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 * Die Runden soll'n ins Eckige! |
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Wario
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 |  Beitrag No.80, eingetragen 2023-06-06
|
\quoteon(2023-06-05 18:53 - cramilu in Beitrag No. 79)
Klar doch!
\quoteoff
OK. Und (was in der Aufstellung noch fehlt) mit welchem Ansatz bestimmst Du jeweils die Wertebereiche $q$?
PS:
Da habe ich grad direkt im Hinterkopf: Man könnte evtl. eine gigantische Wertetabelle (mit pgfplotstable) erstellen, wo man dann zu $n$ wandert und alles nebst Phasen ablesen kann.
Typographisch etwa vergleichbar mit der Wertetabelle einer Binomialverteilung.
Muss man mal weiter drüber nachdenken (oder auch erstmal Werte haben...).
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haribo
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| Beitrag No.81, eingetragen 2023-06-06
|
anstelle einer gigantischen wertetabelle würde mir eher eine schablone ähnlich dieser vorschweben, die derzeit noch nur bis n=5 reicht
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_rundeckig-schablo-5.PNG
also alle eck-hüllkurven in eine skizze gezeichnet, sie überschneiden sich nie und enden immer an der 45° gerade, steigen stetig an usw (und fals wir uns vertun wird es eben teilstrecken geben die noch tiefer liegen)
der erste teil ist meist nen ellipsenabschnitt, aber schon der obere zipfel bei n=3 ist geometrisch im detail ziemlich komplex, auch wenn nur eine drehbewegung stattfindet
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Wario
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| Beitrag No.82, eingetragen 2023-06-06
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\quoteon(2023-06-06 12:07 - haribo in Beitrag No. 81)
anstelle einer gigantischen wertetabelle würde mir eher eine schablone ähnlich dieser vorschweben, die derzeit noch nur bis n=5 reicht
....
\quoteoff
Das ist ja nur so ein Zusatz.
Grundsätzlich könnte man dann aber ein Programm schreiben, das aus den Eingangsparametern (etwa n, x, y) den Rest automatisch erstellt.
Am Rande: Bei den Animationen müsste es auch möglich sein, die Bahnkurven zu plotten (mit pgfplots; das macht ja so eine Wertetabelle mit Koordinaten so günstig, weil man die beliebig weiterverarbeiten kann).
Konnte mich da allerdings noch nicht reindenken.
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Wario
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| Beitrag No.83, eingetragen 2023-06-08
|
\(\begingroup\)\(
\)
(1) Ist das hier
\quoteon(2023-05-29 05:16 - cramilu in Beitrag No. 40)
1) Mein rechnerisches Fazit für \(n=2,4,6\) :
$
f_{2^\phantom{b}}(q)\;=..
$
$
f_{4^\phantom{b}}(q)\;=...
$
$
f_{6^\phantom{b}}(q)\;=\;\left\{\begin{array}{5}\,\frac{1}{2} & \text{wenn}\quad0\,<\,q\,\leq\,\frac{1}{6}\quad{;} \\ \,\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\,25\,+\,\frac{1}{q}\,-\,5\cdot\sqrt{\,24\,+\,\frac{2}{q}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{1}{6}\,<\,q\,\leq\,\frac{2+\sqrt{3}}{7}\approx0{,}53315\quad{;} \\ \,\frac{1}{18}\,\cdot\,\left(\,1\,+\,\frac{3}{q}\,-\,\sqrt{\,\frac{6}{q}\,-\,8^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{2+\sqrt{3}}{7}\,<\,q\,\leq\,\frac{2}{3}\quad{;} \\ \,\frac{1}{26}\,\cdot\,\left(\,8\,+\,\frac{1}{q}\,-\,2\cdot\sqrt{\,3\,+\,\frac{4}{q}\,-\,\frac{3}{q^2}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{2}{3}\,<\,q\,\leq\,
\color{red}{\frac{\color{red}5}{\color{red}{2+2\sqrt{3}}}\approx0{,}915}\quad{;}
\\ \,\frac{1}{46}\,\cdot\,\left(\,-\,4\,-\,\frac{9}{q}\,+\,6\cdot\sqrt{\,3\,+\,\frac{2}{q}\,+\,\frac{8}{q^2}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{5}{2+2\sqrt{3}}\,<\,q\,\leq\,1\quad{.} \end{array}\right.
$
\quoteoff
ein Tippfehler oder soll das so sein?
Mir wurde ja noch nicht der Ansatz verraten wie man die Phasen-Intervalle bestimmt.
Wie muss ich das machen?
(2) Ansonsten ist das zwar eine schicke Ergebnissangabe, aber das
so weiter zu betreiben.... da fährt es uns ja kalt den Rücken runter.
Es sieht doch wie besprochen (vgl. #77, #78) so aus:
Für festes $n$ und ein bestimmtes $q
\in ]q_\min(P),~ q_\max(P)]
$ aus einer bestimmte Phase $P$ die Situation:
$l=2r +k_x x$ und $s=2r +k_y y$
mit bestimmten positiven ganzen Zahlen $k_x=k_x(P),~ k_y=k_y(P).$
Sowie die Beziehung $(2r)^2 =x^2 +y^2.$
Also
$\begin{array}{l l l}
(2r)^2
&=\dfrac{(l-2r)^2}{k_x^2} +\dfrac{(s-2r)^2}{k_y^2} \\[1em]
&=\dfrac{(ps-2r)^2}{k_x^2} +\dfrac{(s-2r)^2}{k_y^2}
&\Big|~ l=ps,~ p=\frac1q,~ 0\(\endgroup\)
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cramilu
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 | Beitrag No.84, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
|
Guten Abend Wario, nein das ist kein Tippfehler. 😉
Am Ende vieler morphologischer Phasen ergibt sich
eine Ausprägung von dichtester Kreispackung, bei
welcher die Mittelpunkte dreier benachbarter Kreise
ein gleichseitiges Dreieck oder die Mittelpunkte von
vieren ein Quadrat bilden. So auch am Ende der von
Dir rot markierten Phase. Da sitzen ganz links als
vertikales Pärchen zwei Kreise genau übereinander,
rechts davon ein solches Pärchen genau auf Zwickel-
lücke nach oben verschoben und ganz rechts wieder
eines auf gleicher Höhe wie das ganz links.
Was danach passiert, hatte ich in #38 skizziert.
Und in Fällen wie dem nämlichen bestimmen sich
dann die horizontale Breite und die vertikale Höhe
des Rahmenrechteckes nach einfacher Trigonometrie
mit Versatzwinkeln von \(60°\); hier die Breite aus zwei
Radien außen plus zwei Radienlängen mal \(\sqrt{\,3^\phantom{b}}\) sowie
die Höhe aus zwei Radien unten/oben plus drei Radien-
längen dazwischen.
Zur Illustration dessen, was querin in #19 allgemein
betrachtet hat, noch einmal die simple Akkordeon-
Faltung mit Beschriftung des x-y-Gestrüpps:
Und für viele andere Phasen kann man entsprechende
x-y-Gitter zwischen den Kreismittelpunkten finden \(-\)
auch und besonders regelmäßig bei besonders dichten
Packungen.
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Wario
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| Beitrag No.85, eingetragen 2023-06-08
|
\(\begingroup\)\(
\)
\quoteon(2023-06-08 20:17 - cramilu in Beitrag No. 84)
... nein das ist kein Tippfehler. 😉
\quoteoff
Ok.
Wie ist denn nun der Ansatz, um die Phasengrenzen $
]q_\min(P),~ q_\max(P)]$ zu ermitteln?
Betrachtat man da in einer Phase $P$ einfach das pythagoräische Dreieck $(x,y,2r)$ und sagt nun, dass für den Winkel $\alpha$ gegenüber $y$ der Bereich $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ gelten muss. Was wiederum $0<\sin(\alpha(f))<1$ bedeutet?
Ist das so? Reicht das so?
Falls ich mich hier nicht vertue müsste man doch dann auch die quadratische Ungleichung in allgemeiner Form lösen können.
Dann folgte ja wirklich alles weitere aus $k_x$ und $k_y$ (Bezeichnungen aus #83, vorangehend #77, 78).
Oder habe ich hier irgendeinen Denkfehler?
\(\endgroup\)
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cramilu
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| Beitrag No.86, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
|
Ja, im Prinzip schon. Mit dem allgemeinen x-y-Ansatz
kommt man halt rein nach Pythagoras um Rechnung
mit Winkelfunktionen herum. Aber leider nicht immer,
wie zum Beispiel in der zweiten Phase für \(n=3\) .
