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  Levi-Civita-Symbol auf Determinante angewendet |
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elia2
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Hallo zusammen
Bei dieser Notation:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56207_Teil_8.png
verstehe ich den Sinn nicht ganz. Die Determinante ist eine einfache Zahl, was macht es für einen Sinn, da das Levi-Civita-Symbol drauf anzuwenden? Es gibt ja gar keine Variablen...
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
$i,j,k$ sind in dieser Diskussion irgendwelche festen Indizes. Da wird also einfach $\det(M)$ mit $-1,0$ oder $1$ multipliziert, je nachdem, was $i,j$ und $k$ genau sind.
LG Nico\(\endgroup\)
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elia2
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24
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Achso, ja dann macht es mehr Sinn.
Was ich aber nicht ganz einsehe: Mir ist bewusst, dass wenn i, j und k (=Spalten) nicht alle paarweise verschieden sind, dann muss es 0 ergeben.
Aber ich kann mich damals bei der Einführung der Determinante nicht daran erinnern, dass es auf die Reihenfolge der Spalten ankam, also dass es zum Fall -1 kommen kann, denn die Determinante ist die Summe über alle Produkte mit entsprechendem Signum des jeweiligen Produkts.
Oder kurz: Wenn ich die Fälle mit Epsilon=0 rausnehme, entspricht das Epsilon doch genau dem Signum und dann hätte ich die Determinante. Warum kann es dann noch zum Fall -det(M) kommen?
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Natürlich kommt es auf die Reihenfolge an. Die Determinante ist als Funktion der Spalten eine alternierende Multilinearform (denk an unseren Thread über das Tensorprodukt und das äußere Produkt). Zum Beispiel in der Leibniz-Formel für die Determinante taucht deshalb immer noch das Signum der jeweiligen Permutation auf. Für eine ONB $e_1,e_2,e_3$ ist gerade $\epsilon_{ijk}=\det(e_i,e_j,e_k)$.
LG Nico\(\endgroup\)
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elia2
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24
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Dass es auf die Reihenfolge an sich ankommt, ist mir durchaus bewusst. Aber eben: Wird das nicht durch das Epsilon links vom Gleichheitszeichen berücksichtigt (, das die Funktion des Signum übernimmt) und dann sollte doch rechts die Determinante herauskommen?
Also vielleicht ist meine Frage etwas missverständlich formuliert. Wenn wir uns zum Beispiel die Leibnizformel anschauen, dann sind doch folgende Ausdrücke wegen Kommutativität der Mult. im Körper gleichwertig:
\[\sum\limits_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)A_{1,\sigma(1)}*A_{2,\sigma(2)}*\cdots *A_{n,\sigma(n)}\\=\sum\limits_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)A_{2,\sigma(2)}*A_{1,\sigma(1)}*\cdots *A_{n,\sigma(n)}\]
(Vertauschung der Produktfaktoren)
Und dann müssten doch auch die Ausdrücke in der Formel mit der Levi-Civita-Symbolik gleichwertig sein, oder vertausche ich etwas?
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
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\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Was du sagst wäre richtig, wenn $i=1,j=2$ und $k=3$ sind. Sind sie hier aber nicht; daher noch das zusätzliche Levi-Civita-Symbol.
Nachtrag wegen deinem Edit: Dass die Formel ohne das zusätzliche Levi-Civita-Symbol nicht unbedingt richtig ist, siehst du doch zum Beispiel daran, wenn du $i=j=k=1$ setzt. Dann ist die Summe $0$, aber die Determinante von $M$ kann ja jeden beliebigen Wert haben.
LG Nico\(\endgroup\)
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elia2
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24
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Dieser Fall ist mir bewusst (siehe Post 2).
Es geht mehr um den Fall mit -1.
Denn es wirkt für mich so, dass ich im Vergleich i=1, j=2, k=3 und i=1, j=3, k=2 nur die Reihenfolge der Faktoren im Produkt vertausche, die verwendeten Einträge (und somit doch auch die Permutationen mit ihrem Signum) wären doch identisch.
Sorry, ich glaube ich stelle mich hier gerade sehr schwer an, aber ich blicke noch nicht ganz durch, wo in meiner Überlegung konkret der Fehler begraben ist.
