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  Lokale Extrema von √(1-x^2) (cos(3Pi*x/2)) |
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Aurel
Aktiv 
Dabei seit: 07.05.2023
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 |  Themenstart: 2023-09-21
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Hallo nochmals,
im Anschluss an meine Frage von gestern Abend (ich hoffe der Link funktioniert):
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=263516&post_id=1915445
geht es mir jetzt bei derselben Funktion um die Untersuchung auf lokale Extrema:
\(f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}\)
$f(x)=\sqrt{1-x^2} \cdot \cos(\frac{3\pi x}{2})$
Die Ableitung hatte ich berechnet als:
$ f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \cos\left(\frac{3 \pi x}{2}\right) - \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{3 \pi}{2} \cdot \sin\left(\frac{3 \pi x}{2}\right) $
Einerseits glaube ich, ist es nicht so ganz ohne, die Nullstellen der Ableitung zu bestimmen, obwohl das hier sicherlich eine Möglichkeit ist, wenn man sich damit auskennt, oder?
Also dass \(x=0\) funktioniert sehe ich noch, den Rest leider nicht.
Andererseits ist meine andere Idee, nämlich von \((-1,0)\) das Vorzeichenkriterium anzuwenden und dann wegen der Symetrie auf die positive Seite des Intervalls zu schließen gar nicht so einfach wie zuerst gedacht und ich komme bspw. für $(-\frac{1}{3} , -\frac{2}{3})$ gar nicht weiter, da die Terme unterschiedliche Vorzeichen aufweisen und ich nicht weiß, welcher überwiegt.
Wie sollte man hier am besten Vorgehen / Welchen Ansatz sollte man verfolgen?
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Diophant
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-22
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
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\newcommand{\on}{\operatorname}
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Hallo,
um was geht es dir dabei genau:
\quoteon(2023-09-21 22:48 - Aurel im Themenstart)
...geht es mir jetzt bei derselben Funktion um die Untersuchung auf lokale Extrema:
\(f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}\)
$f(x)=\sqrt{1-x^2} \cdot \cos(\frac{3\pi x}{2})$
\quoteoff
?
Also geht es um die exakte Bestimmung solcher Extrema oder um den Nachweis ihrer Existenz?
\quoteon(2023-09-21 22:48 - Aurel im Themenstart)
Die Ableitung hatte ich berechnet als:
$ f'(x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \cos\left(\frac{3 \pi x}{2}\right) - \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{3 \pi}{2} \cdot \sin\left(\frac{3 \pi x}{2}\right) $
Einerseits glaube ich, ist es nicht so ganz ohne, die Nullstellen der Ableitung zu bestimmen, obwohl das hier sicherlich eine Möglichkeit ist, wenn man sich damit auskennt, oder?
\quoteoff
Das führt ja direkt auf die folgende Gleichung:
\[\frac{x}{x^2-1}=\frac{3}{2}\pi\cdot\tan\left(\frac{3}{2}\pi\cdot x\right)\]
Hier sehe ich keine Möglichkeit, die beiden von Null verschiedenen Stellen, an denen lokale Extrema existieren, exakt zu berechnen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Aurel
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Hallo Diophant,
wörtlich heißt es: "Untersuche $f$ auf lokale Extrema und bestimme deren Typ"
Mir geht es also schon um den exakten Nachweis, wo diese liegen und dann auch, ob dort Hochpunkt, oder Tiefpunkt vorliegt.
\quoteon(2023-09-22 09:47 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hier sehe ich keine Möglichkeit, die beiden von Null verschiedenen Stellen, an denen lokale Extrema existieren, exakt zu berechnen.
\quoteoff
Also verstehe ich dich richtig, dass du entsprechend auf die Methode des Vorzeichenkriteriums verweisen würdest?
Vielleicht noch konkret was ich unter Vorzeichenkriterium kenne: ich schaue, bei einer differenzierbaren Funktion, wo die erste Ableitung ihr Vorzeichen wechselt. An dieser Stelle liegt dann das lokale Extremum vor. Genauer betrachtet man hierbei natürlich also nur innere Punkte des Intervalls auf dem die Funktion differenzierbar ist.