Da grübele ich noch über einem entsprechend geeigne-
ten Pythagoras-Ansatz. 🤔
Aber zunächst mag ich die Wertetabelle für \(n=6\)
fertigstellen. 😉
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Wario
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| Beitrag No.87, eingetragen 2023-06-08
|
\(\begingroup\)\(
\)
\quoteon(2023-06-08 22:08 - cramilu in Beitrag No. 86)
Aber zunächst mag ich die Wertetabelle für \(n=6\)
\quoteoff
Ja, kannst Du machen. Und ich kann dann auch eine Animation dazu erstellen; das hätte ich auch so schon längst können, aber m.E. viel besser:
Wenn es immer nur um die positiven ganzen Zahlen $k_x$ und $k_y$ geht (Bezeichnungen aus #83, vorangehend #77, #78); dann reicht mir im Prinzip eine Tabelle
$$n,~ P,~ k_x,~ k_y$$
und alles Weitere folgt dann aus allgemeinen Formeln.
(OK, über die Koordinaten der Mittelpunkte muss ich nochmal nachdenken; aber auch dazu muss dann m.E. nichts Weiteres tabelliert werden).
\(\endgroup\)
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Wario
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| Beitrag No.88, eingetragen 2023-06-12
|
\(\begingroup\)\(
\)
\quoteon(2023-06-08 22:08 - cramilu in Beitrag No. 86)
Ja, im Prinzip schon. Mit dem allgemeinen x-y-Ansatz
kommt man halt rein nach Pythagoras um Rechnung
mit Winkelfunktionen herum. Aber leider nicht immer,
wie zum Beispiel in der zweiten Phase für \(n=3\) .
Da grübele ich noch über einem entsprechend geeigne-
ten Pythagoras-Ansatz. 🤔
Aber zunächst mag ich die Wertetabelle für \(n=6\)
fertigstellen. 😉
\quoteoff
Kannst Du mir mal Deine Ansätze aufschreiben für die Bestimmung der
Intervallgrenzen q?
Ich möchte das nämlich allgemein machen.
Teilweise komme ich auf die Ergebnisse #40, teilweise nicht.
Ich brauche keine komplette Vorrechnung, eben nur die Ansätze. Es sind dort m.E. mehrere Ungleichungen zu berücksichtigen. Mmmhh.
Von mir aus nur für den Fall n=4. Das sollte erstmal reichen.
\(\endgroup\)
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haribo
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| Beitrag No.89, eingetragen 2023-06-12
|
wario, wir verstehen deine frage nach den grenzen nicht, immer wenn die kreise genau auf lücke oder genau rechtwinklig zueinander liegen verändern sich die bewegungen, n=4 is in den beiträgen #20 ff dagestellt, n=5 noch weiter vorne
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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.90, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-12
|
@Wario: Aber gerne doch! 😉
@querin: Ich bitte auch Dich um ggf. rechnerische Kritik.
Zunächst hatten wir als Grundherausforderung erkannt,
jeweils morphologische Phasen 'dingfest' zu machen,
sodass darin eine phasenweise auch funktional optimale
Entwicklung zu erkennen sei:
\(n=2\) in #4
\(n=3\) in #9 & #30 ; Abschlussphase 3 mit Dreier-Drehung
\(n=4\) in #30
\(n=5\) in #30 ; Phase 3 (wiederum) mit Dreier-Drehung
\(n=6\) in #36
\(n=7\) ... noch teilweise unklar, v.a. wieder Phase 3 🙄
\(n=8\) ab #49...#69 diskutiert ; Abschlussphase 7 noch unklar
An Phasengrenzen liegen dann häufig Formen dichtester
\(60°\)- oder \(90°\)-Packungen vor:
Dort zeichne man sämtliche Verbindungslinien zwischen Mittel-
punkten einander nächstbenachbarter Kreise ein und überlege,
was unmittelbar zuvor und danach passiert. So ergibt sich dann
das bereits referenzierte x-y-Gestrüpp \(-\) eine schlichte Erweite-
rung des Gitters aus Mittelpunktverbindern um sich ggf. wieder-
holende und damit vervielfachende horizontale x- und vertikale
y-Abstände (siehe exemplarisch #38 und #84).
Phase 1: lineares Zusammenschieben
Phase 2: 'einstöckige Akkordeon-Stauchung'
(Verallgemeinerung siehe #19, #34 und #84)
Phase 3: für gerade n 'einfacher linksdrehender Etagenversatz'
Phase 4: für gerade n 'vertikal symmetrische doppelte
Akkordeon-Stauchung'
Für \(n=4\) liegt am Ende von Phase 2 eine Struktur vor wie in
der Grafik oben links. Während Phase 3 'wandern' die beiden
oberen Kreise als horizontales Pärchen gegen den Uhrzeiger-
sinn berührend um das untere Pärchen herum. Die Verbinder
ihrer Mittelpunkte (Länge \(2r\)) bilden eine Raute. Deren vertikale
Höhe liefert das y. Und der horizontale Restversatz des Kreises
oben rechts gegenüber dem unten rechts liefert das x. Übrige
Längendifferenzen zu den Rahmenseiten sind Vielfache von \(r\).
\(\Rightarrow\quad s=2r+y\quad\land\quad\frac{s}{q}=ps=4r+x\)
\(\Leftrightarrow\quad x=ps-4r\quad\land\quad y=s-2r\)
\(\Rightarrow\quad 4r^2=x^2+y^2=p^2s^2-8psr+16r^2+s^2-4sr+4r^2\)
\(\Leftrightarrow\quad 16r^2+r(-4s-8ps)+(s^2+p^2s^2)=0\quad\vert\,\div32\)
\(\Leftrightarrow\quad\frac{1}{2}r^2+r(-\frac{1}{8}s-\frac{1}{4}ps)+(\frac{1}{32}s^2+\frac{1}{32}p^2s^2)=0\)
Ich normiere den quadratischen Koeffizienten gerne zu Einhalb,
damit ich mich bei der quadratischen Lösungsformel nicht mehr
um den Hauptnenner kümmern muss. 😎
Wenn man sich dann beim Auflösen nicht mit korrekter Bruch-
rechnung vertut \(-\) was auch mir leider häufig passiert, dann
bleibt bloß noch die Frage, welches Vorzeichen vor dem Wurzel-
term das zielführende ist. Und genau dann erweisen sich Vorab-
überlegungen zu den dichtesten Packungen an den Phasengren-
zen als dienstbar; eines derer Seitenverhältnisse nimmt man
als Kontrollwert für \(p\) \(-\) etwa für Phase 2 stets das vorherige
\(p=n\) bzw. \(q=\frac{1}{n}\) !
Na, und für Phasengrenzkonstellationen wie oben in der Grafik
erhält man als Verbindungsgitter zwischen den Kreismittelpunk-
ten entweder eines aus Quadraten oder aus gleichseitigen Drei-
ecken, was die Bestimmung der dortigen Seitenverhältnisse
doch sehr beherrschbar macht. 😉
Ich habe es extra ausführlich dargestellt, damit ggf. neu hinzu
kommende Interessenten auch gleich die Scheu verlieren.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.88 begonnen.]
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haribo
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Mitteilungen: 4496
| Beitrag No.91, eingetragen 2023-06-12
|
das war sozusagen inhaltlich zeitgleich doppelt gemoppelt
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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
| Beitrag No.92, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-12
|
Zur 'Dreier-Drehung' hatte querin in #9 bereits gepostet.
Mich führt sie allgemein für folgende Figur betrachtet...
... auf drei Pythagoras-Gleichungen für \(4r^2\) .
Wohlgemerkt: Winkelfunktionen seien nicht erlaubt!
Wer mag da mit- bzw. gegenrechnen?
Dass für \(r\) sperrigere Terme entstehen als bei x-y-Gestrüpp,
ist klar. Aber wie formt man noch am elegantesten um, damit
sich eine nicht allzu verschachtelte Wurzelabhängigkeit etc.
für \(r\) ergibt? 🤔
EDIT: Im Einzelnen...
\([1]\quad4r^2=x^2+(1-2r)^2=x^2+1-4r+4r^2\quad\Leftrightarrow\quad x^2=4r-1\)
\([2]\quad4r^2=y^2+(p-2r)^2=y^2+p^2-4pr+4r^2\quad\Leftrightarrow\quad y^2=4pr-p^2\)
\([3]\quad4r^2=(p-2r-x)^2+(1-2r-y)^2=...\)
\([3]\) ausmultiplizieren, \(x^2\) bzw. \(x\) aus \([1]\) und \(y^2\) bzw. \(y\) aus \([2]\)
einsetzen, weiter ausmultiplizieren, herauskürzen, umformen... 🙄
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Wario
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| Beitrag No.93, eingetragen 2023-06-13
|
\(\begingroup\)\(
\)
Ich lese es mir nochmal in Ruhe durch.
