MP: Hauptzweig einer komplexen Wurzel (Forum Matroids Matheplanet)

Gegeben: $z^n =a$, mit $ z\in\mathbb{C},~ a\in\mathbb{C}\backslash \{0\},~ n\in\mathbb{N} $. Gesucht: Lösungen $z_k$ mit $k=0,1,\dots, n-1$. (1) Ermittle Betrag und Argument von $a =|a|e^{\arg(a) i} =z^n;$ also $|a| =\sqrt{ \bigl( \mathrm{Re}(a) \bigr)^2 +\bigl( \mathrm{Im}(a) \bigr)^2 } $ und $ \arg(a) = \begin{cases} \pi & \text{für}~ a\in\mathbb{R}_{<0} \\ 2\,\arctan\left(\dfrac{\mathrm{Im}(a)}{\mathrm{Re}(a)+|a|}\right) &\text{sonst} \end{cases}$ (siehe im genannten Link). (2) Berechne $\sqrt[n]{|a|} e^{\frac{\arg(a)}{n} i}$ und substituiere $ w =\dfrac{z}{\sqrt[n]{|a|} e^{\frac{\arg(a)}{n} i}} $ in $ 1 =\dfrac{z^n}{a} =\dfrac{z^n}{|a|e^{i\arg(a)}} =\left( \dfrac{z}{\sqrt[n]{|a|}\, e^{\frac{\arg(a)}{n} i}} \right)^n =w^n.$ (3) Löse das Einheitswurzelproblem $ w^n =1;$ mit anderen Worten, ermittle die Einheitswurzeln $ w_k =e^{\frac{2\pi k}{n}i} $ mit $k=0,1,\dots, n-1.$ \showon

Theorie dazu (oder in beliebigem passenden Lehrwerk oder Skript nachschlagen). Satz (Einheitswurzelproblem): $\varepsilon^{n}= 1$ ("Kreisteilungsgleichung"), mit $n\in\mathbb{N}$ und $\varepsilon \in\mathbb{C}$, hat die $n$ verschiedenen Lösungen $ \varepsilon_k = e^{\frac{2\pi k}{n}i},~~\text{mit}~ k=0,1,2,\dots,n-1.$ Beweis: Ansatz: $\varepsilon^{n} =1 =e^{k\, 2\pi i} ~\text{ mit } k \in \mathbb{Z} \Rightarrow \varepsilon_k = e^{\frac{2 \pi k}{n} \, i }$. Das heißt unendlich viele Lösungen $\varepsilon_k$. $\Rightarrow$ Welche Lösungen sind verschieden, welche äquivalent-gleich? Sei $p\in\mathbb{Z}.$ Betrachte $\varepsilon_{p + n} =e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot (p+n) } =e^{\frac{2 \pi i}{n} \cdot p } \cdot \underbrace{e^{2 \pi i} }_{= 1}.$ Also $\varepsilon_p = \varepsilon_{p + n}.$ Damit hat man also folgende Einteilung der (unendlich vielen) Lösungen: $\newcommand\cvdots{\hfill\vdots\hfill} \begin{array}{c l l c l l c} \ldots & \varepsilon_{-2n} =\varepsilon_{-n} =\varepsilon_0 & \varepsilon_{-n} =\varepsilon_0 & \boldsymbol{\varepsilon_0} & \varepsilon_n = \varepsilon_0 & \varepsilon_{2n} = \varepsilon_n = \varepsilon_0 & \ldots \\ \ldots & \varepsilon_{-2n+1} =\varepsilon_{-n+1} =\varepsilon_1 & \varepsilon_{-n+1} =\varepsilon_1 & \boldsymbol{\varepsilon_1} & \varepsilon_{n+1} = \varepsilon_1 & \varepsilon_{2n+1} = \varepsilon_{n+1} = \varepsilon_1 & \ldots \\ \ldots & \varepsilon_{-2n+2} =\varepsilon_{-n+2} =\varepsilon_2 & \varepsilon_{-n+2} =\varepsilon_2 & \boldsymbol{\varepsilon_2} & \varepsilon_{n+2} = \varepsilon_2 & \varepsilon_{2n+2} = \varepsilon_{n+2} = \varepsilon_2 & \ldots \\ \cvdots & \cvdots & \cvdots & \vdots & \cvdots & \cvdots & \cvdots \\ \ldots & \varepsilon_{-n-1} =\varepsilon_{-1} =\varepsilon_{n-1} & \varepsilon_{-1} =\varepsilon_{n-1} & \boldsymbol{\varepsilon_{n-1}} & \varepsilon_{2n-1} = \varepsilon_{n-1} & \varepsilon_{3n-1}=\varepsilon_{2n-1}=\varepsilon_{n-1} & \ldots \end{array}$ wobei Lösungen der selben Zeile gleich, Lösungen der selben Spalte verschieden sind. Man wählt üblicherweise den Satz Lösungen mit den kleinsten nichtnegativen Indizes als Repräsentant: $\varepsilon_0, \varepsilon_1, \dots, \varepsilon_{n-1}$ ("Einheitswurzeln").

\showoff (4) Rücksubstitution $ z_k =\sqrt[n]{|a|}\, e^{\frac{\arg(a)}{n} i} \cdot w_k $ mit $k=0,1,\dots, n-1$. Je nach Kompliziertheit des Ausdrucks ist es zweckmäßig, die $w_k$ aus (3) in Polarform ermittelt zu haben.

Anwendungsbeispiel $z^2=i$ (das heißt $n=2$ und $a=i$): (1) $|i|=1$, $\arg(i)=\frac{\pi}{2}$ bzw. $i =e^{\frac{\pi}{2} i} $ (2) $\sqrt{|i|}\, e^{\frac{\arg(i)}{2} i} =1\cdot e^{\frac{\pi/2}{2} i} =e^{\frac{\pi}{4} i}$ und $w %=\dfrac{z}{e^{\frac{\pi/2}{2}}i} =\dfrac{z}{e^{\frac{\pi}{4}i}} $ in $ 1 =\dfrac{z^2}{i} =\dfrac{z^2}{ e^{i\frac{\pi}{2}} } =\left( \dfrac{z}{ e^{i\frac{\pi}{4}} } \right)^2 =w^2 $ (3) $w^2=1~~ \Rightarrow~ w_k =e^{\frac{2\pi k}{2}i},~\text{mit}~ k=0,1 $ $\Rightarrow$ $w_0 =1$ $w_1 =e^{\pi i}$ (4) $z_k =e^{\frac{\pi}{4}i}\cdot w_k,~\text{mit}~ k=0,1.$ $\Rightarrow$ $z_0 =e^{\frac{\pi}{4} i} \cdot w_0 =e^{\frac{\pi}{4} i} \cdot 1 =\cos\left( \frac{\pi}{4} \right) +i\sin\left( \frac{\pi}{4} \right) =\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} =z_0$ $z_1 =e^{\frac{\pi}{4} i} \cdot w_1 =e^{\frac{\pi}{4} i}\cdot e^{\pi i} =e^{\frac{5\pi}{4}i} =\cos\left( \frac{5\pi}{4} \right) +i\sin\left( \frac{5\pi}{4} \right) =-\frac{\sqrt{2}}{2} -i\frac{\sqrt{2}}{2} =z_1$