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Diophant
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-22
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\quoteon(2023-09-22 10:10 - Aurel in Beitrag No. 2)
Hallo Diophant,
wörtlich heißt es: "Untersuche $f$ auf lokale Extrema und bestimme deren Typ"
Mir geht es also schon um den exakten Nachweis, wo diese liegen und dann auch, ob dort Hochpunkt, oder Tiefpunkt vorliegt.
\quoteon(2023-09-22 09:47 - Diophant in Beitrag No. 1)
Hier sehe ich keine Möglichkeit, die beiden von Null verschiedenen Stellen, an denen lokale Extrema existieren, exakt zu berechnen.
\quoteoff
Also verstehe ich dich richtig, dass du entsprechend auf die Methode des Vorzeichenkriteriums verweisen würdest?
\quoteoff
Nein, was soll das bringen? Die exakte Stelle, wo dieser Vorzeichenwechsel stattfindet, wäre ja die entsprechende Nullstelle der Ableitung, und die bekommt man eben nicht exakt (sehe ich wenigstens nicht, wie das gehen sollte). Dagegen ist es einfach nachzuweisen, dass auf den Intervallen \((-1,0)\) und \((0,1)\) jeweils ein lokales Minimum existieren muss.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Aurel
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Ich hatte gedacht, dass man das so machen könnte und dann in einem Guß damit noch abhandelt, was für ein Typ lokales Extremum vorliegt. Wenn man das so ja aber gar nicht machen kann (wie im Themenstart gesagt, bin ich da ja auch schon auf meine Grenzen gestoßen), bleibt es uns ja nur übrig, über den Zwischenwertsatz oder den Satz von Rolle die Existenz nachzuweisen.
Aber wie bestimme ich den Typ des Extremums geschickt? Was hättest du empfohlen?
Da ich die exakte Stelle ja nicht kenne, kann ich nicht einfach so in die zweite Ableitung einsetzen, aber vielleicht vereinfacht sich diese ja insofern als dass offensichtlich gilt, dass sie in dem in Frage kommenden Intervall positiv oder negativ ist.
Ansonsten fällt mir ehrlich gesagt keine andere Möglichkeit ein. Was denkst du? Übersehe ich etwas offensichtliches?
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Diophant
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-22
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Der Satz von Rolle ist schon einmal ein guter Anfang. Du musst dafür noch die Existenz von Nullstellen nachweisen (was hier ja sogar durch eine exakte Rechnung gelingt). Bei allem, was man hier macht, sollte man weiterhin die Achsensymmetrie ausnutzen.
Und dann könnte man mit Hilfe von Monotonieüberlegungen zeigen, dass die gleich Null gesetzte Ableitung (also meine Gleichung aus #1) auf \((0,1)\) genau eine Lösung besitzt, und über das Vorzeichenwechselkriterium dann noch die Art des Extremums begründen (es handelt sich um Minima).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Aurel
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Na dann mach ich mich mal dran und melde mich dann wieder :)
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Aurel
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Hallo, da bin ich wieder,
ich schreibe hier einfach meinen Denkprozess auf, wie ich auf die (anscheinende) Lösung gekommen bin.
Part 1: Nullstellennachweis, der Satz von Rolle und der Eindeutigkeitsnachweis für \((-1,-\frac{1}{3})\)
wir müssen herausfinden, wo die Funktion \(f\) die Eigenschaft \(f(a)=f(b)\) für Punkte \(a,b\) aus \((-1,0)\) erfüllt.
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Kurze Schilderung meiner Gedanken ab diesem Punkt:
Erst mal ist IMO gar nicht unbedingt klar, dass \(f(a)=f(b)\stackrel{!}{=}
0\) gesucht ist.
