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 Ist Z[X] ein Hauptidealring? |
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juergenX
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 |  Themenstart: 2023-06-06
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Ist Z[X] ein Hauptidealring?
Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Ansatz: Ist Z ein Hauptidealring? ja. Beweis in jedem Skript. Ich drücke mich hier etwas denn so selbsverständlich ist diese Aussage nicht- Siehe unten euklidscher Ring.
Das heißt, jedes Ideal wird von einem einzigen Element erzeugt.
v. Waerden Seite 50, Aufgabe 2:
Welches Ideal erzeugen die Zahlen 10 und 13?
Man kann das ausrechnen mit zusammengesetzem Ideal $\mathcal I=(10,13)$ sind $n,m \in Z, k \in \mathcal(10), l \in \mathcal(13), \mathcal I =
nk+ml$ und $4*10-3*13 =1$ Wenn die 1 in solch einem Nicht-Haupt-Ideal (gibts dafuer eine besseres Wort?) auftaucht, ist es ein Hauptideal.
Ein Beispiel für einen Hauptidealring ist der Ring der ganzen Zahlen $\displaystyle \mathbb {Z}$.
Ist $\displaystyle\mathbb {Z}[x]$ ein Hauptidealring? Nein.
Um zu sehen, ob $\displaystyle\mathbb {Z}[x]$ ein Hauptidealring ist, müssen wir prüfen, ob jedes Ideal in diesem Ring ein Hauptideal ist. Dies ist nicht der Fall.
Es gibt Ideale in $\displaystyle \mathbb {Z}[x]$, die nicht von einem einzigen Element erzeugt werden können.
Folgendes habe ich teils aus openai entliehen ;)
Zum Beispiel ist das Ideal $\displaystyle (2,x)$ kein Hauptideal.
Das liegt daran, dass kein Polynom $\displaystyle p(x)$ existiert, das sowohl 2 als auch $\displaystyle x$ teilt.
(Diesen Satz hat die KI wohl aus wiki 1:1)
Seien $\displaystyle n,m \in Q[X], k \in \mathcal(2), l \in \mathcal(x), \mathcal I = nk+ml$ und $\displaystyle j \in \mathcal(J)$,
$n * 2 \pm m \cdot x \in \mathcal(J)$.
Am einfachsten waere doch $\displaystyle x \in \mathcal(J)$ und
$\displaystyle 2 \in \mathcal(J)$ und damit $\displaystyle x+2 \in \mathcal(J)$.
Wenn es so ein Polynom gäbe, müsste es konstant sein, aber dann könnte es nicht $\displaystyle x$ teilen.
Meine Frage: muss es das denn?
In einem Non PID muss es also Ideale geben die nicht ein ganzes Hauptideal aufspannen?
Zum Beispiel ist das Ideal $\displaystyle (2,x)$ kein Hauptideal.
Wir koennen es nicht einfacher schreiben, wie oben die 10 und 13.
Das liegt daran, dass kein Polynom $\displaystyle p(x)$ existiert, das sowohl 2 als auch $\displaystyle x$ teilt.
Wenn es so ein Polynom gäbe, müsste es konstant sein, aber dann könnte es nicht $\displaystyle x$ teilen.
Ist $\displaystyle \mathbb{Q}[X]$ ein Hauptidealring? Die Antwort ist ja.
Das heißt, jedes Ideal in diesem Ring wird von einem einzigen Polynom erzeugt.
Ein wichtiger Grund dafür ist, dass $\displaystyle \mathbb{Q}[X]$ ein euklidischer Ring ist.
https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptidealring
Ist $\displaystyle\IQ[X]$ ein Hauptidealring?
Das heißt, jedes Ideal in diesem Ring wird von einem einzigen Polynom erzeugt. Ein wichtiger Grund dafür ist, dass $\displaystyle \mathbb {Q} [X]$ ein euklidischer Ring ist.
Das bedeutet, dass es eine Funktion gibt, die jedem Polynom einen nichtnegativen Grad zuordnet, also ein Maß, und dass man für jedes Paar von Polynomen $\displaystyle a,b$ mit $\displaystyle b\neq 0$ eine Division mit Rest durchführen kann:
$\displaystyle a=q\cdot b+r$, wobei der Grad von $\displaystyle r$ kleiner als der Grad von $\displaystyle b$ ist.
Diese Eigenschaft erlaubt es, den euklidischen Algorithmus anzuwenden, um den größten gemeinsamen Teiler zweier Polynome zu finden.
Außerdem folgt aus dem euklidischen Algorithmus, dass $\displaystyle \IQ[X]$ ein faktorieller Ring ist.
Das heißt, jedes Polynom lässt sich eindeutig bis auf die Reihenfolge und die Koeffizienten als Produkt von irreduziblen Polynomen schreiben.
Also ist $\displaystyle\mathbb {Q}[x]$ ein Hauptidealring.
Ein Integritätsring R heißt euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion $g\colon R\to \mathbb{N} _{0}$ existiert mit bestimmten Eigenschaften.
Ist also jeder euklidische Ring ein Hauptidealring?
Was ist mit $\displaystyle \IQ[X_1,X_2,X_3]$?
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Mandelbluete
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-07
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\theta}{\vartheta}
\newcommand{\fuer}{\quad\text{fuer}\quad}
\newcommand{\Sp}{\operatorname{Sp}} \)
Hallo, Jürgen.
\quoteon(juergenX)
Wenn die 1 in solch einem Nicht-Haupt-Ideal (gibts dafuer eine besseres Wort?) auftaucht, ist es ein Hauptideal.