Irgendwie vermisse ich eine bzw. mehrere Ungleichungen, die zu diesen Grenzen führen:
\quoteon(2023-05-29 05:16 - cramilu in Beitrag No. 40)
Mein rechnerisches Fazit für \(n=2,4,6\) :
$
f_{2^\phantom{b}}(q)\;=...
$
$
f_{4^\phantom{b}}(q)\;=\;\left\{\begin{array}{3}\,\frac{1}{2} & \text{wenn} \quad \color{red}{0\,<\,q\,\leq\,\frac{1}{4}\quad{;} } \\
\,\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\,9\,+\,\frac{1}{q}\,-\,3\cdot\sqrt{\,8\,+\,\frac{2}{q}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\color{red}{\frac{1}{4}\,<\,q\,\leq\,\frac{2+\sqrt{3}}{5}\approx0{,}74641\quad{;} }\\
\,\frac{1}{8}\,\cdot\,\left(\,1\,+\,\frac{2}{q}\,-\,\sqrt{\,\frac{4}{q}\,-\,3^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad
\color{red}{\frac{2+\sqrt{3}}{5}\,<\,q\,\leq\,1}\quad{.} \end{array}\right.
$
....
....
\quoteoff
Machst Du das nicht über Ungleichungen?\(\endgroup\)
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cramilu
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| Beitrag No.94, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-13
|
Guten Morgen! 😉
Wozu denn Ungleichungen?
Am Ende von Phase 1 liegen vier Kreise auf Kontakt
horizontal nebeneinander. Seitenverhältnis \(q=\frac{1}{4}\) .
Am Ende von Phase 2 liegen zwei Kreise 'unten' auf
Kontakt nebeneinander und darüber um Zwickellücke
nach rechts versetzt das horizontale Pärchen aus den
beiden oberen. Ihre Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges
Gitter aus gleichseitigen Dreiecken. Also horizontaler
Versatz \(\Delta x\) der oberen \(2r\cdot\text{cos}(60°)=\frac{1}{2}\cdot2r=r\) , und
vertikaler Versatz \(\Delta y\) \(2r\cdot\text{sin}(60°)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2r=r\sqrt{3}\) .
Demnach Seitenverhältnis \(q=\frac{2r+r\sqrt{3}}{4r+r}=\frac{2+\sqrt{3}}{5}\) .
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gonz
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 | Beitrag No.95, eingetragen 2023-06-13
|
\quoteon(2023-06-12 23:29 - cramilu in Beitrag No. 92)
Aber wie formt man noch am elegantesten um, damit
sich eine nicht allzu verschachtelte Wurzelabhängigkeit etc.
für \(r\) ergibt? 🤔
\quoteoff
Ich habe mich mal daran versucht, aber mich natürlich verwuselt. Vielleicht muss statt des YAS (Yeties versuchen sich in Algebra ) doch ein CAS ran...
Aber auflösbar sollte es sein.
Ich fühle mich dabei an die entspannte Geschichte mit den Grundstücken am See auf dem Olymp erinnert... da gab es auch überraschend kompakte Lösungen :)
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cramilu
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| Beitrag No.96, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-13
|
@Wario:
Eine Wertetabelle für \(n=6\) ...
ASCII: \showon
\sourceon ASCII
# q r [f] phi1[°] R1 phi2[°] R2 phi3[°] R3 phi4[°] R4 phi5[°] R5 phi6[°] R6
--- ------ ------ ------- ------ ------ ------- ------ ------- ------ ------- ------ ------- ------ -------
0 0,0000 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2000 0,0000 2000 0,0000 2000 0,0000 2000 0,0000 2000
1 0,0050 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 39,8000 0,0000 39,8000 0,0000 39,8000 0,0000 39,8000 0,0000 39,8000
2 0,0100 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 19,8000 0,0000 19,8000 0,0000 19,8000 0,0000 19,8000 0,0000 19,8000
3 0,0150 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 13,1333 0,0000 13,1333 0,0000 13,1333 0,0000 13,1333 0,0000 13,1333
4 0,0200 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 9,8000 0,0000 9,8000 0,0000 9,8000 0,0000 9,8000 0,0000 9,8000
5 0,0250 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 7,8000 0,0000 7,8000 0,0000 7,8000 0,0000 7,8000 0,0000 7,8000
6 0,0300 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 6,4667 0,0000 6,4667 0,0000 6,4667 0,0000 6,4667 0,0000 6,4667
7 0,0350 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 5,5143 0,0000 5,5143 0,0000 5,5143 0,0000 5,5143 0,0000 5,5143
8 0,0400 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 4,8000 0,0000 4,8000 0,0000 4,8000 0,0000 4,8000 0,0000 4,8000
9 0,0450 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 4,2444 0,0000 4,2444 0,0000 4,2444 0,0000 4,2444 0,0000 4,2444
10 0,0500 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 3,8000 0,0000 3,8000 0,0000 3,8000 0,0000 3,8000 0,0000 3,8000
11 0,0550 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 3,4364 0,0000 3,4364 0,0000 3,4364 0,0000 3,4364 0,0000 3,4364
12 0,0600 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 3,1333 0,0000 3,1333 0,0000 3,1333 0,0000 3,1333 0,0000 3,1333
13 0,0650 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,8769 0,0000 2,8769 0,0000 2,8769 0,0000 2,8769 0,0000 2,8769
14 0,0700 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,6571 0,0000 2,6571 0,0000 2,6571 0,0000 2,6571 0,0000 2,6571
15 0,0750 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,4667 0,0000 2,4667 0,0000 2,4667 0,0000 2,4667 0,0000 2,4667
16 0,0800 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,3000 0,0000 2,3000 0,0000 2,3000 0,0000 2,3000 0,0000 2,3000
17 0,0850 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,1529 0,0000 2,1529 0,0000 2,1529 0,0000 2,1529 0,0000 2,1529
18 0,0900 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,0222 0,0000 2,0222 0,0000 2,0222 0,0000 2,0222 0,0000 2,0222
19 0,0950 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,9053 0,0000 1,9053 0,0000 1,9053 0,0000 1,9053 0,0000 1,9053
20 0,1000 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,8000 0,0000 1,8000 0,0000 1,8000 0,0000 1,8000 0,0000 1,8000
21 0,1050 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,7048 0,0000 1,7048 0,0000 1,7048 0,0000 1,7048 0,0000 1,7048
22 0,1100 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,6182 0,0000 1,6182 0,0000 1,6182 0,0000 1,6182 0,0000 1,6182
23 0,1150 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,5391 0,0000 1,5391 0,0000 1,5391 0,0000 1,5391 0,0000 1,5391
24 0,1200 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,4667 0,0000 1,4667 0,0000 1,4667 0,0000 1,4667 0,0000 1,4667
25 0,1250 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,4000 0,0000 1,4000 0,0000 1,4000 0,0000 1,4000 0,0000 1,4000
