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 Möbiustransformation aus 2 Punktepaaren finden |
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xyz1995
Neu 
Dabei seit: 29.05.2023
Mitteilungen: 1
 |  Themenstart: 2023-05-29
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Halli Hallo,
seit ein paar Tagen befasse ich mich mit dieser Aufgabe aus der Universität für Analysis III und ich kann es schlicht nicht eine passende Lösung finden, was mich alleine in den Wahnsinn treibt.
Es heißt:
Ermitteln Sie eine Möbius-Transformation, die
- die reelle Achse auf den Kreis {z\el\ IC l abs(z-1) = sqrt(2)} und
- die imaginäre Achse auf den Kreis {z\el\ IC l abs(z+1) = sqrt(2)}
Zuerst habe ich überprüft, wo diese Kreisen sich überhaupt schneiden.
Und zwar an der Schnittstellen +i und -i. Ok toll.
Ich weiß, dass die Möbiustransformation aus 3 Punkten/ "Koordinaten" besteht:
dem Südpol 0,
Äquator 1,
Nordpol \inf
und ich weiß, dass die Möbiustransformation die Form
(az+b)/(cz+d)
hat. Habe die mir bekannte Punkte gemeinsam verbunden, -i = 0 und i = \inf die z Werte in die Funktion eingegeben, um die Variablen zu bestimmen, womit ich bei (az+ai)/(cz-ci) feststecke.
Und einen weiteren Anhaltspunkt habe ich leider nicht :/
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lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11548
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-29
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Hallo
dein a/c*(z+i)/(z-i) z=0 wird auf -a/c abgebildet z=i auf \inf wie kommst du auf diese Form?
lula
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3806
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| Beitrag No.2, eingetragen 2023-05-29
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Hi :)
Es könnte $z=0$ auf $-i$ und $z=\infty$ auf $i$ durch $f$ abgebildet werden.
Wir schreiben $f(z) :=\frac{az+b}{cz+d}$, so folgt $b=-di$ und $a=ci$. Wir erhalten also\[
f(z) :=\frac{ci\cdot z-di}{c\cdot z+d}.
\]
Umgekehrt wissen wir aber, dass $z=-i$ auf 0 und $z=i$ auf $\infty$ durch $f^{-1}$ abgebildet werden. Das bedeutet, dass $-i$ eine Nullstelle und $i$ ein Pol der Umkehrfunktion ist.
Somit gibt es ein $a\in \mathbb C\setminus\{0\}$ mit \[f^{-1}(z) =a\frac{z+i}{z-i}.\] Sie soll deine beiden Kreise auf die reelle und die imaginäre Achse abbilden. Du beschreibst also in deinem Ansatz die Umkehrfunktion. Damit kannst du aber trotzdem weitermachen:
\[f^{-1}(1+e^{i\varphi}\sqrt 2) =a\frac{1+e^{i\varphi}\sqrt 2+i}{1+e^{i\varphi}\sqrt 2-i}=a\frac{(1+e^{i\varphi}\sqrt 2+i)(1+e^{-i\varphi}\sqrt 2+i)}{(1+e^{i\varphi}\sqrt 2-i)(1+e^{-i\varphi}\sqrt 2+i)}
.\]
Das soll rein reell werden.
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lula
Senior
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11548
Wohnort: Sankt Augustin NRW
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-29
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hallo
ich habe eine etwas andere Darstellung als kochen
aber auch mit z=0 nach i und z=oo nach -i
daraus folgt : \
w=(cz+1)/(icz-i) c ist nicht eindeutig, da man durch eine zentrische Streckung mit r in R die reelle und imaginäre Achse ja auf sich selbst abbildet. um c zu bestimmen kann man einen Punkt, etwa z=2+i abbilden dann muss man c so wählen, dass z reell wird. (ein mögliches c ist 1-i
lula
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