| |
| Autor |
  Vertauschen von Summe und Produkt in Herleitung |
|
elia2
Aktiv 
Dabei seit: 25.02.2023
Mitteilungen: 99
 |  Themenstart: 2023-06-06
|
Hi zusammen, ich pack das mal ins Mathe-Forum, weils ja eigentlich nicht um die Chemie hinter der Herleitung geht.
Und zwar will es einfach nicht in meinen Kopf: In der Herleitung einer Zustandssumme haben wir folgenden Ausdruck:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_Screenshot_2023-06-06_200125.png
, wobei Beta für den negativen Kehrwert von KBT steht. So weit so gut. Dann heisst es aber, dass unter Ausnutzung der Tatsache, dass eine Summe im Exponenten einem Produkt der Exponentialfunktionen entspricht, sich dieser Ausdruck ergibt:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_11.png
Spinne ich, oder dürfte man das Produkt nicht nur vor das exp() ziehen? Man kann das doch nicht auch noch vor die Summe nehmen???
Habe auch selbst ein einfaches Beispiel gemacht und dort stimmt es nicht... Wenn ich nämlich das Produkt nur vors exp() ziehe, habe ich eine Summe von Produkten, wo in jedem Summand nur derselbe Index l vorkommt. Wenn ich aber das Produkt rausziehe, habe ich ein Produkt von Summen, dass beim Ausmultiplizieren ganz viele Mischterme gibt, die doch nicht entstehen sollten...
|
 Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4985
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-06
|
Was hier gemacht wird, ist vermutlich Folgendes:$$
\sum_{l_1,\ldots,l_\nu}\prod_{j=1}^\nu X_j^{(l_j)} =
\prod_{j=1}^\nu\sum_lX_j^{(l)}
$$Verwirrung wird nun dadurch erzeugt, dass die Mehrfachsumme und der Index $j$ an $l_j$ auf der linken Seite unter den Teppich gekehrt wird.
--zippy
|
Profil
|
elia2
Aktiv
Dabei seit: 25.02.2023
Mitteilungen: 99
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-06
|
Schonmal danke für deine Antwort, zippy!
Ich verstehe aber leider noch nicht ganz, könntest du das vielleicht noch etwas genauer ausführen? Weil das Argument, das im Exponent gestanden hat, bleibt ja gleich...
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4985
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-06
|
Was verstehst du nicht? Kannst du die Gleichung, die ich hingeschrieben habe, nicht nachvollziehen oder siehst du den Zusammenhang mit deiner Frage nicht?
|
Profil
|
elia2
Aktiv
Dabei seit: 25.02.2023
Mitteilungen: 99
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-06
|
Bei dir ändert sich der Exponent von lj zu l, was es bei meinen Bildern nicht tut. Bzw. Bei dir wird eine Mehrfachsumme zur Einfachsumme, bei mir bleibt die Summe gleich.
Also ich verstehe die Entsprechung zu meiner Frage/Formel nicht ganz...
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4985
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-06-06
|
Ich gehe davon aus, dass deine Formel nur schlampig aufgeschrieben ist, aber das bedeuten soll, was ich hingeschrieben habe.
Ein bisschen Kontext würde das vielleicht klarer machen.
|
Profil
|
StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
Mitteilungen: 8376
Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-06
|
Hallo elia2,
ich verstehe es auch erst mal nicht. Ich nehme mal an, $\beta$ und $\varepsilon_{j,n_j}^{(\ell)}$ sind reelle Zahlen. Und dann steht da $\displaystyle\sum_\ell$. Aber was ist \(\ell\)? Ist das eine ganze Zahl? Anscheinend nicht, wenn ich zippy richtig verstehe. Und in welchem Bereich "läuft" das $\ell$?
|
Profil
|
elia2
Aktiv
Dabei seit: 25.02.2023
Mitteilungen: 99
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-06
|
EDIT:
Also, hier ein bisschen mehr vom Skript:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_123.png
Wir summieren also oben für ein einzelnes Teilchen über alle Freiheitsgrade die Energien auf. Diese Summierung führen wir dann über alle Möglichen Gesamtenergien dieses Teilchens aus, das ist die untere Summe über l, die schon oben im Screenshot war.
Dann Folgendes:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_1234.png
Also mehr oder weniger nur die Info zur Exponentialfunktion und die Formel, die sich ergeben soll wie schon oben.
Ich sehe nicht ganz, wie man da von einer Mehrfachsumme zu einer Einfachsumme kommen soll. Respektive sehe ich im oberen Screenshot gar keine Mehrfachsumme in der linken Summe mit l als Summationsindex.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4985
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-06-06
|
Die Zustände eines Moleküls in der Zustandssumme (4.18) werden durch die Quantenzahlen $(n_1,\ldots,n_\nu)$ beschrieben. Also ist über diese Quantenzahlen zu summieren.
Formel (4.17) sagt nun, dass man den Satz der Quantenzahlen $(n_1,\ldots,n_\nu)$ "irgendwie" zu dem Index $i$ zusammenfasst. Daher wird dieser Index später auch, nachdem er in $l$ umbenannt wurde, als "Zustand" bezeichnet.
