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 Bundeswettbewerb Mathematik 2023 - Runde 2 |
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LoverOfPi
Neu 
Dabei seit: 05.09.2023
Mitteilungen: 2
 |  Themenstart: 2023-09-05
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Da nun seit 4 Tagen der Einsendeschluss der 2. Runde des Bundeswettbewerbs vorbei ist, wollte ich euch fragen, wie ihr die Aufgaben fandet. Während ich die 1 und 3 innerhalb weniger Tage lösen konnte, hat mich die 4 ewig gekostet, bis ich den relativ einfachen Lösungsweg gefunden habe, den ich vor allem schon ganz früh als nicht zielführend bewertet habe. Die zweite Aufgabe habe ich leider nicht komplett verstanden. Meine Lösung konnte zwar korrekt sein, aber meine Argumentation war murks. Da würde mich ein Lösungsansatz von euch interessieren. Es fiel mir schwer, die Aufgabe zu quantifizieren, also auf ein Niveau zu bringen, wo ich wirklich Mathematik betreiben konnte. Ich habe bloß Überlegungen ausargumentiert. Aber wie beweise ich, dass mein Weg wirklich der maximale war?
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Hilbertraum
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|  Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-07
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Hallo LoverOfPi,
deine Einschätzung zur Schwierigkeit der Aufgaben kann ich ganz gut nachvollziehen. Die Aufgabe 1 war gut machbar, die Geo auch, weil man sie einfach mit Koordinatenrechnung, wie man sie in der Oberstufe lernt, "tothauen" konnte. Hast du die Aufgabe auch so gelöst? Die Aufgabe 4 war natürlich relativ schwer, was bei der A4 in der zweiten Runde ja auch eigentlich immer der Fall ist. Es gibt allerdings eine interessante Arbeit von 1957, die ein sehr ähnliches Problem, wie das in der A4 beschreibt: https://www.mscand.dk/article/view/10490/8511 (die ersten beiden Seiten). Außerdem habe ich von anderen Teilnehmern gehört, dass die Aufgabe mal in der Bundesrunde der MO gestellt wurde.
Zur Aufgabe 2: Ich hab hier ganz klare Parallelen zur Aufgabe 2 Runde 2 vor zwei Jahren gesehen (https://www.mathe-wettbewerbe.de/fileadmin/Mathe-Wettbewerbe/Bundeswettbewerb_Mathematik/Dokumente/Aufgaben_und_Loesungen_BWM/aufgaben_21_2_nach_rd.pdf), allerdings fand ich die diesjährige Aufgabe etwas anspruchsvoller. Meine Idee war die folgende:
Angenommen der Sichtabstand wäre größer als 140, d.h. mindestens 141, und die Türme A und B haben diesen Sichtabstand. Dann sei M die Menge, die A und B enthält sowie alle Türme zwischen A und B die diesen Sichtabstand bilden und N die Menge, in der alle anderen Türme enthalten sind. In M sind offensichtlich mindestens 142 Türme enthalten. Dabei kann in Turm in M nur mit zwei anderen Türmen derselben Menge sichtverbunden sein (andernfalls würde es eine kürzere Sichtverbindung von A nach B geben). A und B selbst sind dabei sogar nur mit je einem anderen Turm sichtverbunden. Somit verbleiben $2\cdot 41+140\cdot 40=5682$ Sichtverbindungen von Aussichtspunkten in M zu Aussichtspunkten in N. Aber da $|N|=2023-142=1881$ und $3\cdot 1881=5643 < 5682$, gibt es nach dem (erweiterten) Schubfachprinzip einen Turm in N, der mit vier Türmen aus M sichtverbunden ist. Jetzt kann man allerdings eine kürzere Sichtverbindung als 141 zwischen A und B konstruieren (nämlich die, die über den besagten Aussichtspunkt in N führt). Die Argumentation ist jetzt nicht zu 100% sauber, man muss z.B. noch den Fall ausschließen, dass der Sichtabstand noch größer als 141 ist. Zudem muss man noch eine Konstruktion angeben, wo der Sichtabstand 140 tatsächlich auch erreicht wird. Aber die Grundidee ist hoffentlich klar geworden.
Generell laufen derartige Aufgabe meistens auf das Schubfachprinzip hinaus, die Herausforderung ist dabei allerdings Mengen zu finden, auf die man dieses anwenden kann.
Grüße
Leo
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LoverOfPi
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Dabei seit: 05.09.2023
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-07
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Die Aufgabe 1 fand ich sehr einfach. Hab es runtergebrochen auf den Beweis, dass jeder der Zahlen durch die Primfaktoren von 672 teilbar sind, schon die ersten beiden Zahlen zeigten, dass etwas höheres nicht möglich war. Hier half mir der kleine Fermat.