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nzimme10
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Du kannst ja mit der richtigen Formel beginnen. Es ist sicherlich
$$
\sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,1}M^{m,2}M^{n,3}=\det(M).
$$
Jetzt starten wir mal mit einer anderen Belegung von $i,j,k$:
$$
\sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,2}M^{m,1}M^{n,3}=-\sum_{m,\ell,n} \epsilon^{m \ell n}M^{\ell,2}M^{m,1}M^{n,3}.
$$
Die rechte Summe ohne das Vorzeichen ist wieder $\det(M)$.
LG Nico\(\endgroup\)
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elia2
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24
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Du hast recht. Kann es sein, dass ich mit meiner Überlegung statt aus \(M^{l,1}M^{m,2}...\) den Ausdruck \(M^{l,2}M^{m,1}\) zu machen, einfach nur \(M^{m,2}M^{l,1}\) gemacht habe, was auch tatsächlich dann dasselbe wäre?
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nzimme10
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
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\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Ja, du hast einfach die Faktoren vertauscht, was auch richtig ist. Aber was du für $\det(M)$ brauchst, ist, dass die Reihenfolge der Indizes mit denen beim Levi-Civita-Symbol übereinstimmt. Wenn da $\epsilon^{\ell m n}$ steht, dann muss für $\det(M)$ das $\ell$ zusammen mit $1$, $m$ zusammen mit $2$ und $n$ zusammen mit $3$ sein.
LG Nico\(\endgroup\)
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elia2
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24
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hmmm.... okay, langsam wirds klarer. Ich mach mir da nochmal Gedanken drüber, die Geschichte mit dem Levi-Civita-Symbol ist nämlich noch recht neu für mich.
Danke dir!
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nzimme10
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Schau dir vielleicht mal an, wie für eine Permutation $\sigma$ von $\lbrace 1,2,3\rbrace$ die beiden Ausdrücke
$$
\sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,1}M^{m,2}M^{n,3} \quad\text{ und }\quad \sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,\sigma(1)}M^{m,\sigma(2)}M^{n,\sigma(3)}
$$
zusammenhängen.
LG Nico\(\endgroup\)
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elia2
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24
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Wäre das dann die Determinante jener Matrix, bei der die Zeilen genau mit dieser Permutation \(\sigma\) vertauscht wurden im Vergleich zur ursprünglichen Matrix? Falls ja, gibt es eine ähnlich intuitive Erklärung für den Vorgang, der dahintersteckt, wenn z. B. die Zuweisungen von i und j vertauscht werden? Wäre das im Prinzip einfach die Determinante der Matrix, wo die Spalten i und j vertauscht wurden, also Vorzeichenwechsel?
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nzimme10
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Ja, genau das ist es. Es wird die $j$-te Spalte von $M$ durch die $\sigma(j)$-te Spalte von $M$ ersetzt (oder mit Zeilen; je nachdem, welcher Index für was steht). Schreiben wir $\sigma(M)$ für die Matrix, die auf diese Weise entsteht, dann lautet die zu zeigende Formel (für den Fall, dass wir $1,2,3$ wirklich nur permutieren)
$$
\det(\sigma(M))=\opn{sgn}(\sigma)\det(M).
$$
Das sollst du nun eben einfach nachrechnen. Dazu musst du genau die beiden Ausdrücke aus meinem letzten Post vergleichen.
LG Nico\(\endgroup\)
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elia2
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24
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\quoteon(2023-09-24 17:20 - nzimme10 in Beitrag No. 11)
Schau dir vielleicht mal an, wie für eine Permutation $\sigma$ von $\lbrace 1,2,3\rbrace$ die beiden Ausdrücke
$$
\sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,1}M^{m,2}M^{n,3} \quad\text{ und }\quad \sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,\sigma(1)}M^{m,\sigma(2)}M^{n,\sigma(3)}
$$
zusammenhängen.
LG Nico
\quoteoff
Habe mir nochmals Gedanken darüber gemacht. Also grundsätzlich summieren wir ja bei Matrizen, die auseinander durch Permutation entstehen, über die genau gleichen Produkte, da gleiche Einträge.
