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  Differentialgleichung von Welle mit Nebenbedingungen |
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elia2
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 |  Themenstart: 2023-09-24
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Hey zusammen
Folgende Aufgabe:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_teil_5.png
Ich denke, dass ich Aufgabe a) soweit hinbekommen habe:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_Teil_6.jpg
Nun stecke ich aber bei Aufgabe b) fest:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_Teil_7.jpg
Ich habe am Schluss offensichtlich eine falsche Aussage.
Ich denke nämlich, dass ich, damit ich die richtige Lösung erhalte in der DGL nicht -lambda..., sondern +lambda... bekommen sollte. Denn Lambda ist gemäss der zu erhaltenden Lösung (für den cos-Term n^2*c^2) ja positiv. Und was ich auch nicht ganz verstehe: In a) erhalte ich einen Bruch der jeweils anderen Funktion als lambda, weshalb ist es dann aber letztendlich so "schön" c^2n^2?
Ich hoffe, mir kann da jemand helfen.
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zippy
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-24
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\quoteon(2023-09-24 12:29 - elia2 im Themenstart)
Denn Lambda ist gemäss der zu erhaltenden Lösung (für den cos-Term n^2*c^2) ja positiv.
\quoteoff
Das solltest du dir nochmal genauer anschauen.
--zippy
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elia2
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24
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Ich verstehe nicht ganz? Durch zweifache Ableitung kommt aus dem Cosinus ja n^2c^2 raus, und das ist als Produkt zweier positiver (Quadrat-)zahlen auch positiv. Natürlich habe ich noch den Vorzeichenwechsel des Cosinus, aber der hilft ja nicht:
w(t)=cos(cnt)
w''(t)=-c^2n^2cos(cnt)
w''(t)-\(\lambda\)w(t)=-c^2n^2cos(cnt)-\(\lambda\)cos(cnt)=0
Also ist das lambda dann -n^2c^2, also negativ?
Aber jetzt mal abgesehen davon: Das Resultat unten dient ja nur "zur Kontrolle". A priori weiss ich noch nicht, welches Vorzeichen der Quotient aus a), den ich mit Lambda benannt habe, hat. Und erst recht nicht, dass er den Wert -c^2n^2 annimmt. Wie erkläre ich mir das in diesem Fall?
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zippy
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-24
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\quoteon(2023-09-24 12:52 - elia2 in Beitrag No. 2)
Also ist das lambda dann -n^2c^2, also negativ?
\quoteoff
Ja.
\quoteon(2023-09-24 12:52 - elia2 in Beitrag No. 2)
A priori weiss ich noch nicht, welches Vorzeichen der Quotient aus a), den ich mit Lambda benannt habe, hat.
\quoteoff
Deswegen musst du die drei Fälle $\lambda>0$, $\lambda=0$ und $\lambda<0$ unterscheiden. Erst wenn du in Teil b) die Randbedingungen berücksichtigst, weißt du, dass der dritte Fall vorliegt.
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elia2
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24
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Achso, das macht Sinn. Dann versuche ich es mal so. Danke dir, zippy!
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elia2
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-27
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Hallo zippy
Leider stehe ich wieder vor demselben Problem, trotz Fallunterscheidung:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_Teil_10.jpg
Ich erhalte zuletzt wieder eine Gleichung, die es mir nicht ermöglicht, C1 zu bestimmen...
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zippy
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-09-27
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\quoteon(2023-09-27 08:42 - elia2 in Beitrag No. 5)
Ich erhalte zuletzt wieder eine Gleichung, die es mir nicht ermöglicht, C1 zu bestimmen...
\quoteoff
Aus dieser Gleichung bestimmst du auch nicht $C_1$, sondern die möglichen Werte von $\alpha$.
Dabei solltest du beachten, dass es sich bei $v$ wegen $C_1=-C_2$ umd das Vielfache eines Sinus handelt.
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elia2
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-27
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Darauf bin ich mittlerweile gekommen, danke! Aber wieso denn das? Normalerweise bestimmt man ja durch die Anfangsbedingungen die Vorfaktoren...
Wenn ich das Ergebnis am Schluss aufstelle und die Eulerformel anwenden würde, würde ich 2i*sin(...) erhalten..., aber gem. Aufgabenstellung sollen die Vorfaktoren doch reell sein.
