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 Extremwertaufgabe mit kleinstem Abstand |
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knaggix
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 01.02.2008
Mitteilungen: 428
Wohnort: CH
 |  Themenstart: 2023-06-08
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Hallo zusammen
Bei folgender Extremwertaufgabe bin ich auf einem "Holzweg" :-)
f(x)=x^2-3x+3
Welcher Punkt auf dem Schuabild von f(x) hat den kleinsten Abstand zum Nullpunkt?
Bei meiner Zielfunktion komme ich mit dem Ansatz
d(x)=sqrt(x^2 + f(x)^2)
auf eine recht unbequemen Term.
Auch wenn ich die Abstandsfunktion quadriere und dann ableite erhalte ich einen Term 3ten Grades.
Aus dem Schaubild kann man ablesen, dass die Lösung der Punkt P(1/1) sein muss.
Habe ich einen umständlichen / falschen Ansatz?
Könnte ich eine einfachere Zielfunktion erreichen, so dass ich ohne nummerische Lösung ans Ziel komme?
Danke für eure Tipps
knaggix
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10902
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-08
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Hallo knaggix,
die Verbindungsstrecke zwischen dem gesuchten Punkt und dem Ursprung sollte auf der zugehörigen Tangente senkrecht stehen. Von daher könnte man hier die allgemeine Normalengleichung aufstellen und den Parabelpunkt so wählen, dass die Normale durch den Ursprung geht.
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Schulmathematik' in Forum 'Extremwertaufgaben' von Diophant]
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10902
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-06-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Nachtrag:
\quoteon(2023-06-08 11:10 - Diophant in Beitrag No. 1)
die Verbindungsstrecke zwischen dem gesuchten Punkt und dem Ursprung sollte auf der zugehörigen Tangente senkrecht stehen. Von daher könnte man hier die allgemeine Normalengleichung aufstellen und den Parabelpunkt so wählen, dass die Normale durch den Ursprung geht.
\quoteoff
Nein, das bringt leider auch nichts, denn es führt ebenfalls auf eine Gleichung 3. Ordnung (mit der recht offensichtlichen Lösung \(x=1\)).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
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Wohnort: Werne
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-08
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Hallo Diophant,
das wird am Ende aber auf die gleiche kubische Gleichung hinauslaufen, denke ich.
@knaggix: aber Numerik muss es doch auch nicht sein bei einem solchen Beispiel mit ganzzahliger Lösung. Was probiert man als erstes? 0, 1, 2, ... und schon bei $x=1$ wird man fündig. Für Schüler höherer Klassen ist das doch zumutbar.
Ciao,
Thomas
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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knaggix
Wenig Aktiv
Dabei seit: 01.02.2008
Mitteilungen: 428
Wohnort: CH
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Danke Diophant und MontyPythagoras
Der Weg über die Normale führt auch zum Polynom 3.Grades, wie ihr ja auch gesagt habt.
Nun denn, ich lande also mit meiner abgeleiteten (und vorher quadrierten) Zielfunktion bei der Gleichung
d'(x) = 4x^3-18x^2+32x-18
0 = 4x^3-18x^2+32x-18
Teiler vom Absolutglied gibt es leider viele, aber ok, 0,1,2, . . .
und bei x = 1 klappt es dann.
Gut, ist zumutbar für obere Klassen.
Falls jemand noch elegantere Lösungen sieht, bin ich dankbar für Tipps.
herzlicher Gruss,
knaggix
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Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
MontyPythagoras
Senior
Dabei seit: 13.05.2014
Mitteilungen: 3414
Wohnort: Werne
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-06-08
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Hallo knaggix,
Du könntest die Gleichung noch durch 2 teilen.
Ciao,
Thomas
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10902
Wohnort: Rosenfeld, BW
|  Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-08
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo knaggix,
\quoteon(2023-06-08 11:32 - knaggix in Beitrag No. 4)
Teiler vom Absolutglied gibt es leider viele, aber ok, 0,1,2, . . .
und bei x = 1 klappt es dann.
\quoteoff
Wenn man eine einfache ganzzahlige Lösung erwartet, ist es nie ein Fehler, die Koeffizienten zu addieren: wenn die Summe so wie hier gleich Null ist, dann ist \(x=1\) eine Lösung.
Gruß, Diophant
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]\(\endgroup\)
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Caban
Senior
Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 3107
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.7, eingetragen 2023-06-08
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Hier ein kurzer Weg:
Es muss gelten -1=m_t*m_n
-1=m_t*y/x (Wenn an der Stelle x=0 die Ableitung 0 ist, musst du diesen Fall getrennt betrachten)
-x=m_t*y
also
f(x)*f(x)'=-x
(2*x-3)*(x^2-3x+3)=-x
Es bleibt auf jeden Fall eine Gleichung dritten Grades. Welche Hilfsmittel sind erlaubt? Diese Aufgabe sieht mir stark nach einer GTR-Aufgabe auf, die man mit dem Grafikmenü lösen soll. Solche Gleichungen, wo man nicht ausklammern oder substituieren kann, werden in der Schule nicht per Hand gelöst.
Gruß Caban
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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gonz
Senior
Dabei seit: 16.02.2013
Mitteilungen: 4864
Wohnort: Harz
 | Beitrag No.8, eingetragen 2023-06-08
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Man könnte sich zB durch Anschauung sicher sein, dass es genau eine Lösung gibt, und dann eine raten.... (aber das wurde hier glaube ich schon erwähnt). Man müsste also wirklich wissen, auf Basis welcher Methoden das gelöst werden soll.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4974
 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-06-08
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\quoteon(2023-06-08 11:55 - Caban in Beitrag No. 7)
Hier ein kurzer Weg:
[...]
also
f(x)*f(x)'=-x
\quoteoff
Was ist denn an diesem Weg besonders kurz? Diese Gleichung erhält man doch auch, wenn man wie im Startbeitrag vorgeht:
\quoteon(2023-06-08 11:05 - knaggix im Themenstart)
wenn ich die Abstandsfunktion quadriere und dann ableite [...]
\quoteoff
Also $\displaystyle 0={\mathrm d\over\mathrm dx}\bigl[x^2+f(x)^2
\bigr]=2\bigl[x+f(x)\cdot f'(x)\bigr]$.
--zippy
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cramilu
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Dabei seit: 09.06.2019
Mitteilungen: 2477
Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 | Beitrag No.10, eingetragen 2023-06-08
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Auch ich empfinde Cabans Weg als den kürzesten.
Er führt über die negativ-reziproke Tangentensteigung
und einen Schnitt der entsprechenden Ursprungsgerade
mit der Parabel unmittelbar zu $2x^3-9x^2+16x-9=0$ .
Nachdem man die Lösung \(x_1=1\) 'gesehen' hat, noch
ein Polynomdivisiönchen zur Gewissheit:
$$2x^3-9x^2+16x-9=(x-1)\cdot(2x^2-7x+9)$$
Das zweite Faktor-Polynom hat keine Nullstelle, weil die
Diskriminante \(D=b^2-4ac\) der quadratischen Lösungs-
formel negativ ist; ergo ist \(x_1=1\) einzige reelle Lösung.
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2023-09-23 00:05 U P ?
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