Bei der 3 habe ich es gemacht, wie du gesagt hast, bzw. ähnlich. Ich habe ein Dreieck auf eine feste Seite genormt und den Punkt C in den Ursprung gelegt. B war dann der einzige variable Punkt mit (x/y). Dann habe ich den Punkt I, Ma und Mb relativ leicht mit Vektoren herausfinden können. Am Ende mit gleichsetzen blieb x in Abhängigkeit von y übrig, womit kan ganz einfach den Steigungswinkel von der Seite BC und damit auch den gesuchten Winkel berechnen konnte.
Für die 4 habe ich zunächst gezeigt, dass bestimmte Fälle (also alle Fälle die nicht funktionierten) nicht möglich sind, im Anschluss habe ich gezeigt, dass man sonst im allgemeinen immer einen Weg findet, um die Ecken regelkonform zu verbinden. Das war so eine einfache Lösung, ich bin mir sogar unsicher, ob das stimmen kann.
Bei der 2 habe ich wie gesagt bis zum Ende nicht durchgeblickt. Ich kam auf ein maximalen Sichtabstand von 136, also wohl nicht die richtige Lösung nach deiner Betrachtung. Oder noch schlimmer, ich habe mich stumpf verrechnet. Na mal sehen :P
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Ixx
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-18
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So, falls es jemanden interessiert, hier die Kurzauswertung meiner neun Abgaben aus der Erstkorrektur:
Preisvorschläge (bei den Standard-Punktgrenzen 40/36/29, die aber erst in der Drittkorrektur festgelegt werden):
1. Preis: 1
2. Preis: 2
3. Preis: 3
Kein Preis: 3
Was war auffällig?
*) In Aufgabe 1 untersuchten alle Teilnehmenden, deren Abgaben ich korrigieren durfte, die Teilbarkeit von $2^5$, 3 und 7 getrennt. Jedoch fehlte dann häufiger der Hinweis, dass diese paarweise teilerfremd sind, der Nachweis über die einzelnen Teilbarkeiten also tatsächlich auch die durch $2^5\cdot3\cdot 7$ zeigt. Auch war auffällig, dass kaum einer den kleinen Satz von Fermat kannte -- und die, die ihn kannten, verwendeten ihn nicht.
*) In Aufgabe 2 ging häufiger die Differenzierung der beiden zu zeigenden Teilaussagen "Nie ist ein Sichtabstand $> 140$ möglich" und "Es gibt eine Konstelation mit maximalem Sichtabstand 140" verloren; manchmal wurde nur jeweils eine der beiden bewiesen.
*) Die Geometrie (Aufgabe 3) wurde ganze drei mal überhaupt nicht bearbeitet. Zusätzlich gab es weitere Einsendungen, die hier nur eher anschaulich argumentierten (sinngemäß: "Wenn man den Winkel vergrößert, dann verschieben sich Punkte, sodass die Flächeninhalte nicht mehr gleich sind"), aber einen stringenten Beweis vermissen lassen. Dies macht diese Aufgabe mit Abstand zu derjenigen, die am schlechtesten ausgefallen ist. (Natürlich kann ich nur über meine ca. 4%-Stichprobe sprechen.)
*) Bei Aufgabe 4 sind einigen Teilnehmenden die Parallelen zur MO-Aufgabe 451343 bzw. zu Skolem-Folgen aufgefallen, sodass häufig "Literatur-Beweise" geführt wurden. Dennoch musste man m.E. in den Fällen, wo dies geht, begründen, warum in den dargestellten Konstruktionen jeder Eckpunkt nur in einer Strecke enthalten ist.
So viel von meiner Seite. Zweit- und Drittkorrektur laufen jetzt ohne mich ab. Ich bin erst nächsten März bei der nächsten ersten Runde wieder mit dabei. Viel Spaß und Erfolg allen Teilnehmenden! :)
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Hilbertraum
Junior
Dabei seit: 19.07.2021
Mitteilungen: 6
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-09-21
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Hallo Ixx,
danke zunächst einmal für die interessanten Einsichten in die Korrektur. Allerdings werfen die genannten "Auffälligkeiten" ein paar Fragen bei mir auf:
- Wie genau soll man bei der Aufgabe 1 die Teilerfremdheit von $2^5$, 3 und 7 zeigen? Zumindest in meiner Welt ist es relativ offensichtlich, dass verschiedene Primzahlen bzw. Primzahlpotenzen teilerfremd sind.
- Wofür benötigt man den kleinen Fermat bei der Aufgabe 1? Genügt es nicht einfach für jeden Primfaktor Restklassenbetrachtungen durchzuführen, in dem man die (endlich vielen) Restklassenfälle betrachtet?
