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 Pushout von topologischen Räumen |
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LukasNiessen
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 30.09.2019
Mitteilungen: 156
Wohnort: Deutschland
 |  Themenstart: 2023-05-18
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Sei folgendes Diagramm ein Pushout von topologischen Räumen:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/52036__.png
wobei \(i\) die Inklusion, \(n \geq 2\) und \(X\) wegweise zusammenhängend ist.
Beweise oder widerlege, dass \(Y\) wegweise zusammenhängend ist und \(f\) für jeden Grundpunkt \(x \in X\) einen Isomorphismus \(\pi_1(f, x): \pi_1(X, x) \rightarrow \pi_1(Y, f(x))\) induziert.
---
Leider kann ich kaum Ansätze vorweisen. Meine Intuition sagt mir, dass es stimmt, dass \(Y\) zusammenhängend ist, denn alle anderen top. Räume des Diagramms sind es, und mein intuitives Verständnis eines Pushouts ist, dass \(Y\) ein "Objekt" ist, welches gerade aus alle Informationen von den anderen 3 Objekten besteht, ohne, dass Informationen verloren gehen, oder neue hinzukommen. Wie bsplw. die Vereinigung bei Mengen. Also macht es Sinn, dass \(Y\) wegzusammenhängend ist. Aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll. Ich tue mir generell schwer Aufgaben mit Pushouts zu lösen.
Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank!\(\endgroup\)
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 Profil
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Mandelbluete
Senior 
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 582
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-19
|
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\newcommand{\fuer}{\quad\text{fuer}\quad}\)
Pushout von topologischen Räumen ist die Formalisierung des Vorgangs, bei dem man, wie man sagt, Räume miteinander "verklebt". Hier wird an $X$ eine Zelle $D^{n+1}$ "angeklebt", und zwar mit der Abbildung $u$. Die "Klebefläche" sozusagen ist die Schale $S^n \subseteq D^{n+1}$. Das Pushout $Y = X \sqcup_u D^{n+1}$ ist dann die disjunkte Vereinigung (das Koprodukt) $X \sqcup D^{n+1}$ modulo der von $x \sim u(x)$ ($x \in S^n$) induzierten Äquivalenzrelation; diese Punkte werden also miteinander identifiziert, und daraus sollte folgen, daß, weil $X$ und $D^{n+1}$ wegzusammenhängend sind, $Y$ es auch ist.
Liebe Grüße
Mandelblüte\(\endgroup\)
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Profil
| | Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen. |
Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-05-27
|
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Hi,
ich würde erstmal empfehlen für $n =1,2$ sinnvolle Bilder zu zeichnen, um diesen Pushout („Anheften einer $n+1$-Zelle“) zu verstehen.
Für den Isomorphismus auf $\pi_1$ muss man ein bisschen nachdenken, es funktioniert aber so ähnlich wie das Resultat zu den Abbildungskegeln in der Vorlesung.\(\endgroup\)
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2023-09-22 22:09 U ?
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