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  Herleitung NAND |
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Sinnfrei
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 |  Themenstart: 2023-05-15
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Hallo community.
Ich weiss gerade nicht, wie man auf folgendes kommt:
$$y(k) = \overline{y(k-1)} + y(k-1)\cdot\overline{x(k)}$$
auf
$$y(k) = \overline{y(k-1)} + \overline{x(k)}$$
kommt. Vielleicht kann mir das jemand von euch erklären.
Danke schon mal im Voraus und
Viele Grüße
Sinnfrei
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zippy
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-15
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Der zweite Summand der ODER-Funktion spielt nur eine Rolle, wenn nicht der erste schon wahr ist. Also kann man in ihm $y(k-1)$ als wahr annehmen.
--zippy
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Sinnfrei
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-15
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\quoteon(2023-05-15 19:02 - zippy in Beitrag No. 1)
Der zweite Summand der ODER-Funktion spielt nur eine Rolle, wenn nicht der erste schon wahr ist. Also kann man in ihm $y(k-1)$ als wahr annehmen.
--zippy
\quoteoff
Meinst du die Wahrheitstabelle oder mathematisch. Weil aus der Wahrheitstabelle verstehe ich das, nur nicht wie man es mathematisch ohne die Kenntnis einer Wahrheitstabelle. Oder kann man es gar nicht mathematisch/rechnerisch beweisen, wie z.B. mit (+1 OR 0) was ja dann 1 ergeben würde.
Also den Teil mit wenn der erste schon wahr war kann man den zweiten Faktor als wahr annehmen verstehe ich noch nicht.
Viele Grüße
Sinnfrei
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ligning
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-15
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Du kannst auch das Distributivgesetz anwenden, wenn es dir die Argumentation per Wahrheitstabelle nicht geheuer ist. Denk daran, dass es -- etwas unintuitiv -- zwei duale Varianten davon gibt.
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Sinnfrei
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-15
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\quoteon(2023-05-15 19:22 - ligning in Beitrag No. 3)
Du kannst auch das Distributivgesetz anwenden, wenn es dir die Argumentation per Wahrheitstabelle nicht geheuer ist. Denk daran, dass es -- etwas unintuitiv -- zwei duale Varianten davon gibt.
\quoteoff
Das hier das Distributivgesetz angewendet werden kann, sehe ich da noch nicht. Vielleicht kannst du mir das aber mal zeigen. Also für mich ist das Distributivgesetz, dass man etwas ausklammern oder ausmultiplizieren kann.
Wenn ich aber $\overline{x(k)}$ ausklammere, wie sieht dann der andere Summand aus?
Viele Grüße
Sinnfrei
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zippy
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-05-15
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\quoteon(2023-05-15 19:06 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
Meinst du die Wahrheitstabelle oder mathematisch.
\quoteoff
Eine Wahrheitstabelle ist nicht unmathematisch.
\quoteon(2023-05-15 19:06 - Sinnfrei in Beitrag No. 2)
nur nicht wie man es mathematisch ohne die Kenntnis einer Wahrheitstabelle.
\quoteoff
Dann musst du ein paar Regeln anwenden (die du z.B. hier findest):$$
x+y=x+(x+\bar x)\cdot y=x+x\cdot y+\bar x\cdot y=
x\cdot(1+y)+\bar x\cdot y=x+\bar x\cdot y$$
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
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ligning
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-05-15
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\quoteon(2023-05-15 19:28 - Sinnfrei in Beitrag No. 4)
Das hier das Distributivgesetz angewendet werden kann, sehe ich da noch nicht. Vielleicht kannst du mir das aber mal zeigen. Also für mich ist das Distributivgesetz, dass man etwas ausklammern oder ausmultiplizieren kann.
\quoteoff
Wie hattest du dir das mit dem "mathematisch" machen eigentlich konkret vorgestellt? Ich dachte, du hast die Axiome vor dir liegen und weißt nur nicht, welches du am besten anwendest. Mit "also für mich ist das" kommst du da nicht weit. Man kann die auch irgendwo nachlesen, auf Wikipedia zum Beispiel. Ansonsten halt per Wahrheitstabelle, das ist auch nicht verboten.
Du brauchst hier $a + b\cdot c = (a + b)\cdot(a + c)$.
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Sinnfrei
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-15
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\quoteon(2023-05-15 19:55 - ligning in Beitrag No. 6)
\quoteon(2023-05-15 19:28 - Sinnfrei in Beitrag No. 4)
Das hier das Distributivgesetz angewendet werden kann, sehe ich da noch nicht. Vielleicht kannst du mir das aber mal zeigen. Also für mich ist das Distributivgesetz, dass man etwas ausklammern oder ausmultiplizieren kann.
