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Strukturen und Algebra » Polynome » kleinste Zahl
Autor
Universität/Hochschule kleinste Zahl
Leo123
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 13.07.2022
Mitteilungen: 19
  Themenstart: 2023-05-29

Hallo zusammen, kann mir wer bitte bei folgender Aufgabe helfen? Sei K ein Körper und sei f = x^6 + x^5 + x^3 + x^2 Element F_2[x]. Finde die kleinste Zahl n Element N, für die es eine Matrix A Element Mat_n(F_2) gibt mit f(A) ungleich Null. Lösung durch Ausprobieren ergibt bei mir n=3, einfach indem ich alle Matrizen n=2 betrachtet und ausgeschlossen habe und ein Beispiel für n=3 gefunden habe. Aber das (Ausprobieren) kann ja nicht Sinn der Übung sein, denke ich. Hat jemand eine bessere Idee? Viele Grüße Leo

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ochen
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3806
Wohnort: der Nähe von Schwerin
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-29

Hi, vielleicht kannst du das Polynom faktorisieren. Hast du schon etwas von Eigenwerten und eventuell dem charakterischen Polynom gehört? Was passiert, wenn das charakteristische Polynom ein Teiler von $f$ ist? Jedes Polynom vom Grad kleiner/gleich 2 ist ein Teiler von $f$. Zeige dies. Deine Vorgehensweise ist aber auch legitim.

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Leo123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.

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