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 Grosse und kleine Primteiler |
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Bekell
Aktiv 
Dabei seit: 05.09.2008
Mitteilungen: 3227
 |  Themenstart: 2023-06-08
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(Bitte die 2 als PZ aussen vor lassen)
Eine nat. Zahl x kann beliebig viele Primteiler haben. Aber sie kann nur einen grossen Primteiler haben oder keinen grossen.
Beweis: Unter der Teilermenge der Zahl befinden sich alle möglichen Produkte zwischen kleinen und grossen Primteilern. Hätte sie 2 grosse Primteiler, gäbe es zwei Multiplikationen mit jeweils verschiedenen, sich ausschliessenden Primzahlen, die dieselbe Zahl ergeben müssten, was aber unmöglich ist, weil die Multiplikationen zweier Primzahlen eine Zahl eindeutig definiert.
Wie steht es aber mit den kleinen Primteilern?
Die Zahl 161205 hat [3, 5, 11] zu kleinen PT, aber [977] zum grossen PT.
Dazu erhebt sich die Frage: Wann hat eine Zahl mit 3 kleinen PT einen grossen PT und wann nicht?
Hier gilt: Wenn das Produkt der 3 kleinen Primteiler kleiner als die Wurzel der Zahl ist, hat die Zahl einen grossen Primteiler, andernfalls keinen.
Analog wird es bei 4:1 sein. Die kleinste Zahl mit 4 kleinen PT und einem grossen muss zu kleinen PT mindestens 3*5*7*11 haben und daher grösser 1155^2 sein. Der grosse Primteiler muss also die erste PZ nach 1155 sein. Es ist daher: 1155*1157 = 1336335. {1; 3; 5; 7; 11; 13; 15; 21; 33; 35; 39; 55; 65; 77; 89; 91; 105; 143; 165; 195; 231; 267; 273; 385; 429; 445; 455; 623; 715; 979; 1001; 1155; 1157; 1335; 1365; 1869; 2145; 2937; 3003; 3115; 3471; 4895; 5005; 5785; 6853; 8099; 9345; 12727; 14685; 15015; 17355; 20559; 24297; 34265; 38181; 40495; 63635; 89089; 102795; 121485; 190905; 267267; 445445; 1336335}
Die Zahl 1336335 hat 64 Teiler.
Ist das so korrekt, oder angreifbar?
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7234
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-08
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Du solltest zunächst definieren, was ein "großer Primteiler" ist und was ein "kleiner".
Dass sich Deine Untersuchung ausschließlich auf ungerade Zahlen bezieht, sollte so ziemlich am Anfang stehen und nicht ganz am Ende.
$3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 1157$ ist nicht durch 13 (und Vielfache davon) teilbar.
Wie auch immer Du "großer Primteiler" definiert hast, Dein Beweis enthält überflüssigen Ballast und wird dann an der entscheidenden Stelle schwammig:
Was soll den "weil die Multiplikationen zweier Primzahlen eine Zahl eindeutig definiert" bedeuten?
Wenn Du einen Primteiler von $n\in\IN$ als groß bezeichnest, falls er $>\sqrt{n}$ ist, dann ist Dein Satz ziemlich offensichtlich.
Je nach dem, welche Zielgruppe Du ansprichst, brauchst Du dafür gar keinen Beweis.
Im folgenden stellst Du nicht klar, ob Du mehrfach vorkommende Primteiler auch mehrfach zählst. Hat $783=3\cdot 3\cdot 3\cdot 29$ drei kleine Primteiler oder nur einen?
Im ersten Fall ist Deine untere Schranke für Zahlen mit vier kleinen und einem großen Primteiler falsch, da dies auch für $6723=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 83$ gelten würde.
Im zweiten Fall ist Dein zweiter Satz falsch. 11655 hat nur die Primteiler 3,5,7 und 37 und $3\cdot 5\cdot 7=105 = \sqrt{11025}<\sqrt{11655}$. Aber $37=\sqrt{1369}$ ist nicht größer als $\sqrt{11655}$.
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Bekell
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Hallo Kitaktus....
\quoteon(2023-06-08 18:32 - Kitaktus in Beitrag No. 1)
Du solltest zunächst definieren, was ein "großer Primteiler" ist und was ein "kleiner".
\quoteoff
Bekell ging davon aus, dass die Einteilung in grosse und kleine Teiler trivial ist, und dass ein Prim davor im Bereich der nat. Zahlen auch eindeutig ist
\quoteon
Dass sich Deine Untersuchung ausschließlich auf ungerade Zahlen bezieht, sollte so ziemlich am Anfang stehen und nicht ganz am Ende.
\quoteoff
erledigt
\quoteon
$3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 1157$ ist nicht durch 13 (und Vielfache davon) teilbar.
\quoteoff
Ich hab das hiermit gerechnet: http://www.rechner24.com/berechnung/algebra/teiler-berechner.php
Bei mir ist 1155*1157=1336335 und das ist durch 13 =102795
\quoteon
Wie auch immer Du "großer Primteiler" definiert hast, Dein Beweis enthält überflüssigen Ballast und wird dann an der entscheidenden Stelle schwammig:
\quoteoff
Also grosse Primteiler sind Teiler einer Zahl, die grösser als deren Wurzel sind. Darüber hinaus sind sie prim.
\quoteon
Was soll den "weil die Multiplikationen zweier Primzahlen eine Zahl eindeutig definiert" bedeuten?
