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Mathematik » Stochastik und Statistik » Momenterzeugende Funktion
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Universität/Hochschule J Momenterzeugende Funktion
Carly2004
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  Themenstart: 2023-06-05

Es seien N, X_1, X_2, . . . unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in \IN_0. Die Zufallsvariablen X1, X2, . . . seien zudem identisch verteilt. (a) Zeigen Sie: Z = sum(X_i,i=1,N) hat die momenterzeugende Funktion M_Z(t) = M_N(log(M_X_1 (t))). (b) Es seien nun N ~ Geo(p) und X_i ~ Geo(q) für i \el\ \IN und p, q \el\ (0, 1). Bestimmen Sie die Verteilung von Z = sum(X_i,i=1,N) Bei a) habe ich gezeigt, dass M_Z(t)=M_X_1(t)^N ist und M_N(log(M_X_1 (t)))= E[M_X_1(t)^N] ist das bisher richtig und es müsste doch E(E(X) =E(X) gelten oder und somit ist es gezeigt richtig? Aber was mache ich in b)?

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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-05

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Zu a) Aus deinen Ausfuehrungen werde ich nicht recht schlau, aber $M_Z(t)=M_{X_i}(t)^N$ ergibt keinen Sinn, da $M_Z(t)$ so eine Zufallsvariable ist. Ich setze mal $M(t):=M_{X_i}(t)$. Sei ferner $P(N=n)=f(n)$, $n\in\IN$. Deine Ueberlegung, den iterierten Erwartungswert anzuwenden ist nicht uebel. Es ist $M_N(t)=\sum_{n=1}^\infty e^{tn}f(n)$ und \[ \begin{eqnarray*} M_Z(t) &=&\E[e^{t\sum_{i=1}^NX_i}]\\ &=&\E_N[\E_X[e^{t\sum_{i=1}^NX_i}]]\\ &=&\E_N[M^N(t)]\\ &=&\sum_{n=1}^\infty M^n(t)f(n)\,. \end{eqnarray*} \] Aus diesen Darstellungen folgt die zu zeigende Gleichung. Zu b) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $N$ ist $P(N=k)=(1-p)^{k-1}p$ und die von $X_i$ ist $P(X_i=k)=(1-q)^{k-1}q$, $k=1,2,3,\ldots$ Wende a) an und pruefe, ob $M_Z(t)$ die momenterzeugende Funktion einer bekannten Verteilung ist. \(\endgroup\)

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zippy
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  Beitrag No.2, eingetragen 2023-06-05

\quoteon(2023-06-05 12:49 - luis52 in Beitrag No. 1) Moin, zunaechst eine kleine Korrektur: Es macht nur Sinn, wenn $N$ Werte in $\IN$ annimmt, denn $(N=0)$ fuehrt zu Schwierigkeiten. \quoteoff Wo siehst du denn ein Problem, wenn $P(N=0)>0$ ist? --zippy

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Carly2004
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-05

Also meine Rechnungen waren: M_Z(t)=E[e^(tZ)] =E[e^(t*(X_1+X_2+...+X_N))] =E[e^(tX_1)*...*e^(tX_N)] =E[e^(tX_1)]*...*E[e^(tX_N)] =E[E[e^(tX_1)]*...*E[e^(tX_N)]] =E[M_(X_1)^N] =E[exp(log(M_(X_1)(t))^N)] =E[exp(log(M_(X_1)(t))*N)] =M_N(log(M_(X_1)(t))

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Carly2004
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-05

Ist das so richtig?. Und wie gehe ich bei b) vor?

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luis52
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  Beitrag No.5, eingetragen 2023-06-05

\(\begingroup\)\(\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} %  diag \newcommand{\Diag}{\operatorname{Diag}} %  Diag \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}     %  Spur \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}     %  Rang \newcommand{\logit}{\operatorname{logit}} %  logit \newcommand{\sign}{\operatorname{sign}} %  logit \newcommand{\AR}{\operatorname{AR}}     %  AR-Prozess \newcommand{\MA}{\operatorname{MA}}     %  MA-Prozess \newcommand{\ARMA}{\operatorname{ARMA}}     %  ARMA-Prozess \newcommand{\VAR}{\operatorname{VAR}}     %  VAR-Prozess \newcommand{\spn}{\operatorname{span}} %  span %**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\ensuremath{\epsilon}} \newcommand{\veps}{\ensuremath{\varepsilon}} %**************************************************************** %************************** Miszellanien ************************ 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zippy
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  Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-05

\quoteon(2023-06-05 15:49 - luis52 in Beitrag No. 5) Was ist $\left(\sum_{i=1}^NX_i\mid N=0\right)$ fuer eine Zufallsvariable? \quoteoff Die konstante Funktion $\omega\mapsto0$. (Schau dir vielleicht mal den Abschnitt Leere Produkte und Summen in Triceratops' Artikel Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle an.)