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32 0,1600 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,0500 0,0000 1,0500 0,0000 1,0500 0,0000 1,0500 0,0000 1,0500
33 0,1650 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,0121 0,0000 1,0121 0,0000 1,0121 0,0000 1,0121 0,0000 1,0121
0,1667 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000
0,1667 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000 0,0000 1,0000
34 0,1700 0,4903 45,0000 0,6934 1,1364 0,9806 -1,1364 0,9806 1,1364 0,9806 -1,1364 0,9806 1,1364 0,9806
35 0,1750 0,4767 45,0000 0,6741 2,8058 0,9533 -2,8058 0,9533 2,8058 0,9533 -2,8058 0,9533 2,8058 0,9533
36 0,1800 0,4641 45,0000 0,6564 4,4338 0,9282 -4,4338 0,9282 4,4338 0,9282 -4,4338 0,9282 4,4338 0,9282
37 0,1850 0,4525 45,0000 0,6400 6,0212 0,9051 -6,0212 0,9051 6,0212 0,9051 -6,0212 0,9051 6,0212 0,9051
38 0,1900 0,4418 45,0000 0,6248 7,5691 0,8836 -7,5691 0,8836 7,5691 0,8836 -7,5691 0,8836 7,5691 0,8836
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42 0,2100 0,4060 45,0000 0,5742 13,3843 0,8120 -13,3843 0,8120 13,3843 0,8120 -13,3843 0,8120 13,3843 0,8120
43 0,2150 0,3985 45,0000 0,5636 14,7487 0,7971 -14,7487 0,7971 14,7487 0,7971 -14,7487 0,7971 14,7487 0,7971
44 0,2200 0,3916 45,0000 0,5537 16,0793 0,7831 -16,0793 0,7831 16,0793 0,7831 -16,0793 0,7831 16,0793 0,7831
45 0,2250 0,3850 45,0000 0,5445 17,3769 0,7700 -17,3769 0,7700 17,3769 0,7700 -17,3769 0,7700 17,3769 0,7700
46 0,2300 0,3789 45,0000 0,5358 18,6425 0,7578 -18,6425 0,7578 18,6425 0,7578 -18,6425 0,7578 18,6425 0,7578
47 0,2350 0,3731 45,0000 0,5277 19,8769 0,7463 -19,8769 0,7463 19,8769 0,7463 -19,8769 0,7463 19,8769 0,7463
48 0,2400 0,3677 45,0000 0,5201 21,0810 0,7355 -21,0810 0,7355 21,0810 0,7355 -21,0810 0,7355 21,0810 0,7355
49 0,2450 0,3626 45,0000 0,5129 22,2557 0,7253 -22,2557 0,7253 22,2557 0,7253 -22,2557 0,7253 22,2557 0,7253
50 0,2500 0,3579 45,0000 0,5061 23,4018 0,7157 -23,4018 0,7157 23,4018 0,7157 -23,4018 0,7157 23,4018 0,7157
51 0,2550 0,3534 45,0000 0,4997 24,5202 0,7067 -24,5202 0,7067 24,5202 0,7067 -24,5202 0,7067 24,5202 0,7067
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53 0,2650 0,3451 45,0000 0,4880 26,6768 0,6902 -26,6768 0,6902 26,6768 0,6902 -26,6768 0,6902 26,6768 0,6902
54 0,2700 0,3413 45,0000 0,4826 27,7166 0,6825 -27,7166 0,6825 27,7166 0,6825 -27,7166 0,6825 27,7166 0,6825
55 0,2750 0,3377 45,0000 0,4775 28,7318 0,6754 -28,7318 0,6754 28,7318 0,6754 -28,7318 0,6754 28,7318 0,6754
56 0,2800 0,3343 45,0000 0,4727 29,7229 0,6685 -29,7229 0,6685 29,7229 0,6685 -29,7229 0,6685 29,7229 0,6685
57 0,2850 0,3310 45,0000 0,4682 30,6909 0,6621 -30,6909 0,6621 30,6909 0,6621 -30,6909 0,6621 30,6909 0,6621
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61 0,3050 0,3197 45,0000 0,4521 34,3433 0,6393 -34,3433 0,6393 34,3433 0,6393 -34,3433 0,6393 34,3433 0,6393
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63 0,3150 0,3148 45,0000 0,4452 36,0468 0,6295 -36,0468 0,6295 36,0468 0,6295 -36,0468 0,6295 36,0468 0,6295
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65 0,3250 0,3103 45,0000 0,4389 37,6747 0,6207 -37,6747 0,6207 37,6747 0,6207 -37,6747 0,6207 37,6747 0,6207
66 0,3300 0,3083 45,0000 0,4359 38,4617 0,6165 -38,4617 0,6165 38,4617 0,6165 -38,4617 0,6165 38,4617 0,6165
67 0,3350 0,3063 45,0000 0,4332 39,2313 0,6126 -39,2313 0,6126 39,2313 0,6126 -39,2313 0,6126 39,2313 0,6126
68 0,3400 0,3044 45,0000 0,4305 39,9842 0,6088 -39,9842 0,6088 39,9842 0,6088 -39,9842 0,6088 39,9842 0,6088
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71 0,3550 0,2992 45,0000 0,4232 42,1469 0,5984 -42,1469 0,5984 42,1469 0,5984 -42,1469 0,5984 42,1469 0,5984
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73 0,3650 0,2961 45,0000 0,4188 43,5131 0,5922 -43,5131 0,5922 43,5131 0,5922 -43,5131 0,5922 43,5131 0,5922
74 0,3700 0,2947 45,0000 0,4167 44,1749 0,5893 -44,1749 0,5893 44,1749 0,5893 -44,1749 0,5893 44,1749 0,5893
75 0,3750 0,2933 45,0000 0,4147 44,8229 0,5865 -44,8229 0,5865 44,8229 0,5865 -44,8229 0,5865 44,8229 0,5865
76 0,3800 0,2919 45,0000 0,4129 45,4576 0,5839 -45,4576 0,5839 45,4576 0,5839 -45,4576 0,5839 45,4576 0,5839
77 0,3850 0,2906 45,0000 0,4110 46,0793 0,5813 -46,0793 0,5813 46,0793 0,5813 -46,0793 0,5813 46,0793 0,5813
78 0,3900 0,2894 45,0000 0,4093 46,6884 0,5788 -46,6884 0,5788 46,6884 0,5788 -46,6884 0,5788 46,6884 0,5788
79 0,3950 0,2882 45,0000 0,4076 47,2852 0,5765 -47,2852 0,5765 47,2852 0,5765 -47,2852 0,5765 47,2852 0,5765
80 0,4000 0,2871 45,0000 0,4060 47,8701 0,5742 -47,8701 0,5742 47,8701 0,5742 -47,8701 0,5742 47,8701 0,5742
81 0,4050 0,2860 45,0000 0,4045 48,4435 0,5720 -48,4435 0,5720 48,4435 0,5720 -48,4435 0,5720 48,4435 0,5720
82 0,4100 0,2849 45,0000 0,4030 49,0055 0,5699 -49,0055 0,5699 49,0055 0,5699 -49,0055 0,5699 49,0055 0,5699
83 0,4150 0,2839 45,0000 0,4015 49,5566 0,5678 -49,5566 0,5678 49,5566 0,5678 -49,5566 0,5678 49,5566 0,5678
84 0,4200 0,2829 45,0000 0,4001 50,0969 0,5659 -50,0969 0,5659 50,0969 0,5659 -50,0969 0,5659 50,0969 0,5659
85 0,4250 0,2820 45,0000 0,3988 50,6269 0,5640 -50,6269 0,5640 50,6269 0,5640 -50,6269 0,5640 50,6269 0,5640
86 0,4300 0,2811 45,0000 0,3975 51,1467 0,5622 -51,1467 0,5622 51,1467 0,5622 -51,1467 0,5622 51,1467 0,5622
87 0,4350 0,2802 45,0000 0,3963 51,6567 0,5604 -51,6567 0,5604 51,6567 0,5604 -51,6567 0,5604 51,6567 0,5604
88 0,4400 0,2794 45,0000 0,3951 52,1571 0,5588 -52,1571 0,5588 52,1571 0,5588 -52,1571 0,5588 52,1571 0,5588
89 0,4450 0,2786 45,0000 0,3939 52,6482 0,5571 -52,6482 0,5571 52,6482 0,5571 -52,6482 0,5571 52,6482 0,5571
90 0,4500 0,2778 45,0000 0,3928 53,1301 0,5556 -53,1301 0,5556 53,1301 0,5556 -53,1301 0,5556 53,1301 0,5556
91 0,4550 0,2770 45,0000 0,3918 53,6032 0,5540 -53,6032 0,5540 53,6032 0,5540 -53,6032 0,5540 53,6032 0,5540
92 0,4600 0,2763 45,0000 0,3907 54,0676 0,5526 -54,0676 0,5526 54,0676 0,5526 -54,0676 0,5526 54,0676 0,5526
93 0,4650 0,2756 45,0000 0,3897 54,5236 0,5512 -54,5236 0,5512 54,5236 0,5512 -54,5236 0,5512 54,5236 0,5512
94 0,4700 0,2749 45,0000 0,3888 54,9714 0,5498 -54,9714 0,5498 54,9714 0,5498 -54,9714 0,5498 54,9714 0,5498
95 0,4750 0,2742 45,0000 0,3878 55,4112 0,5485 -55,4112 0,5485 55,4112 0,5485 -55,4112 0,5485 55,4112 0,5485