Damit wir aber jeweils die Verschiebung wieder gut machen und dieselben Einträge multiplizieren wie in der Ursprungsmatrix, müssen wir den Eintrag aus einer entsprechend anderen Zeile nehmen, was zu einer Änderung des Signum(sigma) führt.
\quoteon(2023-09-24 17:52 - nzimme10 in Beitrag No. 13)
Ja, genau das ist es. Es wird die $j$-te Spalte von $M$ durch die $\sigma(j)$-te Spalte von $M$ ersetzt (oder mit Zeilen; je nachdem, welcher Index für was steht). Schreiben wir $\sigma(M)$ für die Matrix, die auf diese Weise entsteht, dann lautet die zu zeigende Formel (für den Fall, dass wir $1,2,3$ wirklich nur permutieren)
$$
\det(\sigma(M))=\opn{sgn}(\sigma)\det(M).
$$
Das sollst du nun eben einfach nachrechnen. Dazu musst du genau die beiden Ausdrücke aus meinem letzten Post vergleichen.
LG Nico
\quoteoff
Das ergibt sich doch umittelbar aus der n-Linearität der Determinante.
Ich glaube zurzeit ist noch mein einziges Problem, hier:
\quoteon(2023-09-24 17:20 - nzimme10 in Beitrag No. 11)
$$
\sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,1}M^{m,2}M^{n,3} \quad\text{ und }\quad \sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,\sigma(1)}M^{m,\sigma(2)}M^{n,\sigma(3)}
$$
\quoteoff
konkret in der Formel zu sehen, dass dies die Determinantenformel für die Matrix mit den permutierten Spalten ist... Denn meine Aussage, dass dies so ist, war mehr eine Vermutung.
Ich habe versucht, es mir an Beispielen klarzumachen, aber dann bin ich verwirrt wegen den Bezeichnungen, da \(A'_{1,1}\) z. B. \(A_{1, 2}\) ist (falls Spalte 1 und 2 permutiert werden) und ich dann nicht recht weiss, welchen Ausdruck ich dann in die Formel einsetzen soll.
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nzimme10
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Man muss hier wirklich nicht viel tun. Man muss den rechten Ausdruck einfach wieder auf eine Form bringen, so dass die Formel für die Determinante wieder da steht.
$\ell$ steht zusammen mit $\sigma(1)$. D.h. Im Levi-Civita-Symbol in der Summe sollte $\ell$ auch an der $\sigma(1)$-te Stelle stehen etc. Das bekommen wir hin, wenn wir in $\epsilon^{\ell m n}$ die drei Indizes so permutieren, dass $\ell$ an der $\sigma(1)$-ten Stelle steht, $m$ an der $\sigma(2)$-ten und $n$ an der $\sigma(3)$-ten. Durch diese Permutation geht $\epsilon^{\ell m n}$ in $\opn{sgn}(\sigma)\epsilon^{\ell m n}$ über. Schreiben wir zur Abkürzung $i=\sigma(1), j=\sigma(2)$ und $k=\sigma(3)$, dann haben wir $\opn{sgn}(\sigma)=\epsilon^{ijk}$ und wir sind fertig.
LG Nico\(\endgroup\)
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nzimme10
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| Beitrag No.16, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
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\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Nochmal zu deinen anderen Rückfragen:
Ich schreibe eine quadratische Matrix als $A=(a^{i}_j)$, wobei $i$ der Zeilenindex und $j$ der Spaltenindex ist. Die Determinante von $A$ ist dann
$$
\det(A)=\sum_{\ell, m, n} \epsilon_{\ell m n} \,a^\ell_1\, a^m_2 \, a^n_3.
$$
Betrachten wir nun die Matrix $B=(b^i_j)$ die entsteht, wenn wir, vermöge einer Permutation $\sigma$, jeweils die $j$-te Spalte von $A$ durch die $\sigma(j)$-te ersetzen. Wir haben dann $b^i_j=a^i_{\sigma(j)}$ und somit
$$
\det(B)=\sum_{\ell, m, n} \epsilon_{\ell m n} \,b^\ell_1\, b^m_2 \, b^n_3=\sum_{\ell, m, n} \epsilon_{\ell m n} \,a^\ell_{\sigma(1)}\, a^m_{\sigma(2)} \, a^n_{\sigma(3)}.
$$
Wir sehen also, dass das der Determinante der permutierten Matrix entspricht.