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Carly2004
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-05

Hey zippy, stimmen meine Rechnungen in a)? und kannst du mir in b) weiterhelfen? Vielen Dank

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luis52
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  Beitrag No.8, eingetragen 2023-06-05

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griechische Buchstaben im Mathemodus  ----- \newcommand{\bGamma}{\boldsymbol{\Gamma}} \newcommand{\bDelta}{\boldsymbol{\Delta}} \newcommand{\bTheta}{\boldsymbol{\Theta}} \newcommand{\bLambda}{\boldsymbol{\Lambda}} \newcommand{\bXi}{\boldsymbol{\Xi}} \newcommand{\bPi}{\boldsymbol{\Pi}} \newcommand{\bSigma}{\boldsymbol{\Sigma}} \newcommand{\bUpsilon}{\boldsymbol{\Upsilon}} \newcommand{\bPhi}{\boldsymbol{\Phi}} \newcommand{\bPsi}{\boldsymbol{\Psi}} \newcommand{\bOmega}{\boldsymbol{\Omega}} %-----  Fette kleine griechische Buchstaben im Mathemodus  ----- \newcommand{\balpha}{\boldsymbol{\alpha}} \newcommand{\bbeta}{\boldsymbol{\beta}} \newcommand{\bgamma}{\boldsymbol{\gamma}} \newcommand{\bdelta}{\boldsymbol{\delta}} \newcommand{\beps}{\boldsymbol{\varepsilon}} \newcommand{\bzeta}{\boldsymbol{\zeta}} \newcommand{\boldeta}{\boldsymbol{\eta}} \newcommand{\btheta}{\boldsymbol{\theta}} \newcommand{\bvartheta}{\boldsymbol{\vartheta}} \newcommand{\biota}{\boldsymbol{\iota}} 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\newcommand{\ord}[2]{\ensuremath{#1_{(1)},\ldots,#1_{(#2)}}} \newcommand{\ordd}[2]{\ensuremath{#1_{(1)}\le#1_{(2)}\le\cdots\le#1_{(#2)}}} \newcommand{\ordstat}[2]{\ensuremath{#1_{(#2)}}} \newcommand{\ordne}[3]{\ensuremath{#1_{(1)}#3 #1_{(2)}#3\dots#3#1_{(#2)}}} \) \quoteon(2023-06-05 14:45 - Carly2004 in Beitrag No. 4) Ist das so richtig?. \quoteoff Die vierte Gleichung von oben kommt mir nicht koscher vor. Sie ist korrekt, wenn $N$ fest ist. Stimmt sie auch, wenn $N$ eine Zufallsvariable ist? \quoteon(2023-06-05 14:45 - Carly2004 in Beitrag No. 4) Und wie gehe ich bei b) vor? \quoteoff Dazu habe ich in #1 etwas geschrieben. Was behagt dir daran nicht?\(\endgroup\)

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Carly2004
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  Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08

bei b) habe ich dann heraus, dass es sich um eine geometrische Verteilung handeln müsste. Kannst du mir erklären, warum man die 3 Gleichung (E[E...]] machen kann?

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zippy
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  Beitrag No.10, eingetragen 2023-06-08