96 0,4800 0,2736 45,0000 0,3869 55,8432 0,5472 -55,8432 0,5472 55,8432 0,5472 -55,8432 0,5472 55,8432 0,5472
97 0,4850 0,2730 45,0000 0,3861 56,2676 0,5460 -56,2676 0,5460 56,2676 0,5460 -56,2676 0,5460 56,2676 0,5460
98 0,4900 0,2724 45,0000 0,3852 56,6845 0,5448 -56,6845 0,5448 56,6845 0,5448 -56,6845 0,5448 56,6845 0,5448
99 0,4950 0,2718 45,0000 0,3844 57,0942 0,5436 -57,0942 0,5436 57,0942 0,5436 -57,0942 0,5436 57,0942 0,5436
100 0,5000 0,2712 45,0000 0,3836 57,4969 0,5425 -57,4969 0,5425 57,4969 0,5425 -57,4969 0,5425 57,4969 0,5425
101 0,5050 0,2707 45,0000 0,3828 57,8927 0,5414 -57,8927 0,5414 57,8927 0,5414 -57,8927 0,5414 57,8927 0,5414
102 0,5100 0,2702 45,0000 0,3821 58,2818 0,5404 -58,2818 0,5404 58,2818 0,5404 -58,2818 0,5404 58,2818 0,5404
103 0,5150 0,2697 45,0000 0,3814 58,6642 0,5393 -58,6642 0,5393 58,6642 0,5393 -58,6642 0,5393 58,6642 0,5393
104 0,5200 0,2692 45,0000 0,3807 59,0403 0,5383 -59,0403 0,5383 59,0403 0,5383 -59,0403 0,5383 59,0403 0,5383
105 0,5250 0,2687 45,0000 0,3800 59,4102 0,5374 -59,4102 0,5374 59,4102 0,5374 -59,4102 0,5374 59,4102 0,5374
106 0,5300 0,2682 45,0000 0,3793 59,7739 0,5365 -59,7739 0,5365 59,7739 0,5365 -59,7739 0,5365 59,7739 0,5365
0,5332 0,2679 45,0000 0,3789 60,0000 0,5359 -60,0000 0,5359 60,0000 0,5359 -60,0000 0,5359 60,0000 0,5359
0,5332 0,2679 45,0000 0,3789 60,0000 0,5359 -60,0000 0,5359 60,0000 0,5359 -60,0000 0,5359 60,0000 0,5359
107 0,5350 0,2675 45,0000 0,3783 60,3859 0,5349 -59,8070 0,5381 60,3859 0,5349 -59,8070 0,5381 60,3859 0,5349
108 0,5400 0,2662 45,0000 0,3765 61,4307 0,5324 -59,2846 0,5439 61,4307 0,5324 -59,2846 0,5439 61,4307 0,5324
109 0,5450 0,2650 45,0000 0,3748 62,4783 0,5300 -58,7608 0,5497 62,4783 0,5300 -58,7608 0,5497 62,4783 0,5300
110 0,5500 0,2638 45,0000 0,3731 63,5290 0,5277 -58,2355 0,5556 63,5290 0,5277 -58,2355 0,5556 63,5290 0,5277
111 0,5550 0,2627 45,0000 0,3715 64,5830 0,5254 -57,7085 0,5614 64,5830 0,5254 -57,7085 0,5614 64,5830 0,5254
112 0,5600 0,2616 45,0000 0,3700 65,6407 0,5233 -57,1797 0,5673 65,6407 0,5233 -57,1797 0,5673 65,6407 0,5233
113 0,5650 0,2606 45,0000 0,3686 66,7023 0,5213 -56,6488 0,5731 66,7023 0,5213 -56,6488 0,5731 66,7023 0,5213
114 0,5700 0,2597 45,0000 0,3672 67,7683 0,5193 -56,1159 0,5790 67,7683 0,5193 -56,1159 0,5790 67,7683 0,5193
115 0,5750 0,2587 45,0000 0,3659 68,8390 0,5174 -55,5805 0,5850 68,8390 0,5174 -55,5805 0,5850 68,8390 0,5174
116 0,5800 0,2578 45,0000 0,3646 69,9147 0,5157 -55,0426 0,5909 69,9147 0,5157 -55,0426 0,5909 69,9147 0,5157
117 0,5850 0,2570 45,0000 0,3635 70,9960 0,5140 -54,5020 0,5969 70,9960 0,5140 -54,5020 0,5969 70,9960 0,5140
118 0,5900 0,2562 45,0000 0,3623 72,0833 0,5124 -53,9584 0,6030 72,0833 0,5124 -53,9584 0,6030 72,0833 0,5124
119 0,5950 0,2555 45,0000 0,3613 73,1769 0,5109 -53,4115 0,6091 73,1769 0,5109 -53,4115 0,6091 73,1769 0,5109
120 0,6000 0,2548 45,0000 0,3603 74,2776 0,5095 -52,8612 0,6153 74,2776 0,5095 -52,8612 0,6153 74,2776 0,5095
121 0,6050 0,2541 45,0000 0,3594 75,3858 0,5082 -52,3071 0,6215 75,3858 0,5082 -52,3071 0,6215 75,3858 0,5082
122 0,6100 0,2535 45,0000 0,3585 76,5022 0,5070 -51,7489 0,6278 76,5022 0,5070 -51,7489 0,6278 76,5022 0,5070
123 0,6150 0,2529 45,0000 0,3577 77,6274 0,5059 -51,1863 0,6342 77,6274 0,5059 -51,1863 0,6342 77,6274 0,5059
124 0,6200 0,2524 45,0000 0,3570 78,7622 0,5048 -50,6189 0,6406 78,7622 0,5048 -50,6189 0,6406 78,7622 0,5048
125 0,6250 0,2519 45,0000 0,3563 79,9073 0,5039 -50,0463 0,6472 79,9073 0,5039 -50,0463 0,6472 79,9073 0,5039
126 0,6300 0,2515 45,0000 0,3557 81,0637 0,5031 -49,4681 0,6538 81,0637 0,5031 -49,4681 0,6538 81,0637 0,5031
127 0,6350 0,2512 45,0000 0,3552 82,2323 0,5023 -48,8838 0,6606 82,2323 0,5023 -48,8838 0,6606 82,2323 0,5023
128 0,6400 0,2508 45,0000 0,3547 83,4143 0,5017 -48,2929 0,6675 83,4143 0,5017 -48,2929 0,6675 83,4143 0,5017
129 0,6450 0,2506 45,0000 0,3543 84,6107 0,5011 -47,6946 0,6746 84,6107 0,5011 -47,6946 0,6746 84,6107 0,5011
130 0,6500 0,2503 45,0000 0,3540 85,8231 0,5007 -47,0885 0,6818 85,8231 0,5007 -47,0885 0,6818 85,8231 0,5007
131 0,6550 0,2502 45,0000 0,3538 87,0528 0,5003 -46,4736 0,6891 87,0528 0,5003 -46,4736 0,6891 87,0528 0,5003
132 0,6600 0,2501 45,0000 0,3536 88,3017 0,5001 -45,8492 0,6967 88,3017 0,5001 -45,8492 0,6967 88,3017 0,5001
133 0,6650 0,2500 45,0000 0,3536 89,5716 0,5000 -45,2142 0,7045 89,5716 0,5000 -45,2142 0,7045 89,5716 0,5000
0,6667 0,2500 45,0000 0,3536 90,0000 0,5000 -45,0000 0,7071 90,0000 0,5000 -45,0000 0,7071 90,0000 0,5000
0,6667 0,2500 45,0000 0,3536 90,0000 0,5000 -45,0000 0,7071 90,0000 0,5000 -45,0000 0,7071 90,0000 0,5000
134 0,6700 0,2488 45,0000 0,3518 90,0000 0,4975 -44,7154 0,7001 90,0000 0,4975 -44,7154 0,7071 90,0000 0,4975
135 0,6750 0,2470 45,0000 0,3493 90,0000 0,4939 -44,2954 0,6899 90,0000 0,4939 -44,2954 0,7071 90,0000 0,4939
136 0,6800 0,2452 45,0000 0,3468 90,0000 0,4904 -43,8834 0,6799 90,0000 0,4904 -43,8834 0,7070 90,0000 0,4904
137 0,6850 0,2435 45,0000 0,3444 90,0000 0,4871 -43,4790 0,6703 90,0000 0,4871 -43,4790 0,7069 90,0000 0,4871
138 0,6900 0,2419 45,0000 0,3421 90,0000 0,4838 -43,0818 0,6609 90,0000 0,4838 -43,0818 0,7067 90,0000 0,4838
139 0,6950 0,2403 45,0000 0,3399 90,0000 0,4807 -42,6916 0,6518 90,0000 0,4807 -42,6916 0,7066 90,0000 0,4807
140 0,7000 0,2388 45,0000 0,3377 90,0000 0,4776 -42,3082 0,6430 90,0000 0,4776 -42,3082 0,7064 90,0000 0,4776
141 0,7050 0,2373 45,0000 0,3356 90,0000 0,4746 -41,9312 0,6343 90,0000 0,4746 -41,9312 0,7062 90,0000 0,4746
142 0,7100 0,2359 45,0000 0,3336 90,0000 0,4717 -41,5604 0,6259 90,0000 0,4717 -41,5604 0,7060 90,0000 0,4717
143 0,7150 0,2345 45,0000 0,3316 90,0000 0,4690 -41,1956 0,6177 90,0000 0,4690 -41,1956 0,7057 90,0000 0,4690
144 0,7200 0,2331 45,0000 0,3297 90,0000 0,4662 -40,8366 0,6098 90,0000 0,4662 -40,8366 0,7055 90,0000 0,4662
145 0,7250 0,2318 45,0000 0,3278 90,0000 0,4636 -40,4832 0,6020 90,0000 0,4636 -40,4832 0,7052 90,0000 0,4636
146 0,7300 0,2305 45,0000 0,3260 90,0000 0,4610 -40,1352 0,5944 90,0000 0,4610 -40,1352 0,7050 90,0000 0,4610
147 0,7350 0,2293 45,0000 0,3242 90,0000 0,4586 -39,7924 0,5870 90,0000 0,4586 -39,7924 0,7047 90,0000 0,4586