Bei der DGL für w(t) habe ich mal \(c^2\lambda\) der Einfachheit halber durch \(\beta\) ersetzt. Nun will ich wieder die 3 Fälle wie oben unterscheiden. Für \(\beta=0 (\Rightarrow \lambda=0)\), erhalte ich eine Summe von zwei Konstanten. Kann es sein, dass dies sogar die Anfangsbedingungen in Aufgabe b) auch erfüllen würde? (Klar, die in der Aufgabenstellung oben mit \(sin^3(x)\) natürlich nicht.)
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zippy
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-09-27
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\quoteon(2023-09-27 11:47 - elia2 in Beitrag No. 7)
Normalerweise bestimmt man ja durch die Anfangsbedingungen die Vorfaktoren...
\quoteoff
Die Rand- und Anfangsbedingungen legen die freien Parameter fest. Die Randbedingung, die du jetzt betrachtet hast, liefert dir die möglichen werte von $\alpha$, aber es gibt ja noch mehr Bedingungen, und die kümmern sich auch um $C_1$.
\quoteon(2023-09-27 11:47 - elia2 in Beitrag No. 7)
aber gem. Aufgabenstellung sollen die Vorfaktoren doch reell sein.
\quoteoff
Dass bei dir zwischendurch komplexe Zahlen auftauchen, liegt daran, dass du $v$ einfach als Linearkombination von komplexen Exponentialfunktionen angesetzt hast statt als Linearkombination von Sinus und Cosinus.
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elia2
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-27
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\quoteon(2023-09-27 12:50 - zippy in Beitrag No. 8)
Dass bei dir zwischendurch komplexe Zahlen auftauchen, liegt daran, dass du $v$ einfach als Linearkombination von komplexen Exponentialfunktionen angesetzt hast statt als Linearkombination von Sinus und Cosinus.
\quoteoff
Aber ich habe die dann doch nicht nur zwischendurch, sondern eben in meinem Ergebnis für v(x). Nämlich 2i sin(....). Und gem. Aufgabenteil b) soll 1. An reell sein und 2. soll An gem. Notation von n abhängen und diese Abhängigkeit sehe ich noch nicht ganz, die kam bei mir ja nicht raus.
\quoteon(2023-09-27 11:47 - elia2 in Beitrag No. 7)
Bei der DGL für w(t) habe ich mal \(c^2\lambda\) der Einfachheit halber durch \(\beta\) ersetzt. Nun will ich wieder die 3 Fälle wie oben unterscheiden. Für \(\beta=0 (\Rightarrow \lambda=0)\), erhalte ich eine Summe von zwei Konstanten. Kann es sein, dass dies sogar die Anfangsbedingungen in Aufgabe b) auch erfüllen würde? (Klar, die in der Aufgabenstellung oben mit \(sin^3(x)\) natürlich nicht.)
\quoteoff
Und weisst du hier etwas dazu? Oder habe ich dort einen Fehler gemacht?
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zippy
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-09-27
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\quoteon(2023-09-27 15:20 - elia2 in Beitrag No. 9)
Aber ich habe die dann doch nicht nur zwischendurch, sondern eben in meinem Ergebnis für v(x). Nämlich 2i sin(....).
\quoteoff
Du hast mit deinem Ansatz $v(x)=
C_1\exp(i\sqrt\alpha\,x)+C_2\exp(-i\sqrt\alpha\,x)$ die komplexen Zahlen in deine Rechnung eingeladen und musst sie durch komplexe Werte von $C_1$ und $C_2$ wieder loswerden. Im Endergebnis ist dann wieder alles reell, so wie es die Aufgabe von dir verlangt.
Du kannst dir den Ausflug ins Komplexe auch einfach sparen, indem du mit dem rein reellen Ansatz $v(x)=C_1\sin(\sqrt\alpha\,x)+C_2\cos(\sqrt\alpha\,x)$ startest (die $C_i$ sind hier nicht dieselben Parameter wie in deinem Ansatz).
\quoteon(2023-09-27 15:20 - elia2 in Beitrag No. 9)
Nun will ich wieder die 3 Fälle wie oben unterscheiden.
\quoteoff
Warum willst du das? Du weißt doch schon, dass der Fall $\beta<0$ vorliegt.
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elia2
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-27
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Mir ist bewusst, dass ich durch passende C1 und C2 den Vorfaktor wieder reell kriegen könnte. Aber die Aufgabenstellung an und für sich verlangt das ja nicht (es wird nicht explizit nach einer reellen Lösung gefragt). Es heisst nur, ich soll zeigen, dass die Lösungen diese Form haben müssen. Müssen heisst für mich, dass es gar nicht anders geht.