Wenn dir das lieber ist, dann kannst du natürlich auch diesen Weg gehen und unterwegs die Eigenschaften der Determinante benutzen (auch wenn ich das persönlich für sehr unnötig halte). Wenn $i,j,k$ keine Permutation von $1,2,3$ ist, dann weißt du ja bereits, dass die Summe $0$ ist und dann auch die rechte Seite. Andernfalls gibt es eine Permutation $\sigma$ mit $i=\sigma(1), j=\sigma(2)$ und $k=\sigma(3)$. Dann haben wir mit obigen Bezeichnungen
$$
\sum_{\ell, m, n} \epsilon_{\ell m n} \,a^\ell_{i}\, a^m_{j} \, a^n_{k}=\det(\sigma(A))=\opn{sgn}(\sigma)\det(A)=\epsilon_{ijk}\det(A).
$$
Das führt auch zum Ziel.
LG Nico\(\endgroup\)
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elia2
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24
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Danke Dir, Nico
Versteh mich nicht falsch, ich kann deine Argumentationen gut nachvollziehen, auch die der letzten Posts. Was für mich einfach unklar bleibt ist folgendes:
- Wieso sind diese Ausdrücke nicht identisch:
\quoteon(2023-09-24 17:20 - nzimme10 in Beitrag No. 11)
$$
\sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,1}M^{m,2}M^{n,3} \quad\text{ und }\quad \sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,\sigma(1)}M^{m,\sigma(2)}M^{n,\sigma(3)}
$$
\quoteoff
INTUITIV mit der Spaltenvertauschung verstehe ich es absolut, aber mathematisch nicht. Ich habe ein Beispiel gemacht und gesehen, dass über dieselben Terme, einfach in anderer Reihenfolge summiert wird. Und die Vorzeichen können sich auch nicht ändern, da das Epsilon nur von l, m und n abhängt, diese wurden durch die Permutation aber gar nicht angetastet.
Edit: Habe gerade gesehen, dass du noch einen neuen Post gemacht hast, vielleicht beantwortet das meine Fragen :)
- Wieso müssen für die Determinantenformel die Indices des Levi-Civita-Symbols in der Reihenfolge mit denen der Produkte zwingend übereinstimmen?
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nzimme10
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| Beitrag No.18, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
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\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
\quoteon(2023-09-24 23:01 - elia2 in Beitrag No. 17)
Wieso sind diese Ausdrücke nicht identisch:
\quoteon(2023-09-24 17:20 - nzimme10 in Beitrag No. 11)
$$
\sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,1}M^{m,2}M^{n,3} \quad\text{ und }\quad \sum_{\ell,m,n} \epsilon^{\ell m n}M^{\ell,\sigma(1)}M^{m,\sigma(2)}M^{n,\sigma(3)}
$$
\quoteoff
\quoteoff
Schauen wir uns mal wieder konkret den Fall von vorher an, d.h. $\sigma(1)=2$, $\sigma(2)=1$ und $\sigma(3)=3$. In der linken Summe gibt es zum Beispiel den Term $M^{1,1}M^{2,2}M^{3,3}$ ein einziges mal, nämlich in dem Summanden
$$
\epsilon^{1 2 3}M^{1,1}M^{2,2}M^{3,3}=M^{1,1}M^{2,2}M^{3,3}.
$$
Man muss dazu $\ell=1$, $m=2$ und $n=3$ wählen. In der rechten Summe kann man diesen Term durch $\ell=2$, $m=1$ und $n=3$ ebenfalls ein einziges mal bekommen, nämlich in dem Summanden
$$
\epsilon^{2 1 3}M^{2,2}M^{1,1}M^{3,3}=-M^{1,1}M^{2,2}M^{3,3}.
$$
Man bekommt in beiden Summen exakt die gleichen Summanden, ABER mit entgegengesetzten Vorzeichen. Das ist der Unterschied. Der zweite Teil meiner Antwort geht darauf auch ein:
\quoteon(2023-09-24 23:01 - elia2 in Beitrag No. 17)
Wieso müssen für die Determinantenformel die Indices des Levi-Civita-Symbols in der Reihenfolge mit denen der Produkte zwingend übereinstimmen?