Meinem Verständnis nach wurde man aber (siehe vorheriger Post wo ich verlinkt habe im Themenstart) auf die 0 gehievt und irgendwie macht es auch Sinn wegen den verketteten \(sin,cos\) Funktionen zu schauen, wo die prominenten Werte angenommen werden, weil was anderes hat man ja auch gar. Es wird dann auf diesem Weg (zumindest mir) klar.
---> gerne eine andere Idee oder natürlich Korrektur dazu geben.
---------------------------------------------------------------------------------------------------
dann ist offenbar \(f\) stetig fortsetzbar mit \(\tilde{f}(-1)=0\) in \(x=-1\) und es ist dann auch schnell erkannt (also zumindest wenn man die Werte auswendig im Kopf hat), dass:
$$0=\sqrt{1-x^2}\cdot \cos(\frac{3\pi}{2}\cdot x)$$
auf \((-1,0)\) nur die Lösung \(x=-\frac{1}{3}\) besitzt.
Dann gilt (für die stetig fortgesetzte Funktion $\tilde{f})$ dass für das kompakte Intervall $[-1,-\frac{1}{3}]$ die Gleichheit \(\tilde{f}(-1)=\tilde{f}(-\frac{1}{3})=0\) erfüllt ist.
Außerdem ist ja $\tilde{f}$ stetig, was wir vorher schon nachgewiesen hatten.
Damit ist der Satz von Rolle anwendbar und man weiß, dass ein \(c\in(-1,-\frac{1}{3})\) existiert, mit der Eigenschaft, dass \(\tilde{f}(c)=0\)
Jetzt wissen wir, dass es mindestens ein Extremum auf \((-1,-\frac{1}{3})\) gibt.
Wegen der Symetrie wissen wir das sogar für $(\frac{1}{3},1)$.
Jetzt wollen wir noch die Eindeutigkeit der Extrema beweisen. Dafür muss man die Ableitung untersuchen und schauen, ob es mehrere Lösungen oder nur eine geben kann:
\[\frac{x}{x^2-1}=\frac{3}{2}\pi\cdot\tan\left(\frac{3}{2}\pi\cdot x\right)=\frac{3}{2}\pi\cdot\ \frac{\sin\left(\frac{3}{2}\pi\cdot x\right)}{\cos\left(\frac{3}{2}\pi\cdot x\right)}\]
ich hab den Tangens wieder umgeschrieben, weil mir das persönlich so leichter gefallen ist, die Monotonie zu sehen (nur zum Verständnis war um ich das hier so mache).
Man erkennt: die rechte Seite der Gleichung ist monoton wachsend auf $(-1,-\frac{1}{3})$, während die linke Seite offenbar monoton fallend ist.
Damit kann es hier maximal einen Schnittpunkt der auf diesem Intervall stetigen Funktionen geben bzw. nur eine Lösung der Gleichung / Nullstelle der Ableitung.
Mit diesem Wissen kann man nun auch direkt die Art des Extremums bestimmen, denn wenn die Ableitung auf \((-1,0) \)nur ein einziges mal null wird, dann muss sie links und rechts des Extremums vorzeichentreu sein.
Eine Auswertung der Ableitung liefert dann bspw. (auch hier nehme ich die aus der Vorarbeit bekannte stetige Fortsetzung der Ableitung zur Hilfe):
\(f'(-1)=0\) und \(f'(-\frac{1}{3})>0\) dann muss ein Minimum vorliegen.
Wegen der Symetrie liegt auch ein Minimum auf \((\frac{1}{3},1)\) vor.
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Part 2: Das Extremum in \(x=0\) und was passiert in \((-1,-\frac{1}{3})\)?:
Offenbar gilt \(f'(x)≥0\) für $x \in (-\frac{1}{3},0) , das meine ich zumindest, wenn ich mir die Ableitung anschaue. Damit kann dann also nix wildes passieren zwischendrin und die Funktion steigt.
Einen Sattelpunkt würde man aber so nicht ausgeschlossen bekommen (auch wenn das an der Stelle die Aufgabe nicht interessiert), oder?