\quoteoff
Das bezieht sich auf den Hauptsatz der Zahlentheorie, dass sich jede Zahl eindeutig als Produkt von Primzahlpotenzen ausdrücken lässt.
\quoteon
Im folgenden stellst Du nicht klar, ob Du mehrfach vorkommende Primteiler auch mehrfach zählst. Hat $783=3\cdot 3\cdot 3\cdot 29$ drei kleine Primteiler oder nur einen?
\quoteoff
Primteiler kommen nie mehrfach vor. (Man kann zwar 9 unendlich oft durch 3 teilen, aber die 3 bleibt die 3 und die 9 eine 9.) Primfaktoren kommen mehrfach vor (deswegen PZ-Potenzen im Hauptsatz!). 25 hat zwei Primfaktoren, aber nur einen Primteiler, deswegen zeitigt die Teileranzahlfunktion bei Quadratzahlen von PZ genau nur einen Teiler.
\quoteon
Im ersten Fall ist Deine untere Schranke für Zahlen mit vier kleinen und einem großen Primteiler falsch, da dies auch für $6723=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 83$ gelten würde.
\quoteoff
Da Primteiler nicht mehrfach vorkommen können, ist das Beispiel absurd. Hat eine Zahl vier Primteiler, sind diese notwendig verschieden. Die 45 hat die 3 zum Primteiler, aber auch die 9 zum Teiler, nur die ist eben kein Primteiler, weil sie nicht prim ist.
\quoteon
Im zweiten Fall ist Dein zweiter Satz falsch. 11655 hat nur die Primteiler 3,5,7 und 37 und $3\cdot 5\cdot 7=105 = \sqrt{11025}<\sqrt{11655}$. Aber $37=\sqrt{1369}$ ist nicht größer als $\sqrt{11655}$.
\quoteoff
Das versteh ich nicht! Wie kommst Du auf 11655?
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Kitaktus
Senior
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7234
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-09
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Zum Thema „Teiler 13“. Dein Text suggeriert, dass 1157 eine Primzahl wäre. Das habe ich leider für bare Münze genommen. Mein Fehler. Damit ist Dein Beispiel, kein Beispiel für einen großen Primteiler.
Zum Thema „Anzahl der Primteiler“. Ja, normalerweise würde ich darunter auch die Anzahl der verschiedenen Primteiler verstehen. Der Satz: „Hat eine Zahl n genau vier Primteiler und ist das Produkt von drei dieser Primteiler kleiner als Wurzel aus n, dann ist der vierte Primteiler größer als Wurzel aus n.“ ist falsch. 11655 ist ein Gegenbeispiel. Deshalb habe ich nachgefragt, wie Du es gemeint hast.
Zum Thema „absurd“: Es gibt genügend Fälle, in denen man ausdrücklich gleiche Objekte in ihrer Vielfachheit zählt (Nullstellen, Eigenwerte, …).
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Bekell
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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\quoteon(2023-06-09 19:40 - Kitaktus in Beitrag No. 3)
Zum Thema „Teiler 13“. Dein Text suggeriert, dass 1157 eine Primzahl wäre. Das habe ich leider für bare Münze genommen. Mein Fehler. Damit ist Dein Beispiel, kein Beispiel für einen großen Primteiler.
\quoteoff
Ja, ich hatte auch PZ gedacht, ohne nachzusehen, weil ich wusste, es ist durch die ersten 4 unger. PZ nicht teilbar. Die erste PZ nach 1155 ist 1163. 1155*1163 = 1343265. Wurzel ist 1158 Komma nochwas, also ist 1163 grosser Primteiler, und 1343265 die erste Zahl mit grossem Primteiler. (Mal sehen, ob das stimmt.)
\quoteon
Zum Thema „Anzahl der Primteiler“. Ja, normalerweise würde ich darunter auch die Anzahl der verschiedenen Primteiler verstehen.
\quoteoff
Ich sage heute: Primteiler sind, wenn man bei den Primfaktoren die Potenzen auf 1 setzt. Da verschmelzen eben \(3^1\) mal \(3^1\) zu \(3\) oder aus \(3^2\) wird \(3\)
\quoteon
Der Satz: „Hat eine Zahl n genau vier Primteiler und ist das Produkt von drei dieser Primteiler kleiner als Wurzel aus n, dann ist der vierte Primteiler größer als Wurzel aus n.“ ist falsch.
\quoteoff
Du hast anders formuliert, als ich. Ich muss noch drüber nachdenken ....ja, es ist falsch.
Vermutung: "Grosse (überwurzlige, superradikale) Primteiler entfallen, wenn das Produkt aller kleineren Primfaktoren grösser als der grösste Primteiler ist. (Muss noch testen - hier sieht man die Sinnhaftigkeit der Unterscheidung des Primteilers vom Primfaktor.
\quoteon
11655 ist ein Gegenbeispiel. Deshalb habe ich nachgefragt, wie Du es gemeint hast.
\quoteoff
Dein Beispiel stimmt, jetzt versteh ich es.
\quoteon
Zum Thema „absurd“: Es gibt genügend Fälle, in denen man ausdrücklich gleiche Objekte in ihrer Vielfachheit zählt (Nullstellen, Eigenwerte, …).
\quoteoff
Ja, aber die Trennung der Begriffe macht doch hier Sinn. Niemand spricht von Primteilerzerlegung.
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