148 0,7400 0,2281 45,0000 0,3225 90,0000 0,4561 -39,4547 0,5797 90,0000 0,4561 -39,4547 0,7044 90,0000 0,4561
149 0,7450 0,2269 45,0000 0,3209 90,0000 0,4538 -39,1220 0,5726 90,0000 0,4538 -39,1220 0,7041 90,0000 0,4538
150 0,7500 0,2257 45,0000 0,3192 90,0000 0,4515 -38,7940 0,5657 90,0000 0,4515 -38,7940 0,7038 90,0000 0,4515
151 0,7550 0,2246 45,0000 0,3177 90,0000 0,4492 -38,4706 0,5590 90,0000 0,4492 -38,4706 0,7035 90,0000 0,4492
152 0,7600 0,2235 45,0000 0,3161 90,0000 0,4471 -38,1518 0,5524 90,0000 0,4471 -38,1518 0,7031 90,0000 0,4471
153 0,7650 0,2225 45,0000 0,3146 90,0000 0,4450 -37,8373 0,5459 90,0000 0,4450 -37,8373 0,7028 90,0000 0,4450
154 0,7700 0,2214 45,0000 0,3132 90,0000 0,4429 -37,5272 0,5396 90,0000 0,4429 -37,5272 0,7025 90,0000 0,4429
155 0,7750 0,2204 45,0000 0,3117 90,0000 0,4409 -37,2211 0,5334 90,0000 0,4409 -37,2211 0,7021 90,0000 0,4409
156 0,7800 0,2195 45,0000 0,3104 90,0000 0,4389 -36,9192 0,5273 90,0000 0,4389 -36,9192 0,7018 90,0000 0,4389
157 0,7850 0,2185 45,0000 0,3090 90,0000 0,4370 -36,6211 0,5214 90,0000 0,4370 -36,6211 0,7015 90,0000 0,4370
158 0,7900 0,2176 45,0000 0,3077 90,0000 0,4351 -36,3269 0,5155 90,0000 0,4351 -36,3269 0,7011 90,0000 0,4351
159 0,7950 0,2167 45,0000 0,3064 90,0000 0,4333 -36,0365 0,5098 90,0000 0,4333 -36,0365 0,7008 90,0000 0,4333
160 0,8000 0,2158 45,0000 0,3051 90,0000 0,4315 -35,7497 0,5042 90,0000 0,4315 -35,7497 0,7004 90,0000 0,4315
161 0,8050 0,2149 45,0000 0,3039 90,0000 0,4298 -35,4666 0,4988 90,0000 0,4298 -35,4666 0,7001 90,0000 0,4298
162 0,8100 0,2141 45,0000 0,3027 90,0000 0,4281 -35,1869 0,4934 90,0000 0,4281 -35,1869 0,6998 90,0000 0,4281
163 0,8150 0,2132 45,0000 0,3015 90,0000 0,4264 -34,9106 0,4881 90,0000 0,4264 -34,9106 0,6994 90,0000 0,4264
164 0,8200 0,2124 45,0000 0,3004 90,0000 0,4248 -34,6376 0,4829 90,0000 0,4248 -34,6376 0,6991 90,0000 0,4248
165 0,8250 0,2116 45,0000 0,2993 90,0000 0,4233 -34,3680 0,4779 90,0000 0,4233 -34,3680 0,6987 90,0000 0,4233
166 0,8300 0,2109 45,0000 0,2982 90,0000 0,4217 -34,1015 0,4729 90,0000 0,4217 -34,1015 0,6984 90,0000 0,4217
167 0,8350 0,2101 45,0000 0,2971 90,0000 0,4202 -33,8382 0,4680 90,0000 0,4202 -33,8382 0,6980 90,0000 0,4202
168 0,8400 0,2094 45,0000 0,2961 90,0000 0,4187 -33,5779 0,4632 90,0000 0,4187 -33,5779 0,6977 90,0000 0,4187
169 0,8450 0,2086 45,0000 0,2951 90,0000 0,4173 -33,3206 0,4584 90,0000 0,4173 -33,3206 0,6974 90,0000 0,4173
170 0,8500 0,2079 45,0000 0,2941 90,0000 0,4159 -33,0663 0,4538 90,0000 0,4159 -33,0663 0,6970 90,0000 0,4159
171 0,8550 0,2072 45,0000 0,2931 90,0000 0,4145 -32,8148 0,4492 90,0000 0,4145 -32,8148 0,6967 90,0000 0,4145
172 0,8600 0,2066 45,0000 0,2921 90,0000 0,4131 -32,5662 0,4448 90,0000 0,4131 -32,5662 0,6964 90,0000 0,4131
173 0,8650 0,2059 45,0000 0,2912 90,0000 0,4118 -32,3203 0,4404 90,0000 0,4118 -32,3203 0,6960 90,0000 0,4118
174 0,8700 0,2053 45,0000 0,2903 90,0000 0,4105 -32,0771 0,4360 90,0000 0,4105 -32,0771 0,6957 90,0000 0,4105
175 0,8750 0,2046 45,0000 0,2894 90,0000 0,4093 -31,8366 0,4318 90,0000 0,4093 -31,8366 0,6954 90,0000 0,4093
176 0,8800 0,2040 45,0000 0,2885 90,0000 0,4080 -31,5988 0,4276 90,0000 0,4080 -31,5988 0,6950 90,0000 0,4080
177 0,8850 0,2034 45,0000 0,2876 90,0000 0,4068 -31,3634 0,4234 90,0000 0,4068 -31,3634 0,6947 90,0000 0,4068
178 0,8900 0,2028 45,0000 0,2868 90,0000 0,4056 -31,1306 0,4194 90,0000 0,4056 -31,1306 0,6944 90,0000 0,4056
179 0,8950 0,2022 45,0000 0,2860 90,0000 0,4044 -30,9003 0,4154 90,0000 0,4044 -30,9003 0,6941 90,0000 0,4044
180 0,9000 0,2017 45,0000 0,2852 90,0000 0,4033 -30,6724 0,4115 90,0000 0,4033 -30,6724 0,6938 90,0000 0,4033
181 0,9050 0,2011 45,0000 0,2844 90,0000 0,4022 -30,4469 0,4076 90,0000 0,4022 -30,4469 0,6934 90,0000 0,4022
182 0,9100 0,2005 45,0000 0,2836 90,0000 0,4011 -30,2237 0,4038 90,0000 0,4011 -30,2237 0,6931 90,0000 0,4011
183 0,9150 0,2000 45,0000 0,2829 90,0000 0,4000 -30,0028 0,4000 90,0000 0,4000 -30,0028 0,6928 90,0000 0,4000
0,9151 0,2000 45,0000 0,2828 90,0000 0,4000 -30,0000 0,4000 90,0000 0,4000 -30,0000 0,6928 90,0000 0,4000
0,9151 0,2000 45,0000 0,2828 90,0000 0,4000 -30,0000 0,4000 90,0000 0,4000 -60,0000 0,6928 90,0000 0,4000
184 0,9200 0,1992 45,0000 0,2817 90,0000 0,4011 -30,2196 0,3984 90,0000 0,4011 -60,2187 0,6931 90,0000 0,4011
185 0,9250 0,1984 45,0000 0,2806 90,0000 0,4021 -30,4414 0,3968 90,0000 0,4021 -60,4376 0,6934 90,0000 0,4021
186 0,9300 0,1976 45,0000 0,2795 90,0000 0,4032 -30,6626 0,3953 90,0000 0,4032 -60,6539 0,6938 90,0000 0,4032
187 0,9350 0,1969 45,0000 0,2784 90,0000 0,4042 -30,8831 0,3937 90,0000 0,4042 -60,8677 0,6941 90,0000 0,4042
188 0,9400 0,1961 45,0000 0,2773 90,0000 0,4052 -31,1029 0,3922 90,0000 0,4052 -61,0790 0,6944 90,0000 0,4052
189 0,9450 0,1953 45,0000 0,2763 90,0000 0,4062 -31,3221 0,3907 90,0000 0,4062 -61,2878 0,6947 90,0000 0,4062
190 0,9500 0,1946 45,0000 0,2752 90,0000 0,4072 -31,5407 0,3892 90,0000 0,4072 -61,4943 0,6951 90,0000 0,4072
191 0,9550 0,1939 45,0000 0,2742 90,0000 0,4082 -31,7586 0,3877 90,0000 0,4082 -61,6984 0,6954 90,0000 0,4082
192 0,9600 0,1931 45,0000 0,2732 90,0000 0,4091 -31,9758 0,3863 90,0000 0,4091 -61,9001 0,6957 90,0000 0,4091
193 0,9650 0,1924 45,0000 0,2721 90,0000 0,4101 -32,1924 0,3849 90,0000 0,4101 -62,0996 0,6960 90,0000 0,4101
194 0,9700 0,1917 45,0000 0,2711 90,0000 0,4110 -32,4083 0,3835 90,0000 0,4110 -62,2969 0,6964 90,0000 0,4110
195 0,9750 0,1910 45,0000 0,2702 90,0000 0,4120 -32,6235 0,3821 90,0000 0,4120 -62,4919 0,6967 90,0000 0,4120
196 0,9800 0,1903 45,0000 0,2692 90,0000 0,4129 -32,8381 0,3807 90,0000 0,4129 -62,6847 0,6970 90,0000 0,4129
197 0,9850 0,1897 45,0000 0,2682 90,0000 0,4138 -33,0521 0,3793 90,0000 0,4138 -62,8754 0,6974 90,0000 0,4138
198 0,9900 0,1890 45,0000 0,2673 90,0000 0,4147 -33,2654 0,3780 90,0000 0,4147 -63,0640 0,6977 90,0000 0,4147
199 0,9950 0,1883 45,0000 0,2663 90,0000 0,4156 -33,4781 0,3767 90,0000 0,4156 -63,2505 0,6980 90,0000 0,4156
200 1,0000 0,1877 45,0000 0,2654 90,0000 0,4164 -33,6901 0,3754 90,0000 0,4164 -63,4349 0,6984 90,0000 0,4164
\sourceoff
\showoff
Die aktualisierte EXCEL-Mappe findet sich in meinem Notizbuch.
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Wario