\quoteoff
Wie hattest du dir das mit dem "mathematisch" machen eigentlich konkret vorgestellt? Ich dachte, du hast die Axiome vor dir liegen und weißt nur nicht, welches du am besten anwendest. Mit "also für mich ist das" kommst du da nicht weit. Man kann die auch irgendwo nachlesen, auf Wikipedia zum Beispiel. Ansonsten halt per Wahrheitstabelle, das ist auch nicht verboten.
Du brauchst hier $a + b\cdot c = (a + b)\cdot(a + c)$.
\quoteoff
Also das von Zippy habe ich jetzt verstanden:
$$y(k) = \overline{y(k-1)}(\underbrace{1 + \overline{x(k)}}_{=1}) + y(k-1)\cdot\overline{x(k)}$$
$$y(k) = \overline{x(k)}(\underbrace{\overline{y(k-1)}+y(k-1)}_{=1}) + \overline{y(k-1)}$$
Aber wenn ich mir jetzt den Beitrag von ligning anschaue, kenne ich das Distributivgesetz ja wie folgt:
$$(a + b)(a + c) = a^2 + a\cdot c + b\cdot a + b\cdot c$$
Wenn ich da jetzt noch das a ausklammere, erhalte ich ja folgendes
$$a(a + c + b) + bc$$
Soll jetzt der Faktor $a + c + b$ gleich $1$ sein und wenn ja warum?
Kann ich mir die Terme als Mengen vorstellen und die zusammen addiert ergibt dann die Gesamtmenge?
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zippy
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-05-15
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\quoteon(2023-05-15 20:06 - Sinnfrei in Beitrag No. 7)
Aber wenn ich mir jetzt den Beitrag von ligning anschaue, kenne ich das Distributivgesetz ja wie folgt:
$$(a + b)(a + c) = a^2 + a\cdot c + b\cdot a + b\cdot c$$
\quoteoff
Hier ist aber das $a$ aus beiden Summen auszuklammern:$$
(a + b)(a + c) = a+b\cdot c
$$Das ist die Regel $(4')$:
\quoteon(2023-05-15 19:28 - zippy in Beitrag No. 5)
Dann musst du ein paar Regeln anwenden (die du z.B. hier findest)
\quoteoff
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tactac
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-05-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Vielleicht hilft folgende Beobachtung: Boolesche Algebren sind ja auch Heyting-Algebren mit der Implikation definiert als $A \to B := \overline A + B$.
Dann wunderst du dich über die Äquivalenz von $A \to A \land B$ mit $A \to B$.\(\endgroup\)
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Sinnfrei
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-17
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\quoteon(2023-05-15 21:09 - zippy in Beitrag No. 8)
\quoteon(2023-05-15 20:06 - Sinnfrei in Beitrag No. 7)
Aber wenn ich mir jetzt den Beitrag von ligning anschaue, kenne ich das Distributivgesetz ja wie folgt:
$$(a + b)(a + c) = a^2 + a\cdot c + b\cdot a + b\cdot c$$
\quoteoff
Hier ist aber das $a$ aus beiden Summen auszuklammern:$$
(a + b)(a + c) = a+b\cdot c
$$Das ist die Regel $(4')$:
\quoteoff
Und genau das habe ich nie verstanden, warum das bei einem Produkt von zwei Summen geht, da wir das ausklammern und oder ausmultiplizieren immer anders gemacht haben. Halt so wie auf dem Wikipedia Beitrag auf der linken Seite bei (4). Gilt (4') eigentlich überall? Dort wird was von Peano und duale Formel erzählt. Keine Ahnung, ob das überall gültig ist.
Den Beitrag von tactac versteh ich nicht.
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tactac
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-05-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
\quoteon(2023-05-17 01:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
\quoteon(2023-05-15 21:09 - zippy in Beitrag No. 8)
\quoteon(2023-05-15 20:06 - Sinnfrei in Beitrag No. 7)
Aber wenn ich mir jetzt den Beitrag von ligning anschaue, kenne ich das Distributivgesetz ja wie folgt:
$$(a + b)(a + c) = a^2 + a\cdot c + b\cdot a + b\cdot c$$
\quoteoff
Hier ist aber das $a$ aus beiden Summen auszuklammern:$$
(a + b)(a + c) = a+b\cdot c
$$Das ist die Regel $(4')$:
\quoteoff
Und genau das habe ich nie verstanden, warum das bei einem Produkt von zwei Summen geht, da wir das ausklammern und oder ausmultiplizieren immer anders gemacht haben. Halt so wie auf dem Wikipedia Beitrag auf der linken Seite bei (4). Gilt (4') eigentlich überall? Dort wird was von Peano und duale Formel erzählt. Keine Ahnung, ob das überall gültig ist.