\quoteoff
Wenn die $1$ oder irgendeine Einheit (also ein invertierbares Element) in einem Ideal liegt, dann ist es das Einsideal, also der ganze Ring: $(10,13) = (1) = \Z$.
\quoteon(juergenX)
Diesen Satz hat die KI wohl aus wiki 1:1.
\quoteoff
Interessant. Ist das, wovor alle solche Panik haben? Daß man KI-Texte vorgelegt bekommt? Es ist sicher eine Art Zeitenwende für Uni und Schule. Vielleicht doch besser, wenn ich nicht Lehrerin werde. 🙂
\quoteon(juergenX)
Ist also jeder euklidische Ring ein Hauptidealring?
Was ist mit $\displaystyle \IQ[X_1,X_2,X_3]$?
\quoteoff
Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring aus dem Grund, den Du bzw. Deine KI selbst nennt. Der Ring $\Q[X_1,X_2,X_3]$ ist keiner, da ja zum Beispiel das Ideal $(X_1,X_2)$ nicht von einem einzigen Polynom erzeugt werden kann.
Liebe Grüße
Mandelblüte\(\endgroup\)
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juergenX
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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\quoteon(2023-06-07 09:46 - Mandelbluete in Beitrag No. 1)
Hallo, Jürgen.
\quoteon(juergenX)
Wenn die 1 in solch einem Nicht-Haupt-Ideal (gibts dafuer eine besseres Wort?) auftaucht, ist es ein Hauptideal.
\quoteoff
Wenn die $1$ oder irgendeine Einheit (also ein invertierbares Element) in einem Ideal liegt, dann ist es das Einsideal, also der ganze Ring: $(10,13) = (1) = \Z$.
\quoteon(juergenX)
Diesen Satz hat die KI wohl aus wiki 1:1.
\quoteoff
Interessant. Ist das, wovor alle solche Panik haben? Daß man KI-Texte vorgelegt bekommt? Es ist sicher eine Art Zeitenwende für Uni und Schule. Vielleicht doch besser, wenn ich nicht Lehrerin werde. 🙂
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Liebe Grüße
Mandelblüte
\quoteoff
Ich hab nur 2 Fragen gestellt
Ist z[x] ein Hauptidealring?
Ist Q[X] ein Hauptidealring?
Alle Antworten sind aus https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptidealring und https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptideal
sowie https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-3-8274-2601-7_18.pdf
was eine paysite ist.
Ich fand die Zusammenfassung sehr conclusive und verständlich.
In skype gibt es einen neuen User "bing", an den man Fragen direkt stellen kann.
Etwas o.T.;
An sich ist diese "Intelligenz" nur eine geschickte Zusammenfassung von vorhandenem Wissen.
Ich hatte ja ehrlicherweise dabei geschrieben, dass alles aus KI zusamengestellt ist.
Ohne diese Ansage hätte jemand der sehr gut ist (wie du :)) erkannt, dass eine KI den Text verfasste?
Natürlich ist ein Vorkenntnis etwa darüber was sind Ringe, Ideal etc.
erforderlich.
Echt nützlich bei Geschichtsarbeiten.
Die Panik der Geschichtslehrer wird evtl. zu handyverbot bei Hausarbeiten führen?!
Besteht der Geschichtslehrer den Touring Test? 😎
Wie will er die Quelle checken? Wenn ich die KI Anwort etwas umschreibe, könnte ich einen 3 Seite Aufsatz über Karl den Großen schreiben, ohne zu wissen wer das ist.
Aber Mensch 2 Mensch learning ist immer noch vorzuziehen.
Keine KI wird Autos oder Rohre reparieren.
Die richtigen Fragen zu stellen ist der Hauptteil des menschlichen Intellekts. (ImhO)
Mathematische Fragen werden korrekt behandelt, aber sehr einseitig bei politischen Fragen etwa Klimawende.
KIs sind bis dato nicht kreativ und noch Ideenlos oder? Werde Lehrerin, denn keine KI wird von sich aus sagen "heute kommt schriftliche Division" dran😉
Danke!
Jürgen
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Mandelbluete
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-08
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\quoteon(juergenX)
Ich hatte ja ehrlicherweise dabei geschrieben, dass alles aus KI zusamengestellt ist.
\quoteoff
Ja, das hast Du, und dem gebührt auch wirklich Anerkennung. Ich habe das erst beim genaueren Durchlesen registriert. Von Natur aus habe ich immer naive Vorstellungen. Erst dachte ich: "Jürgen im Monolog, ein bißchen wie Hamlet, während er mathematische Fragestellungen mit sich erörtert. Gefällt mir! Welche Frage kann ich denn jetzt beantworten?" Nach der Erkenntnis habe ich überlegt, ob ich meine Antwort löschen sollte, dachte aber "Was soll's!" 😊
Liebe Grüße
Mandelblüte
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juergenX
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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\quoteon(2023-06-08 19:26 - Mandelbluete in Beitrag No. 3)
"Jürgen im Monolog, ein bißchen wie Hamlet, während er mathematische Fragestellungen mit sich erörtert". Gefällt mir!
Liebe Grüße
Mandelblüte
\quoteoff
ja der Titel gefällt mir :) Obwohl Hamlet eine tragische Figur war.
wiki
Prinz Hamlet strebt danach, seinen Vater zu rächen, und stürzt dabei alle Beteiligten ins Unglück.
Beides ist nicht meine Absicht😴
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| juergenX hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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2023-09-22 22:09 U ?
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