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| Beitrag No.97, eingetragen 2023-06-13
|
\(\begingroup\)\(
\)
\quoteon(2023-06-13 04:33 - cramilu in Beitrag No. 94)
Wozu denn Ungleichungen?
\quoteoff
Das muss man mal noch weiter besprechen. Aber erstmal etwas anderes:
Die Frage ist vermutlich fast überflüssig.
Das lässt sich wohl nicht vermeiden?
In den markierten Fällen kann man $l$ und $s$
nicht in der Form $l=\color{blue}2r+X(n)x$ und $s=\color{blue}2r+Y(n)y$ ausdrücken?
\quoteon(2023-06-05 16:52 - cramilu in Beitrag No. 77)
\(n=2\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+x\)
\(n=3\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+2x\)
\(n=4\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+3x\)
\(n=5\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+4x\)
\(n=6\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+5x\)
\(n=7\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+6x\)
\(n=8\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+7x\)
\(n=4\), Phase \(3\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=\color{red}4r+x\)
\(n=6\), Phase \(3\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=\color{red}6r+x\)
\(n=8\), Phase \(3\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=\color{red}8r+x\)
\(n=6\), Phase \(4\): \(s=\color{red}4r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+2x\)
\(n=8\), Phase \(4\): \(s=\color{red}4r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+3x\)
\(n=6\), Phase \(5\): \(s=2r+3y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+2x\)
\(n=8\), Phase \(5\): \(s=2r+3y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+3x\)
\(n=8\), Phase \(6\): \(s=2r+2y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+4x\)
\quoteoff
Ja nun, falls die Antwort 'nein' ist, dann ist immerzu
$l=R(n, P)r +X(n,P)x$ und $s=R(n,P)r +X(n,P)y$ (irgendwie so) und #83 gilt nur im Falle $R(n,P)=2$. Das kann man dann aber schon noch anpassen.
\showon Andere Sortierung
\quoteon(2023-06-05 17:13 - Wario in Beitrag No. 78)
\quoteon(2023-06-05 16:52 - cramilu in Beitrag No. 77)
$n=2$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+x$
$n=3$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+2x$
$n=4$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+3x$
$n=4$, Phase $3$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=\color{red}4r+x$
$n=5$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+4x$
$n=6$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+5x$
$n=6$, Phase $3$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=\color{red}6r+x$
$n=6$, Phase $4$: $s=\color{red}4r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+2x$
$n=6$, Phase $5$: $s=2r+3y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+2x$
$n=7$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+6x$
$n=8$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+7x$
$n=8$, Phase $3$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=\color{red}8r+x$
$n=8$, Phase $4$: $s=\color{red}4r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+3x$
$n=8$, Phase $5$: $s=2r+3y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+3x$
$n=8$, Phase $6$: $s=2r+2y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+4x$
\quoteoff
\quoteoff
\showoff
\(\endgroup\)
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cramilu
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| Beitrag No.98, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-13
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@haribo:
Mich fasziniert ja schon wieder, was Du für größere \(n\)
so eruierst, aber ich bin da langsamer und immer noch
im Bereich \(n=7,8,9,10\) unterwegs. Für \(n=10\) etwa
könnte es vor dem dreistöckigen Phasenende, wo die
Kreise vertikal 4-3-4 in einer dichtesten \(60°\)-Packung
liegen, auch einen 'Sprung' geben? Dem vorangehen
sollte ein horizontales 5×2 in \(60°\)-Packung? Und wovon
ist für \(n=7,9\) ab dem Ende von Phase 2 mit der zwei-
stöckigen \(60°\)-Packung 3-4 bzw. 4-5 auszugehen?
Schiebt sich da wohl allgemein zunächst aus der Kreis-
reihe unten der zweite von links nach oben und drückt
die darüber liegenden zur Seite weg? Wie für \(n=5\) ?
@Wario:
Für gerade \(n\geq4\) 'gleitet' jeweils in Phase 3 die obere
Kreisreihe als ganze tangential gegen den Uhrzeigersinn
an den oberen Rändern der unteren Kreise entlang bis
zum Phasenende mit dichtester, zweistöckiger \(90°\)-Packung.
Da muss dann die Breite \(n\) Kreisradien (\(\frac{n}{2}\) Kreisdurchmesser)
zuzüglich eines einfachen Versatzes \(\Delta x\) betragen.
Und während der anschließenden Phase 4 'wandern' stets
vertikale Pärchen zusammen aufwärts. Die Höhe beträgt
demnach immer \(2\) Kreisdurchmesser oder \(4r\) zuzüglich
eines einfachen vertikalen Versatzes \(\Delta y\).
Freilich wird man da später noch verallgemeinernd anpassen
können. Aber lass uns bitte zuvor noch mehr Daten sammeln.
Es mag auch sein, dass es später eher kommod erscheinen
mag, \(r\) als Funktion der längeren Seite mit Parameter \(p=\frac{1}{q}\)
anzugeben. Oder für den häufigsten Fall dieser Summen mit
'Wurzeleinlage' abstrakt abkürzend eine Unterfunktion
\(\ddot{\alpha}=\frac{s}{2}\cdot\frac{1}{a}\cdot\left(b+\frac{c}{q}+d\cdot\sqrt{\,\frac{e}{q^2}+\frac{f}{q}+g^\phantom{b}\,}\right)\) , die man im Rahmen
der abschnittsweisen Definition von \(f(q)\) bloß noch referenziert
und ihr einen entsprechenden Tupel mit ganzen Zahlen übergibt.
Also \(\ddot{\alpha}_q(a;b;c;d;e;f;g)\) ; \(\ddot{\alpha}\) für \(\ddot{\alpha}\gamma\chi\omega\) = quetschen (altgriechisch),
einem der etymologischen Stammkandidaten von Akkordeon
[Man korrigiere mich, wenn ich Mist erzähle!]. Oder bei OBI... 😉
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haribo
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| Beitrag No.99, eingetragen 2023-06-13
|
Muss man sich halt mal anschauen die zwiscnschritte der ungeraden, die quadrat lösungen sind ja bekannt bis zwanzig
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_4A49E4BB-F47C-4153-8C26-3EC93D459143.jpeg
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| Beitrag No.100, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-13
|
Schon klar! Der Rest zu \(n=3,5,8\) wird vom Tisch fallen,
sobald das mit der Dreiecksdrehung geklärt ist.