Das Problem ist, dass das $l$ in (4.18) und das in (4.19) nicht dasselbe bedeuten. In (4.18) steht $l$ für den gesamten Satz $(n_1,\ldots,n_\nu)$ der $\nu$ Quantenzahlen aller Freiheitsgrade, in (4.19) nur noch für das $n_j$ eines bestimmten Freiheitsgrades.
Wenn auf dieses verwirrende symbolische Zusammenfassen verzichtet und einfach direkt über die Quantenzahlen summiert wird, ergibt die Umformung Sinn:$$
\sum_{n_1,\ldots,n_j}\exp\left[-\beta\left(
\sum_{j=1}^\nu\varepsilon_{j,n_j}\right)\right] =
\prod_{j=1}^\nu\sum_{n_j}\exp\left(
-\beta\,\varepsilon_{j,n_j}\right)$$
|
Profil
|
Ralgha
Aktiv
Dabei seit: 11.05.2023
Mitteilungen: 31
Wohnort: Baden-Württemberg, 72280 Dornstetten
 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-06-08
|
Ich behaupte mal, man muss nicht auf den Kopf gefallen sein, um so etwas nicht zu verstehen. Wenn da in dem zweifelhaften Skript steht, dass
\[
\varepsilon_{i}=\sum_{j=1}^{\nu}\varepsilon_{j,n_{j}}^{(i)}
\]
die Teilchenenergie, des Teilchens $i$ ist, folgt für mich daraus, dass in der äußeren Summe
\[
q_{\text{tot}}=\sum_{l}\exp\left(-\beta\varepsilon_{l}\right)=\sum_{l}\exp\left[-\beta\left(\sum_{j=1}^{\nu}\varepsilon_{j,n_{j}}^{(l)}\right)\right]
\]
mit dem Index $l$ über die Teilchen summiert wird und die innere Summe einfach über die Freiheitsgrade $j=1,\dots,\nu$ läuft. Ich habe das so verstanden, dass $\varepsilon_{j,n_{j}}^{(l)}$ einfach nur die Energie ist, die das Teilchen im Freiheitsgrad $j$ gespeichert hat. So war mir plausibel, dass die Summation über alle Freiheitsgrade die Gesamtenergie von Teilchen $l$ liefert.
Dass hinterher vom Zustand $l$ und nicht mehr vom Teilchen $l$ gesprochen wird, habe ich ignoriert, weil der hochgestellte Index $\left(l\right)$ ja unverkennbar da steht, wo zuvor das $\left(i\right)$ stand, was ganz klar als Index des Teilchens bezeichnet wurde. Ich wäre im Traum nicht auf die Idee gekommen, dass man hier über sämtliche möglichen Teilchenenergien summiert, dass es womöglich nur um ein einziges Teilchen geht. Ich habe sogar gedacht, dass die Quantenzahlen in der Summation gar keine Rolle spielen, weil die ja die Energie eines Freiheitsgrades festlegen, was doch aber schon durch die Summation über die Energien der Freiheitsgrade erfasst ist.
Ich habe deshalb eine Weile gebraucht, bis ich die Erklärung von zippy wirklich annehmen konnte. Aber ich denke, sie liefert die einzige sinnvolle Erklärung. Und ich frage mich, ob der Verfasser dieses Skripts überhaupt verstanden hat, wovon er da schreibt? Ich würde gerne mal den Rest von dem Skript anschauen.
@elia2: Könntest Du das mal verlinken?
Ich habe ein altes Vorlesungsskript zur statistischen Thermodynamik von Herrn Prof. Dr. H. Züchner von der Uni Münster gefunden, in dem etwas ähnliches steht. Dort wird über beides summiert, die Teilchen und die Quantenzustände.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56330_zsumme.png
Gruß
Ralgha
|
Profil
|
elia2
Aktiv
Dabei seit: 25.02.2023
Mitteilungen: 99
| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-14
|
Hi zusammen
Danke für eure ausführlichen Texte! Aber dann bin ich froh @Ralgha, dass ich nicht der einzige, der das nicht auf Anhieb sieht...
@zippy: Danke dir, beim ersten Durchlesen habe ich glaube ich so langsam eine Ahnung, wo es scheitert... Muss mich da aber in Ruhe nochmal hinsetzen, um es genauer zu verstehen.
Ich bin mir gerade unsicher, darf ich einfach so ein Skript hier verlinken? Ich habs auf die schnelle nämlich nicht einfach online frei verfügbar gefunden...
Aber ja, da sind noch manche solche fragwürdigen Spielereien drin.
|
Profil
|
elia2
Aktiv
Dabei seit: 25.02.2023
Mitteilungen: 99
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-26
|
Habs mir jetzt nochmal durch den Kopf gehen lassen, jetzt ist es mir klar, wie die Summe über die Quantenzahlen gem. Zippy richtig wäre.
Danke!
|
Profil
|
elia2
Aktiv
Dabei seit: 25.02.2023
Mitteilungen: 99
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-26
|
Habs jetzt noch ganz sauber aufgeschrieben, falls in Zukunft jemand auch mal danach sucht. Falls jemand einen Fehler findet, gerne melden.
Molekulare Zustandssumme:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_molekulare_Zustandssumme.png
Systemzustandssumme:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_Systemzustandssumme.png
|
Profil
|
elia2 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
elia2 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