\quoteon(2023-06-08 13:19 - Carly2004 in Beitrag No. 9) Kannst du mir erklären, warum man die 3 Gleichung (E[E...]] machen kann? \quoteoff Am einfachsten kannst du das aufschreiben, wenn du die bedingte Erwartung $E[\,\ldots\mid N]$ kennst:$$\begin{align} M_Z(t) &= E\bigl[\exp(tZ)\bigr] \\[1.6ex] &= E\bigl[\exp(tX_1+\cdots+tX_N)\bigr] \\[1.6ex] &= E\bigl[\exp(tX_1)\cdots\exp(tX_N)\bigr] \\[1.6ex] &= E\Bigl[E\bigl[\exp(tX_1)\cdots E\bigl[\exp(tX_N) \mathbin{\big|}N\bigr] \Bigr] \\[1.6ex] &= E\Bigl[E\bigl[\exp(tX_1)\mathbin{\big|}N\bigr]\cdots E\bigl[\exp(tX_N)\mathbin{\big|}N\bigr] \Bigr] \\[1.6ex] &= E\Bigl[M_{X_i}(t)^N\Bigr] \\[1.6ex] &= E\Bigl[\exp\Bigl(N\log\bigl(M_{X_i}(t)\bigr)\Bigr)\Bigr] \\[1.6ex] &= M_N\Bigl(\log\bigl(M_{X_i}(t)\bigr)\Bigr) \end{align}$$ Falls du die bedingte Erwartung nicht kennst, zumindest aber die bedingten Erwartungswerte $E[\,\ldots\mid N=n]$, kannst du oben $E[W\mid N]$ einfach durch$$ E\bigl[W\mathbin{\big|}N\bigr] = \sum_n E\bigl[W\mathbin{\big|}N=n\bigr]\cdot 1_{\{N=n\}} $$ersetzen. Die Einführung der beiden iterierten Erwartungswerte im Schritt von $(3)$ nach $(4)$ beruht dann auf$$\begin{align*} E\Bigl[E\bigl[W\mathbin{\big|}N\bigr]\Bigr] &= \sum_n E\bigl[W\mathbin{\big|}N=n\bigr]\cdot E\bigl[1_{\{N=n\}}\bigr] \\[1.6ex] &= \sum_n E\bigl[W\mathbin{\big|}N=n\bigr]\cdot P(N=n) = E\bigl[W\bigr] \;. \end{align*} $$

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luis52
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  Beitrag No.11, eingetragen 2023-06-08

\(\begingroup\)\(\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} %  diag \newcommand{\Diag}{\operatorname{Diag}} %  Diag \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}     %  Spur \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}     %  Rang \newcommand{\logit}{\operatorname{logit}} %  logit \newcommand{\sign}{\operatorname{sign}} %  logit \newcommand{\AR}{\operatorname{AR}}     %  AR-Prozess \newcommand{\MA}{\operatorname{MA}}     %  MA-Prozess \newcommand{\ARMA}{\operatorname{ARMA}}     %  ARMA-Prozess \newcommand{\VAR}{\operatorname{VAR}}     %  VAR-Prozess \newcommand{\spn}{\operatorname{span}} %  span %**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\ensuremath{\epsilon}} \newcommand{\veps}{\ensuremath{\varepsilon}} %**************************************************************** %************************** Miszellanien ************************ %**************************************************************** \newcommand{\mlink}[1]{\qquad\text{#1}\qquad} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} %  diag \newcommand{\Diag}{\operatorname{Diag}} %  Diag \newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}     %  Spur \newcommand{\rg}{\operatorname{rg}}     %  Rang \newcommand{\logit}{\operatorname{logit}} %  logit \newcommand{\sign}{\operatorname{sign}} %  logit \newcommand{\AR}{\operatorname{AR}}     %  AR-Prozess \newcommand{\MA}{\operatorname{MA}}     %  MA-Prozess \newcommand{\ARMA}{\operatorname{ARMA}}     %  ARMA-Prozess \newcommand{\VAR}{\operatorname{VAR}}     %  VAR-Prozess \newcommand{\spn}{\operatorname{span}} %  span %**************************************************************** %************************** Abkuerzungen ************************ %**************************************************************** \newcommand{\eps}{\epsilon} \newcommand{\veps}{\varepsilon} %**************************************************************** %************************** Miszellanien ************************ %**************************************************************** \newcommand{\mlink}[1]{\qquad\text{#1}\qquad} %**************************************************************** %************** Wahrscheinlichkeitsrechnung ********************* %**************************************************************** \newcommand{\dstr}[2]{\ensuremath{\mathcal{#1}(#2)}} \renewcommand{\dstr}[2]{\ensuremath{\mathtt{#1}(#2)}} \newcommand{\idd}{\ensuremath{\stackrel{d}{=}}} \newcommand{\ldd}{\ensuremath{\stackrel{d}{\le}}} \newcommand{\gdd}{\ensuremath{\stackrel{d}{\ge}}} \newcommand{\simdot}{\ensuremath{\stackrel{\cdot}{\sim}}} \newcommand{\asim}{\ensuremath{\stackrel{\,\mathrm{a}}{\sim}}} \newcommand {\plim}{\ensuremath{\operatorname*{plim}}} \newcommand{\Pto}{\ensuremath{\stackrel{\textup{P}}{\longrightarrow}}} \newcommand{\kiw}[2]{#1\ensuremath{\stackrel{\text{P}}{\longrightarrow}}#2} 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Carly2004
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Okay, vielen Dank :) Ihr habt mir sehr weitergeholfen

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