\quoteoff
Ja, in Booleschen Algebren hat man immer sowohl $$x \land (y \lor z) = (x \land y) \lor (x \land z)$$ als auch $$x \lor (y \land z) = (x \lor y) \land (x \lor z).$$
Es gelten einfach andere Gesetze als beim Rechnen in $\IR$ mit dem Standard-$+$ und $\cdot$ dort. (Weswegen es durchaus sinnvoll ist, andere Symbole zu verwenden.)
\quoteon
Den Beitrag von tactac versteh ich nicht.
\quoteoff
Dann ignoriere den Beitrag.\(\endgroup\)
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Sinnfrei
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-17
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\quoteon(2023-05-17 02:09 - tactac in Beitrag No. 11)
\quoteon(2023-05-17 01:36 - Sinnfrei in Beitrag No. 10)
\quoteon(2023-05-15 21:09 - zippy in Beitrag No. 8)
\quoteon(2023-05-15 20:06 - Sinnfrei in Beitrag No. 7)
Aber wenn ich mir jetzt den Beitrag von ligning anschaue, kenne ich das Distributivgesetz ja wie folgt:
$$(a + b)(a + c) = a^2 + a\cdot c + b\cdot a + b\cdot c$$
\quoteoff
Hier ist aber das $a$ aus beiden Summen auszuklammern:$$
(a + b)(a + c) = a+b\cdot c
$$Das ist die Regel $(4')$:
\quoteoff
Und genau das habe ich nie verstanden, warum das bei einem Produkt von zwei Summen geht, da wir das ausklammern und oder ausmultiplizieren immer anders gemacht haben. Halt so wie auf dem Wikipedia Beitrag auf der linken Seite bei (4). Gilt (4') eigentlich überall? Dort wird was von Peano und duale Formel erzählt. Keine Ahnung, ob das überall gültig ist.
\quoteoff
Ja, in Booleschen Algebren hat man immer sowohl $$x \land (y \lor z) = (x \land y) \lor (x \land z)$$ als auch $$x \lor (y \land z) = (x \lor y) \land (x \lor z).$$
Es gelten einfach andere Gesetze als beim Rechnen in $\IR$ mit dem Standard-$+$ und $\cdot$ dort. (Weswegen es durchaus sinnvoll ist, andere Symbole zu verwenden.)
\quoteon
Den Beitrag von tactac versteh ich nicht.
\quoteoff
Dann ignoriere den Beitrag.
\quoteoff
Verstehe. Dann merke ich mir das einfach für Schaltnetze, dass mit dem '+' und mit '$\cdot$' was anderes gemeint ist.
Woran erkenne ich denn, das mit den Zahlenmengen was anderes gemeint ist?
Viele Grüße
Sinnfrei
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tactac
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-05-17
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
\quoteon(2023-05-17 02:16 - Sinnfrei in Beitrag No. 12)
Woran erkenne ich denn, das mit den Zahlenmengen was anderes gemeint ist?
\quoteoff
eigentlich nur aus dem weiteren Kontext, wie etwa der Erklärung der Notation. Oder, wenn z.B. behauptet wird, dass $x + (y\cdot z) = (x+y)\cdot (y+z)$ und $x+x=x$ immer gelten, dann stehen $+$ und $\cdot$ vermutlich für etwas ODER- bzw. UND-artiges.\(\endgroup\)
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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Ich habe heute in einem Video von Studyflix folgendes gesehen. Undzwar das man mit Hilfe der 7. Regel aus dem folgenden Video Boolsche Algebra
die 10. Gleichung ausklammern kann. Nur verstehe ich nicht wie dort ausgeklammert wurde.
7. Gleichung:
$$A\cdot A = A$$
Die 10. Gleichung ist
$$A + \overline{A}B = A + B$$
Wenn ich aber die 7. Gleichung in die 10. Gleichung einsetze. Komme ich auf folgendes:
$$A\cdot A + \overline{A}B$$
Aber ich kann ja nicht folgendes machen oder?
$$A(A+\overline{A})B$$
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