- Warum muss man bei der Aufgabe 4, wenn man sich auf Skolem-Folge bezieht, beweisen, dass jeder Eckpunkt nur Teil von einer Strecke ist? Bei den "perfect skolem sets" ist es ja eben so, dass jede natürliche Zahl von 1 bis 2n genau einmal verwendet werden soll. Wenn man hier also die Analogie für die Ecken des 2n-Ecks anwendet sollte es doch eigentlich klar sein, dass jede Ecke genau einmal Teil einer Verbindungsstrecke ist, oder nicht?
Gab es bei der Aufgabe 3 eigentlich korrekte Lösungen, die nicht auf Koordinatenrechnung zurückgreifen?
Viele Grüße
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| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
Ixx
Aktiv
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Mitteilungen: 382
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-21
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Moin,
da habe ich wohl an manchen Stellen etwas verkürzt formuliert; ich hoffe, diese Antwort klärt etwas auf, was ich meine.
\quoteon(2023-09-21 15:58 - Hilbertraum in Beitrag No. 4)
- Wie genau soll man bei der Aufgabe 1 die Teilerfremdheit von $2^5$, 3 und 7 zeigen? Zumindest in meiner Welt ist es relativ offensichtlich, dass verschiedene Primzahlen bzw. Primzahlpotenzen teilerfremd sind.
\quoteoff
Zu zeigen wäre da tatsächlich nichts, aber der Hinweis auf die Tatsache wäre m.E. schon notwendig. Wenn man aus der Teilbarkeit durch $a$, $b$ und $c$ auf die durch $abc$ schließen will, dann braucht man dafür die paarweise Teilerfremdheit der Faktoren. Wollte ich die Teilbarkeit durch 12 zeigen, in dem ich die durch 2 und 6 zeige, ist das halt nicht zielführend.
\quoteon
- Wofür benötigt man den kleinen Fermat bei der Aufgabe 1? Genügt es nicht einfach für jeden Primfaktor Restklassenbetrachtungen durchzuführen, in dem man die (endlich vielen) Restklassenfälle betrachtet?
\quoteoff
Doch, das genügt. Es ist aber weniger schön 6 Fälle bei der Betrachtung der Teilbarkeit durch 7 zu betrachten, als direkt $p^6\equiv 1\pmod{7}$ für $p>7$ aus dem kleinen Fermat zu schließen. Das wertet die anderen Lösungen nicht ab, ist nur eine Sache, die mir aufgefallen ist.
\quoteon
- Warum muss man bei der Aufgabe 4, wenn man sich auf Skolem-Folge bezieht, beweisen, dass jeder Eckpunkt nur Teil von einer Strecke ist? Bei den "perfect skolem sets" ist es ja eben so, dass jede natürliche Zahl von 1 bis 2n genau einmal verwendet werden soll. Wenn man hier also die Analogie für die Ecken des 2n-Ecks anwendet sollte es doch eigentlich klar sein, dass jede Ecke genau einmal Teil einer Verbindungsstrecke ist, oder nicht?
\quoteoff
Wenn die Reduktion auf Skolem-Folgen korrekt gezeigt wurde, genügt es, solche zu konstruieren. Dann muss man aber m.E. zeigen, dass die angegebene Konstruktion tatsächlich auch die Eigenschaft der Skolem-Folgen erfüllt, also jede Zahl genau zweimal auftritt und zwischen ihnen jeweils entsprechend viele andere Elemente stehen. Eine einfache Auflistung reicht hier m.E. nicht aus.
Was mir mehrfach begegnet ist -- jetzt wieder in der Sprache der Aufgabenstellung -- waren Auflistungen von Strecken, wobei durch die Konstruktion klar wurde (z.B., weil sie entsprechend nach aufsteigender Länge genannt wurden), dass jede Streckenlänge genau einmal vorkommt. Damit war das eine Kriterium der Aufgabenstellung erfüllt und nachgewiesen. Das zweite Kriterium, dass jeder Eckpunkt des $2n$-Ecks nur Teil einer dieser Strecken ist, wurde dagegen in diesem Szenario nicht erwähnt und damit -- nach meiner Meinung -- auch nicht betrachtet. Das ist nicht viel; hätte ich die Bemerkung gelesen, dass offenbar jeder Eckpunkt des $2n$-Ecks in der Auflistung genau einmal vorkommt (da keiner doppelt enthalten ist), hätte ich das geglaubt. Wichtig ist aber, dass man sich überhaupt darüber Gedanken darüber macht, dass es zwei Eigenschaften zu erfüllen gab, selbst wenn die eine davon recht einfach erscheint.
