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  Zeige, dass f beliebig oft differenzierbar ist |
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LadiesMan217
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Dabei seit: 19.07.2023
Mitteilungen: 26
 |  Themenstart: 2023-09-22
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Hallo,
es soll gezeigt werden, dass $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ beliebig oft differenzierbar ist.
$$
f(x) =
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x}} & \text{für } x > 0 \\
0 & \text{für } x \leq 0
\end{cases}
$$
Also ich hätte das über einen Induktionsbeweis probiert.
Der konstante Abschnitt \(f \equiv 0\) bereitet keine Probleme, allerdings ist die verschachtelte e-Funktion problematisch und auch nicht direkt klar, ob Differenzierbarkeit in \(x=0\) vorliegt.
Meine Idee war es zuerst gesondert zu zeigen, dass für \(x>0\) die Funktion \(e^{-\frac{1}{x}}\) beliebig oft differenzierbar ist.
Der Induktionsanfang klappt.
Nur was ist eigentlich Induktionsvoraussetzung? Um dann den Induktionsschritt durchzuführen, würde ich doch erst einmal eine allgemeine Ableitungsdarstellung für die n-te Ableitung von der Funktion benötigen, oder?
Falls ja: da wir das nicht hatten, würde es mich etwas wundern, wenn das vorausgesetzt wird in der Aufgabe (allerdings will ich andererseits eben nicht ausschließen, dass man das halt selber recherchieren soll - warum auch nicht). In jedem Fall hat mich das davon abgehalten den Ansatz so zu verfolgen und ich wollte erst mal hier nachfragen.
Falls nein: ich komme nicht drauf, wie man das umgeht so eine explizite Formel zu haben. Es wird ja in jedem Fall etwas von der Form \(e^{-\frac{1}{x}} \cdot T(x)\) rauskommen, wobei \(T(x)\) eine Polynomfunktion ist. Aber jetzt mit einer dubiosen Polynomfunktion zu arbeiten, kommt mir falsch vor.
Näher kann man die aber nicht spezifizieren, was mich dann doch wieder auf den obigen Pfad bringt.
Deshalb wollte ich mal fragen, wie man die Sache hier anpacken sollte.
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2791
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
zu dieser Funktion und Fragestellung gibt es bereits unzählige Threads hier auf dem Matheplaneten. Du kannst und solltest auch die Suchfunktion des Forums nutzen.
Wie dem auch sei: als Behauptung kann man $f^{(n)}(x)=p_n(\tfrac 1x)\cdot\e^{-\tfrac 1x}$ für bestimmte Polynome $p_n$ für $x>0$ und $f^{(n)}(x)=0$ für $x\leq 0$ aufstellen. Das kann man nun durch eine Induktion zeigen.
LG Nico\(\endgroup\)
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LadiesMan217
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Dabei seit: 19.07.2023
Mitteilungen: 26
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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LadiesMan217 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
LadiesMan217 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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