Aber meine Rechnung zeigt scheinbar, dass es doch geht.
Auch erhalte ich keine n-Abhängigkeit des Koeffizienten, was ich schlussendlich aber haben müsste.
Der Grund, warum ich mit dem eulerschen Ansatz gerechnet habe ist, dass wir das eben so gelernt haben und ich dort durch das char. Polynom einen "fixen Rechenweg" habe und nicht einfach einen Ansatz erraten muss.
Woher soll ich denn wissen, dass \(\beta<0\) gilt? Die \(\lambda\)s aus der ersten und zweiten Gleichung (für v und w) sind ja nicht dieselben, dann muss ich doch für jedes Lambda bzw. jede Gleichung die Fälle prüfen, oder nicht?
Aber mich verwirrt nach wie vor, dass für w(t) eine Summe von konstanten die Anfangsbedingungen zu erfüllen scheinen...
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zippy
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-09-27
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\quoteon(2023-09-27 23:10 - elia2 in Beitrag No. 11)
Aber die Aufgabenstellung an und für sich verlangt das ja nicht (es wird nicht explizit nach einer reellen Lösung gefragt).
\quoteoff
Es wird auch nicht explizit gesagt, das $\sin$ für den Sinus und $\pi$ für die gleichnamige Kreiszahl steht, aber dennoch kann man ahnen, dass das gemeint ist.
\quoteon(2023-09-27 23:10 - elia2 in Beitrag No. 11)
Die \(\lambda\)s aus der ersten und zweiten Gleichung (für v und w) sind ja nicht dieselben
\quoteoff
Es sind dieselben, sonst hätte man sie nicht beide $\lambda$ genannt.
Wenn dir das nicht klar ist, solltest du dich nochmal mit Teil a) beschäftigen.
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elia2
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-28
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Hmm, also ich sehe nicht ganz, wieso die Aufgabe implizit eine reelle Lösung verlangen soll. Es handelt sich nämlich nicht um ein bestimmtes physikalisches Problem, sondern einfach um die Lösung einer Wellengleichung.
Ganz oben habe ich Teilaufgabe a) angehängt und da erhalte ich \(\lambda\) als einen Quotienten von Funktionswert und Ableitung, was sagt mir denn nun, dass diese übereinstimmen müssen?
EDIT: Dass die Lambdas übereinstimmen müssen, verstehe ich nun. Aber ich hätte an und für sich ja auch zuerst die Gleichung für w statt v lösen können, dann hätte ich nicht im Vornherein gewusst, dass \(\lambda<0\) gilt und \(\lambda=0\) hätte das Problem für w auch erfüllt
Ich bin nun also am Punkt, wo ich die Lösung als \(u(x,t)=v(x)w(t)=C*cos(nct)sin(nx), C\in\mathbb{C}\) habe, erfüllt für ein beliebiges C. Nun bleibt also noch die Frage, wie ich die Abhängigkeit von n des Koeffizienten erhalte.
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zippy
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| Beitrag No.14, eingetragen 2023-09-28
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\quoteon(2023-09-28 08:51 - elia2 in Beitrag No. 13)
Nun bleibt also noch die Frage, wie ich die Abhängigkeit von n des Koeffizienten erhalte.
\quoteoff
Was meinst du damit? Was möchtest du in Abhängigkeit von was ausrechnen?
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elia2
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-28
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Das zu erhaltende Ergebnis ist gem. Aufgabenstellung
\(A_n cos(nct)sin(nx)\)
Der Index \(_n\) der Amplitude indiziert, dass dieser Faktor von n abhängt. Dies erhalte ich aber aus meiner Rechnung nicht, ich erhalte, dass ich als Amplitude jede beliebige komplexe Zahl einsetzen kann und die Funktion die Differentialgleichung trotzdem noch erfüllt.
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zippy
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| Beitrag No.16, eingetragen 2023-09-28
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\quoteon(2023-09-28 12:19 - elia2 in Beitrag No. 15)
Der Index \(_n\) der Amplitude indiziert, dass dieser Faktor von n abhängt.
\quoteoff
Der Index $n$ soll nur andeuten, dass du für jedes $n$ einen anderen Vorfaktor $A_n$ wählen kannst. Das wird eine Rolle spielen, sobald du die in Teil b) noch nicht abgedeckte Randbedingung durch den Ansatz $u=\sum_nu_n$ berücksichtigen willst.
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elia2
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-28
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Achso, ja dann passt es!
Danke dir!
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elia2 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
elia2 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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