Wobei ich dazu sagen muss, dass dies meine Eindrücke sind. Wie sich dies in der Bewertung auswirkt, insbesondere also, ob dies ggf. preismindernd wirkt, entscheiden dann die Zweit- und vor Allem die Drittkorrektur. (Ich kann mir nicht vorstellen, dass es zu einer Abwertung von einem ersten auf einen zweiten Preis führt, wenn man nichts zu dieser zweiten Eigenschaft gesagt hat, aber sonst alles in Ordnung ist.)
\quoteon
Gab es bei der Aufgabe 3 eigentlich korrekte Lösungen, die nicht auf Koordinatenrechnung zurückgreifen?
\quoteoff
Es gibt elementargeometrische Lösungen in den Lösungsbeispielen, die sicherlich auch bald auf der Wettbewerbs-Homepage veröffentlicht werden.
Die Flächengleichheit der beiden Dreiecke übersetzt sich z.B. dahin, dass gewisse Strecken im gleichen Verhältnis zueinander stehen und diese dazu, dass Geraden zueinander parallel sind. Dann kann man mit Winkeljagd auch viel erreichen.
Ich hoffe, dies klärt die Fragen etwas auf.
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xlepyrex
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Mitteilungen: 2
|  Beitrag No.6, eingetragen 2023-10-31
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Hey, hat schon wer eine Antwort zur 2. Runde erhalten, bzw. wann werden sie losgeschickt. Klar steht "Anfang November" auf der Website, aber ist damit jetzt der 1. oder 10. gemeint. Würde mich einfach interessieren, weil ich relativ aufgeregt bin die Ergebnisse zu erhalten, haha
Und meine zweite Frage lautet, was einem genau zur IMO Auswahl qualifiziert? Ist es ein Preis in der 2. Runde (also zB ein 3.) oder muss man sich für die 3. qualifizieren?
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Ixx
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Dabei seit: 05.04.2020
Mitteilungen: 382
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-11-01
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Moin,
Ich habe keine genaueren Kenntnisse, wie die Korrektur und der Versand weiter lief/ läuft. Erfahrungsgemäß ist aber mit „Anfang November“ nicht der 1. gemeint…
Zur Qualifikation für die IMO-Auswahl-Klausuren im Dezember: Hier gibt es drei mögliche Qualifikationswege:
*) ein Preis (erster bis dritter) in der zweiten Runde des BWMs,
*) ein Preis (erster bis dritter) bei der Bundesrunde MO (in den Klassenstufen >= 9,
*) ein Landessieg bei JuFo im Fachbereich Mathe/Info.
Natürlich muss man noch für die IMO des nächsten Jahres startberechtigt sein, d.h., derzeit noch Schüler_in, und zum Zeitpunkt der IMO-Klausuren im nächsten Sommer noch keine 20.
Typischerweise sind sowas wie 120 bis 200 Personen für diese Dezemberklausuren startberechtigt. Die besten 16 der beiden Klausuren nehmen dann im nächsten Jahr an den IMO-Auswahl-Seminaren teil.
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Kitaktus
Senior 
Dabei seit: 11.09.2008
Mitteilungen: 7280
Wohnort: Niedersachsen
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-11-01
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\quoteon(2023-11-01 10:40 - Ixx in Beitrag No. 7)
Die besten 16 der beiden Klausuren nehmen dann im nächsten Jahr an den IMO-Auswahl-Seminaren teil.
\quoteoff
Es ist natürlich absolut klar, wie es gemeint ist, aber ich würde den Satz umformulieren zu "Die _erfolgreichsten_ 16 der beiden Klausuren nehmen dann im nächsten Jahr an den IMO-Auswahl-Seminaren teil."
Ich weiß nicht, ob es immer noch so gehandhabt wird, aber ich habe es erlebt, dass selbst gute IMO-Teilnehmer des laufenden Jahres an der Hürde "Auswahlklausur" für das nächste Jahr gescheitert sind.
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Thales111
Junior 
Dabei seit: 10.03.2022
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-11-01
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Hallo,
gibt es denn schon eine endgültige Statistik? Wie ist es dieses Jahr ausgefallen? Wie viele (erste) Preise, Kolloquiumsteilnahmen etc.. :)
Liebe Grüße
Thales
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xlepyrex
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Dabei seit: 31.10.2023
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-11-02
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Ich selbst habe meine Rückmeldung noch nicht bekommen. Ich lebe in Hessen, daher weiß ich nicht, wann die Post bei mir ankommt. Kam es bei anderen schon an, oder wie ist der aktuelle Stand?
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Thales111
Junior
Dabei seit: 10.03.2022
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-11-04
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Hallo xlepyrex,
meine Ergebnisse sind inzwischen angekommen.
LG Thales
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