Wegen der Achsensymetrie von \(\tilde{f}\) ist für \(x \in (0,\frac{1}{3})\) dann analog \(f'(x)≤0\)
Man sieht, dass \(x=0\) auch Nullstelle von \(f'\) ist.
Da \(0 \in (-1,1)\) innerer Punkt ist und \(\tilde{f}\) stetig ist, liegt auch hier ein Extremum vor.
Mit der Vorüberlegung ergibt sich dann auch, dass das ein Maximum sein muss.
Fertig(?).
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-09-22
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Hallo,
ich habe gerade nicht so viel Zeit, daher ein paar kurze Anmerkungen.
\quoteon(2023-09-22 17:31 - Aurel in Beitrag No. 7)
Part 1: Nullstellennachweis, der Satz von Rolle und der Eindeutigkeitsnachweis für \((-1,-\frac{1}{3})\)
wir müssen herausfinden, wo die Funktion \(f\) die Eigenschaft \(f(a)=f(b)\) für Punkte \(a,b\) aus \((-1,0)\) erfüllt.
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Kurze Schilderung meiner Gedanken ab diesem Punkt:
Erst mal ist IMO gar nicht unbedingt klar, dass \(f(a)=f(b)\stackrel{!}{=}
0\) gesucht ist.
\quoteoff
Nein, aber es ist naheliegend. Man kann deine Funktion durch \(f(\pm 1)=0\) stetig fortsetzen, und die Nullstellen bei \(\pm\frac{1}{3}\) sind leicht auszurechnen. Weiter liegen die Minima offensichtlich zwischen diesen Nullstellenpaaren.
\quoteon(2023-09-22 17:31 - Aurel in Beitrag No. 7)
Meinem Verständnis nach wurde man aber (siehe vorheriger Post wo ich verlinkt habe im Themenstart) auf die 0 gehievt und irgendwie macht es auch Sinn wegen den verketteten \(sin,cos\) Funktionen zu schauen, wo die prominenten Werte angenommen werden, weil was anderes hat man ja auch gar. Es wird dann auf diesem Weg (zumindest mir) klar.
---> gerne eine andere Idee oder natürlich Korrektur dazu geben.
---------------------------------------------------------------------------------------------------
dann ist offenbar \(f\) stetig fortsetzbar mit \(\tilde{f}(-1)=0\) in \(x=-1\) und es ist dann auch schnell erkannt (also zumindest wenn man die Werte auswendig im Kopf hat), dass:
$$0=\sqrt{1-x^2}\cdot \cos(\frac{3\pi}{2}\cdot x)$$
auf \((-1,0)\) nur die Lösung \(x=-\frac{1}{3}\) besitzt.
Dann gilt (für die stetig fortgesetzte Funktion $\tilde{f})$ dass für das kompakte Intervall $[-1,-\frac{1}{3}]$ die Gleichheit \(\tilde{f}(-1)=\tilde{f}(-\frac{1}{3})=0\) erfüllt ist.
Außerdem ist ja $\tilde{f}$ stetig, was wir vorher schon nachgewiesen hatten.
Damit ist der Satz von Rolle anwendbar und man weiß, dass ein \(c\in(-1,-\frac{1}{3})\) existiert, mit der Eigenschaft, dass \(\tilde{f}(c)=0\)
\quoteoff
Genau, das meinte ich.
\quoteon(2023-09-22 17:31 - Aurel in Beitrag No. 7)
Jetzt wissen wir, dass es mindestens ein Extremum auf \((-1,-\frac{1}{3})\) gibt.
Wegen der Symetrie wissen wir das sogar für $(\frac{1}{3},1)$.