Aber wenn ich mir die Idealkonfigurationen für \(n=7,10\)
anschaue, befällt mich (noch) kätzisches Fellballwürgen.
Und auch für \(n=9\) bockt meine Kreativität (noch), was
die Zwischenphasen angeht.
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haribo
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| Beitrag No.101, eingetragen 2023-06-13
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7 dürfte doch recht gut gehen wenn im ersten schritt 4 hochrutschen und die dazwischenliegenden 3 unten bleiben und dann von den 4 der zweite nochmal hochgeschoben wird
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gonz
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| Beitrag No.102, eingetragen 2023-06-14
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\quoteon(2023-06-12 23:29 - cramilu in Beitrag No. 92)
Mich führt sie allgemein für folgende Figur betrachtet...
\quoteoff
\
x und y ergeben sich mittels Pythagoras und binomischer Formel:
x=\sqrt(4r^2-(1-2r)^2)=\sqrt(4r-1)
y=\sqrt(4r^2-(p-2r)^2)=\sqrt(4rp-p^2)
Dies eingesetzt in den Pythagoras des dritten Dreiecks
(p-2r-\sqrt(4r-1))^2+(1-2r-\sqrt(4rp-p^2))^2 = 4r^2
Zur Orientierung: Wir wollen das nach p auflösen. Es fällt auf, dass der Term p^2 sich weghebt, wenn wir links ausmultiplizieren. Wir bekommen, nachdem sich einiges weghebt:
p^2-4pr+4r^2 - 2(p-2r) \sqrt(4r-1) + 4r-1
+ 1 - 4r + 4r^2 - 2(1-2r) \sqrt(4rp-p^2) + 4rp - p^2
= 4r^2
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/36025_lalala.png
Hier schon mit erster Korrektur
\
4 r^2 - 2 (p-2r)*\sqrt(4r-1) = 2 (1-2r)*\sqrt(4rp-p^2)
Und noch ein Faktor 2 kann weg...
2 r^2 - (p-2r)*\sqrt(4r-1) = (1-2r)*\sqrt(4rp-p^2)
Wir sehen jedenfalls, dass wir auf der Zielgeraden sind. Auf der linken Seite steht, da unter der Wurzel nur r vorkommt, ein linearer Term in p, und rechts eine Wurzel aus einem quadratischen Term in p. Wir können also quadrieren, und erhalten dann eine quadratische Gleichung in p, die allerdings nun wirklich unhandlich ist.
Vorher aber fällt auf, dass wir rechts unter der Wurzel so umformen
können, dass wir X=p-2r als neue Variable substituieren können:
\
2 r^2 - (p-2r)*\sqrt(4r-1) = (1-2r)*\sqrt( 4r^2 - (2r-p)^2 )
2r^2 - X*\sqrt(4r-1) = (1-2r) sqrt(4r2-X^2)
Ich werd das nochmal nachrechnen, bevor ich weitermache. Also sozusagen nur als Zwischenstand, falls schon jemand anders bis hierher vorgedrungen ist...
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Wario
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| Beitrag No.103, eingetragen 2023-06-14
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\(\begingroup\)\(
\)
\quoteon(2023-06-13 04:33 - cramilu in Beitrag No. 94)
Wozu denn Ungleichungen?
Am Ende von Phase 1 liegen vier Kreise auf Kontakt
horizontal nebeneinander. Seitenverhältnis \(q=\frac{1}{4}\) .
Am Ende von Phase 2 liegen zwei Kreise 'unten' auf
Kontakt nebeneinander und darüber um Zwickellücke
nach rechts versetzt das horizontale Pärchen aus den
beiden oberen. Ihre Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges
Gitter aus gleichseitigen Dreiecken. Also horizontaler
Versatz \(\Delta x\) der oberen \(2r\cdot\text{cos}(60°)=\frac{1}{2}\cdot2r=r\) , und
vertikaler Versatz \(\Delta y\) \(2r\cdot\text{sin}(60°)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2r=r\sqrt{3}\) .
Demnach Seitenverhältnis \(q=\frac{2r+r\sqrt{3}}{4r+r}=\frac{2+\sqrt{3}}{5}\) .
\quoteoff
Das kann ich Dir sagen: Weil sich dann die q-Phasenintervallgrenzen möglicherweise allgemeiner berechnen lassen.
Zahlen des Typs $\dfrac{\alpha +\beta\sqrt{\gamma}}{\delta}$ sind bekanntlich Lösungen quadratischer Gleichungen.
Z.B. für $n=4, P=2$ ist $
{\frac{1}{4}\,<\,q\,\leq\,\frac{2+\sqrt{3}}{5}\approx0{,}74641}$
Das wäre die Lösung des quadratischen Ungleichungssystems
$\left( q-\frac{2+\sqrt{3}}{5} \right)
\left( q-\frac{2-\sqrt{3}}{5} \right) \leq 0
~~\land~~
q>\frac14
$
bzw. $q^2 - \frac45 q + \frac{1}{25} \leq 0
~~\land~~
q>\frac14$
Aber irgendwie vermag ich diese quadratischen Ungleichungssysteme nicht richtig aufzustellen; irgendwas scheint mir zu fehlen.
$0
Die Rechnung wird in allen Fällen aufwendiger, aber wenn es einmal klappen sollte, kann man damit vielleicht $q_\max$ im Fall $n=8, P=7$ oder sowas mit allgemeiner Rechnung angeben.
Die trigonometrische Betrachtung dürfte einem eher früher als später um die Ohren fliegen. \(\endgroup\)
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cramilu
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| Beitrag No.104, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-16
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@gonz: Du darfst gerne nach \(p\) auflösen \(-\) ich nach \(r\)! 😉
Ausblick
Falls wir das mit der Auflösung nach \(r\) irgendwie in den
Griff bekommen, und falls die Annahme richtig ist, dass
es auch für ungerade \(n\geq3\) eine allgemein formulierbare
Phase \(3\) gibt, dann müsste das ungefähr so aussehen:
Einer der Kreise aus der unteren Reihe 'wandert' nach oben
und schiebt dabei die dortige Reihe nach links wie nach rechts
gleichmäßig auseinander, bis er genau auf \(60°\)-Zwickellücke
zu liegen kommt. Die in #92 mit \(h\) bezeichnete vertikale Höhe
der Orthogonalenrahmen um die beiden sich drehenden gleich-
seitigen Dreiecke ist unbenommen \(h=1-2r\) . Die horizontale
Weite ergibt sich jedoch nun als \(w=\frac{p-(n-3)r}{2}\) , was dann beim
Einsetzen gesondert zu berücksichtigen ist.
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gonz
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| Beitrag No.105, eingetragen 2023-06-16
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@cramilu Gerne auch nach r. Stimmen wir bis hierher überein? (Änderung - der Term unter der rechten Wurzel sieht so handlicher aus)
\
2 r^2 - (p-2r)*\sqrt(4r-1) = (1-2r)*\sqrt(4rp-p^2)
Wobei - es einfacher sein dürfte nach p aufzulösen.
Also nach r. Das würde bedeuten, beide Wurzeln auf eine Seite (es steht ja unter beiden ein r), dann quadrieren, ergibt nur noch einen Summanden, der das Produkt der Wurzeln beinhaltet, diesen wieder auf einer Seite isolieren, dann noch einmal quadrieren. Das ergibt dann, so sich nicht etwas weghebt, einen Polynom 8.Grades in r.
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cramilu
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| Beitrag No.106, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-16
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@gonz:
Bei Auflösung nach \(r\) steht halt im Erfolgsfall gleich der
gesuchte Funktionsterm da. Ein Rückeinsetzen in die
'äußeren' Abhängigkeiten des Gesamtrahmenrechteckes
braucht es nicht mehr, weil die Zusammenhänge schon
über \(w\) und \(h\) ans innere Rahmenrechteck übergeben sind.
Ich hatte zwischenzeitlich die Klammerfaktoren vor den
Wurzeln quadriert und mit in die Wurzel gepackt, sowie
beidseitig einmal \(r^2\) abgezogen: \(r^2-\sqrt{links}=-r^2+\sqrt{rechts}\)
Und wegen meines argen vorherigen Zettelgekritzels waren
mir dann Muse und Muße abhanden gekommen. 🙄
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2023-09-22 22:09 U ?
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