| Autor |
  Residuum der logarithmischen Ableitung einer meromorphen Funktion |
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TobiDE
Junior 
Dabei seit: 06.11.2022
Mitteilungen: 5
 |  Themenstart: 2023-04-25
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Hallo zusammen!
Kann mir jemand erklären wie man auf die Schlussfolgerung (2) kommt?
f ist hierbei eine Modulform vom Gewicht k.
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55933_FT.PNG
Danke im Vorraus!
Liebe Grüße
Tobias
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-04-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
der Vollständigkeit halber: Was ist $\mathbb V_k$?
Edit: Ok, du hattest es dazu geschrieben. Habe ich übersehen, sorry.
LG Nico\(\endgroup\)
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nzimme10
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| Beitrag No.2, eingetragen 2023-04-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Zu der eigentlichen Frage:
Wenn $f$ in $w$ z.B. einen Pol $n$-ter Ordnung hat, dann finden wir eine in einer Umgebung von $w$ holomorphe Funktion $g$ mit $g(w)\neq 0$ und
$$
f(z)=\frac{g(z)}{(z-w)^n}
$$
auf dieser Umgebung. Damit ist
$$
\frac{f'(z)}{f(z)}=-\frac{n}{z-w}+\frac{g'(z)}{g(z)}.
$$
Für hinreichend kleines $r>0$ (so, dass $g$ dort keine Nullstellen hat) haben wir somit
$$
\opn{res}_w\left(\frac{f'}{f}\right)=\frac{1}{2\pi\i}\oint\limits_{\partial B_r(w)}\left(-\frac{n}{z-w}+\frac{g'(z)}{g(z)}\right) \dd z.
$$
Kannst du damit weitermachen?
LG Nico\(\endgroup\)
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TobiDE
Junior 
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-25
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Kann ich leider nicht. Ich höre Funktionentheorie erst dieses Semester und muss mir deswegen einige Fragen für mein Seminar selbst beantworten, da mir das Vorwissen fehlt.
Wäre nett wenn du mir erklären könntest wie man zur Ordnung von w kommt.
LG Tobias
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-04-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Also an dieser Stelle könnte man nun auf (innerhalb der Funktionentheorie) sehr bekannte Resultate zurückgreifen.
Zunächst haben wir nämlich
$$
\oint\limits_{\partial B_r(w)}\left(-\frac{n}{z-w}\right) \dd z=-n\oint\limits_{\partial B_r(w)}\frac{1}{z-w} \dd z=-n\cdot 2\pi\i,
$$
wie man sich z.B. durch Einsetzen einer Parametrisierung von $\partial B_r(w)$ durch eine direkte Rechnung überlegen kann.
Für ein hinreichend kleines $\varepsilon>0$ ist $z\mapsto g'(z)/g(z)$ auf der Kreisscheibe $B_{r+\varepsilon}(w)$ holomorph und es gilt $\partial B_r(w)\subseteq B_{r+\varepsilon}(w)$. Der Cauchy-Integralsatz liefert uns daher
$$
\oint\limits_{\partial B_r(w)}\frac{g'(z)}{g(z)} \dd z=0.
$$
Insgesamt haben wir daher
$$
\opn{res}_w\left(\frac{f'}{f}\right)=\frac{1}{2\pi\i}\oint\limits_{\partial B_r(w)}\left(-\frac{n}{z-w}+\frac{g'(z)}{g(z)}\right) \dd z=-n=\opn{ord}_w(f),
$$
wenn $f$ in $w$ einen Pol $n$-ter Ordnung besitzt. Für eine Nullstelle der Ordnung $n$ ist die Rechnung fast identisch.
LG Nico\(\endgroup\)
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TobiDE
Junior
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-26
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