_+ - \omega_-} + \frac{h( \omega_{-} )}{ \omega_- - \omega_+}
$$
Betrachtet man jetzt in der letzten Zeile den Grenzwert $\omega_- \to \omega_+ \equiv \omega_{\star}$ dann erhält man
$$
\lim_{\omega_- \to \omega_+} \operatorname{Res}(f , \omega_{+}) + \operatorname{Res}(f , \omega_{-}) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{h( \omega_{\star} )}{ \omega_{\star} - (\omega_{\star} + \epsilon)} + \frac{h( \omega_{\star} + \epsilon )}{ \omega_{\star} + \epsilon - \omega_{\star}} = \lim_{\epsilon \to 0} - \frac{h( \omega_{\star} )}{ \epsilon} + \frac{h( \omega_{\star} + \epsilon )}{ \epsilon } \stackrel{!!!}{=} h^{\prime}(\omega_{\star})
$$
Na... Jetzt hab' ichs doch selber schon... Die Funktion $h$ muss also differenzierbar sein... Da hab ich wohl falschen Alarm geschlagen...
Ich mache einen Haken dran.
Hälsningar
Sebastian
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| Skalhoef hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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