Jetzt wollen wir noch die Eindeutigkeit der Extrema beweisen. Dafür muss man die Ableitung untersuchen und schauen, ob es mehrere Lösungen oder nur eine geben kann:
\[\frac{x}{x^2-1}=\frac{3}{2}\pi\cdot\tan\left(\frac{3}{2}\pi\cdot x\right)=\frac{3}{2}\pi\cdot\ \frac{\sin\left(\frac{3}{2}\pi\cdot x\right)}{\cos\left(\frac{3}{2}\pi\cdot x\right)}\]
ich hab den Tangens wieder umgeschrieben, weil mir das persönlich so leichter gefallen ist, die Monotonie zu sehen (nur zum Verständnis war um ich das hier so mache).
Man erkennt: die rechte Seite der Gleichung ist monoton wachsend auf $(-1,-\frac{1}{3})$, während die linke Seite offenbar monoton fallend ist.
Damit kann es hier maximal einen Schnittpunkt der auf diesem Intervall stetigen Funktionen geben bzw. nur eine Lösung der Gleichung / Nullstelle der Ableitung.
Mit diesem Wissen kann man nun auch direkt die Art des Extremums bestimmen, denn wenn die Ableitung auf \((-1,0) \)nur ein einziges mal null wird, dann muss sie links und rechts des Extremums vorzeichentreu sein.
Eine Auswertung der Ableitung liefert dann bspw. (auch hier nehme ich die aus der Vorarbeit bekannte stetige Fortsetzung der Ableitung zur Hilfe):
\(f'(-1)=0\) und \(f'(-\frac{1}{3})>0\) dann muss ein Minimum vorliegen.
Wegen der Symetrie liegt auch ein Minimum auf \((\frac{1}{3},1)\) vor.
Damit ist der Satz von Rolle anwendbar und man weiß, dass ein \(c\in(-1,-\frac{1}{3})\) existiert, mit der Eigenschaft, dass \(\tilde{f}(c)=0\)
\quoteoff
Ja, genau. Wobei das bis hierhein schon ziemlich episch dargelegt ist. 😉
\quoteon(2023-09-22 17:31 - Aurel in Beitrag No. 7)
Part 2: Das Extremum in \(x=0\) und was passiert in \((-1,-\frac{1}{3})\)?:
\quoteoff
Das ist schnell beantwortet: das Extremum an der Stelle \(x=0\) bekommt man auf dem klassischen Weg, an den Stellen \(\pm 1\) hat man Randextrema (die man meiner Kenntnis nach nicht zu den lokalen Extrema rechnet), die Stellen \(x=\pm\frac{1}{3}\) sind schlicht und einfach Nullstellen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Aurel
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Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 115
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Ok, danke für die Anmerkungen schon mal. Ich warte mit dem abhaken noch mal kurz, falls sich noch was ergibt.
Ich würde jetzt grob entnehmen, dass das zwar sehr episch formuliert ist :D aber sonst passt.
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-09-22
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\quoteon(2023-09-22 18:20 - Aurel in Beitrag No. 9)
Ich würde jetzt grob entnehmen, dass das zwar sehr episch formuliert ist :D aber sonst passt.
\quoteoff
So hatte ich es gemeint, genau. 🙂
Inwiefern man die fraglichen Monotonie-Eigenschaften einfach voraussetzen darf oder nachweisen muss, das müsstest du selbst entscheiden. Konkret könnte man das für den rationalen Term links durch die Ableitung zeigen und beim Tangensterm zwar die bekannte Monotonieeigenschaft der Tangensfunktion heranziehen, aber noch kurz zeigen, dass der Ast um den es geht sich über das Intervall \((1/3,1)\) erstreckt, so dass die senkrechte Asymptote bei \(x=1\) in unserem Intervall keinerlei Probleme machen kann. Denn wenn diese Asymptote innerhalb unseres Intervalls liegen würde, könnte es dort noch weitere Äste der Tangensfunktion und damit weitere Lösungen geben.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Aurel
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Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 115
| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Sehr guter Punkt, danke! Da war ich nämlich dann doch zu schluderig unterwegs.
Ich würde dann schließen. Falls noch etwas auffällt, gerne melden :)
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Aurel hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Aurel hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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