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Differentiation » Differentialrechnung in IR » Differenzierbare Funktion mit |f(x) - f(y)| ≤ |x - y|² ist konstant
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Universität/Hochschule J Differenzierbare Funktion mit |f(x) - f(y)| ≤ |x - y|² ist konstant
LadiesMan217
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  Themenstart: 2023-09-24

Hallo, es ist gegeben, dass $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ differenzierbare Funktion auf $\mathbb{R}$ ist, mit der Eigenschaft, dass $ |f(x)-f(y)|≤|x-y|^2 ; \forall x,y \in \mathbb{R} $ Es soll gefolgert werden, dass $f$ konstant ist. Mein Beweisversuch ist hier: $|f(x+h)-f(h) | ≤ |h|^2 $ nach Voraussetzung. das ist sehr gut, weil durch $h$ geteilt ergibt sich dann $0≤\big| \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \big| ≤ |h| \rightarrow 0 $ ,für $h \rightarrow 0 $ und nach dem Sandwichsatz folgt dann, dass $f'(x)\equiv 0 $ und nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung kann man sagen, dass dann $f\equiv c$ also konstant mit irgendeiner Konstanten $c \in \mathbb{R}$ ist. Ich hoffe, dass mein Beweisversuch soweit stimmig ist. Gruß

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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-24

Hallo, das passt. Allerdings würde ich sagen, dass das eher eine Folgerung aus dem Mittelwertsatz ist. Den vollen Hauptsatz braucht man dafür nicht. LG Nico

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LadiesMan217
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24

alles klar, vielen Dank.

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