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| Autor |
  Supremum der Schnittmenge von offenem Intervall und den rationalen Zahlen |
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Aurel
Aktiv 
Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 111
 |  Themenstart: 2023-05-10
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Hallo,
kurze Frage:
wie lässt sich zeigen, dass der Schnitt von sup(x,y) mit den rationalen Zahlen gleich y ist?
Müsste man hier nicht auch eine Fallunterscheidung machen, ob y rational oder irrational ist? Wenn y irrational, dann ist der Schnitt doch leer, oder?
BG
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 Profil
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Mandelbluete
Senior 
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 585
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\theta}{\vartheta} \)
Meinst Du das Supremum von $(x,y) \cap \Q$ in $\R$?\(\endgroup\)
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Aurel
Aktiv
Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 111
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-10
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Hallo,
anbei einmal ein Bild der Aufgabe. Ich glaube so ist es am einfachsten.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56317_Aufgabe.png
BG
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8385
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-10
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\quoteon(2023-05-10 02:22 - Aurel im Themenstart)
der Schnitt von sup(x,y) mit den rationalen Zahlen gleich y ist?
\quoteoff
Das steht nicht in der Aufgabe (bzw. soll da so nicht stehen) und ergäbe auch keinen Sinn. Gemeint ist
\[\sup\left((x,y)\cap\IQ\right)\]
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Aurel
Aktiv
Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 111
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-10
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Ok, das hatte mich verwirrt. So ergibt es ja jetzt Sinn. Danke für die Aufklärung. Meine Frage verbleibt allerdings weiterhin und ich würde mich über Hilfe zum Finden eines Ansatzes freuen.
BG
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2868
 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-05-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Du könntest zum Beispiel, für alle $t \in \IR$ zeigen: $$\sup ((x,y) \cap \IQ) \le t \iff y \le t.$$
(Indem man dann für $t$ entweder $y$ oder $\sup ((x,y) \cap \IQ)$ einsetzt, ergibt sich $y \le \sup ((x,y) \cap \IQ) \le y$, also Gleichheit.)
Die linke Seite der obigen Äquivalenz ist dabei übrgens äquivalent zu $\forall q \in \IQ.\, x < q < y \to q \le t$.
Es dürfte ein paar mal eingehen, dass für reelle Zahlen $x,y$ mit $x < y$ eine rationale Zahl $q$ existiert mit $x\(\endgroup\)
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Aurel
Aktiv
Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 111
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-10
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Danke, so konnte ich es lösen.
BG
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Aurel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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