\quoteoff
Weil das Levi-Civita-Symbol sonst nicht für das Signum der jeweiligen Permutation steht. Die Leibniz-Formel für $A=(a^i_j)$ ist ja
$$
\det(A)=\sum_{\sigma} \opn{sgn}(\sigma) \, a^{\sigma(1)}_1 \, a^{\sigma(2)}_2 \, a^{\sigma(3)}_3
$$
oder mit den Rollen der oberen und unteren Indizes vertauscht. Hier kann man jetzt $\opn{sgn}(\sigma)$ durch $\epsilon_{\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3)}$ ersetzen und anschließend die $\sigma(j)$ durch generische Indizes $\ell,m,n$ ersetzen und über alle Kombinationen davon summieren. Die Terme, die dann "zu viel" sind, werden durch das Levi-Civita-Symbol eliminiert.
LG Nico\(\endgroup\)
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elia2
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-25
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Habe mir deine Antworten nun durchgelesen und darüber nachgedacht. Jetzt macht es definitiv mehr Sinn, die konkreten Beispiele der letzten 2 Posts haben sehr geholfen. Danke Dir!
Unsicher bin ich mir noch bei dieser Aussage:
\quoteon(2023-09-24 23:08 - nzimme10 in Beitrag No. 18)
Weil das Levi-Civita-Symbol sonst nicht für das Signum der jeweiligen Permutation steht.
\quoteoff
Ich sehe nicht ganz, wieso die Reihenfolge für das Symbol eine Rolle spielt. Das Symbol "prüft" ja, wie viele Permutationen es braucht, um die Indices in aufsteigende Reihenfolge zu bringen und versieht den Term dann mit entsprechendem Vorzeichen. Aber ob jetzt der l-Term vor oder hinter dem m-Term steht spielt doch für diese Überlegung keine Rolle?
Edit: Ich glaube, ich habe einen Überlegungsfehler gemacht. Es macht doch Sinn: Denn wenn ich \(\varepsilon_{lmn}\) anwende, enstpricht i(gehört zu l)=1, j(gehört zu m)=2 und k(gehört zu n)=3 der "Standardkonfiguration" und es liefert mir die Permutationen zu dieser Standardkonf. Wenn ich i=2, j=1 und k=3 zuweise und lmn aufsteigend geordnet sind, liefert mir das Epsilon 1, weil meine Standardkonf. hier die Ausgangsmatrix mit getauschten ersten beiden Zeilen ist und das Symbol liefert mir die Anzahl Permutationen zu dieser neuen Standardkonf.
Dann denke ich, sollte es passen.
Eine kleine Frage doch noch: Wenn ich nun auf die transponierte Matrix wechseln möchte, kann ich dann lediglich die Indices bei den M's tauschen, oder muss ich am Levi-Civita-Symbol auch eine Vertauschung vornehmen? Meiner Meinung nach kann das Symbol so bleiben, aber ich bin mir nicht 100%ig sicher.
Nochmals vielen Dank für deine Bemühungen!
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nzimme10
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| Beitrag No.20, eingetragen 2023-09-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
\quoteon(2023-09-25 08:43 - elia2 in Beitrag No. 19)
Eine kleine Frage doch noch: Wenn ich nun auf die transponierte Matrix wechseln möchte, kann ich dann lediglich die Indices bei den M's tauschen, oder muss ich am Levi-Civita-Symbol auch eine Vertauschung vornehmen? Meiner Meinung nach kann das Symbol so bleiben, aber ich bin mir nicht 100%ig sicher.
\quoteoff
Die Formel für die Determinante an sich hat auch für die transponierte Matrix die gleiche Form. Wenn man die $M$'s so stehen lassen will, dann muss man nur die Indizes an den $M$'s vertauschen. Denk daran: Das Levi-Civita-Symbol spielt hier die Rolle von $\opn{sgn}$ in der Leibniz-Formel, welches sich beim Übergang zur transponierten Matrix ja auch nicht ändert.
LG Nico \(\endgroup\)
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elia2
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Mitteilungen: 139
| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-25
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Tiptop. Dann habe ich mir das richtig überlegt.
Danke nochmals!
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elia2 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
elia2 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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