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  Differenzierbarkeit einer zweidimensionalen Funktion |
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katze1
Junior 
Dabei seit: 22.05.2023
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2023-06-10
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Es sei folgende Funktion gegeben:
f_n(x,y) = cases(xy^n/(x^2+y^2),für (x,y)!=(0,0);0,für (x,y)=(0,0))
Nun soll ich zeigen, dass die Funktion für n≥3 im Punkt (0,0) differenzierbar ist. Dies möchte ich erreichen, indem ich zeige, dass die partiellen Ableitungen im Punkt (0,0) existieren und dass die Funktion im Punkt (0,0) stetig ist. Ersteres ist ganz leicht, aber Letzteres bereitet mir Schwierigkeiten.
Die Funktion ist ja stetig, wenn für alle Nullfolgen a_n gilt:
lim(n->\inf,f_n(a_n))=0
Wie zeige ich aber nun, dass das für ALLE Nullfolgen gilt? Widerlegen wäre ja einfach, da man nur ein Gegenbeispiel finden müsste...
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2619
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-10
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Dein Ansatz ist nicht zielführend, weil diese Bedingungen nicht hinreichend für die Differenzierbarkeit sind.
Es würde sich doch anbieten, einfach die Definition der Differenzierbarkeit hier nachzuweisen. Man verifiziert unmittelbar, dass $\partial_1f_n(0,0)=\partial_2f_n(0,0)=0$ gilt ($f_n(0,\cdot)$ und $f_n(\cdot,0)$ sind jeweils die Nullabbildung). Der einzige Kandidat für die gesuchte lineare Abbildung (also für das Differential) ist demnach die Nullabbildung $\mathbb R^2\to \mathbb R$.
Es bleibt somit
$$
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{f_n(x,y)-f_n(0,0)-0}{\lVert (x,y)\rVert}=\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{f_n(x,y)}{\lVert (x,y)\rVert}=0
$$
nachzuweisen. Mit der euklidischen Norm haben wir für $(x,y)\neq (0,0)$
$$
\frac{|f_n(x,y)|}{\lVert (x,y)\rVert}=\frac{|xy^n|}{\lVert (x,y)\rVert^3}.
$$
Nun könnte die Abschätzung $|y|^3\leq \lVert (x,y)\rVert^3$ hilfreich sein.
LG Nico\(\endgroup\)
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katze1
Junior
Dabei seit: 22.05.2023
Mitteilungen: 19
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Dann muss ich wohl etwas durcheinander gebracht haben. Danke für deine Antwort!
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Buri
Senior
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46882
Wohnort: Dresden
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-11
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Hi katze1,
bei der Funktion fn ist der Exponent n fest gegeben. Man kann also keine Nullfolgen (an) betrachten, auch die Betrachtung von lim(n->\inf,f_n(a_n)) ist nicht möglich. Nullfolgen muss man anders bezeichnen, z. B. mit (am), m->∞.
Gruß Buri
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katze1 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
katze1 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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