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  Minorantenkriterium Reihe cos(1/n)/n |
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Kohlenstoffderivat
Aktiv 
Dabei seit: 09.09.2023
Mitteilungen: 22
 |  Themenstart: 2023-09-25
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Hallo,
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{k}\right)}{k}$
also ich will die (absolute) Konvergenz untersuchen und würde gerne noch ein paar Fragen loswerden:
1)
also meines Ermessens nach, kann man hier zwar $ |\frac{\cos\left(\frac{1}{k}\right)}{k}| ≥ |\frac{1}{k}| $ abschätzen, was aber nur die Divergenz der Absolutbeträge der Reihe sichern würde.
2)
Für die gewöhnliche Konvergenz kann man so nicht argumentieren und wird erst für große $n$ einer Abschätzung fündig, da $ \cos(\frac{1}{n}) $ stetig ist und $cos(0)=1 $ gilt damit dann ein $n_0 $ existiert, ab dem $\cos(\frac{1}{n})≥\frac{1}{2}$ wobei die 1/2 natürlich beispielhaft gewählt sind. Ergo ist dann wieder nach unten auf $\frac{1}{2k} $ abgeschätzt, womit die gewöhnliche Divergenz bewiesen wäre.
meine Frage ist, ob ich hier etwas übersehen habe und ob man ja vielleicht doch direkt eine andere Abschätzung für alle $n$ findet bspw., oder ob es hier wirklich darum geht diesen Grenzwert der Terme, aus denen die zur Reihe zugehörige Folge besteht abzutasten und im Blick zu haben - insbesondere natürlich auch das Stetigkeitsargument zu bringen?
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 11121
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-25
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Hallo,
\quoteon(2023-09-25 14:56 - Kohlenstoffderivat im Themenstart)
1)
also meines Ermessens nach, kann man hier zwar $ |\frac{\cos\left(\frac{1}{k}\right)}{k}| ≥ |\frac{1}{k}| $ abschätzen, was aber nur die Divergenz der Absolutbeträge der Reihe sichern würde.
\quoteoff
Wie soll das gehen? Dazu müsste die Kosinusfunktion entweder konstant gleich ±1 sein oder betragsmäßig Werte größer als 1 annehmen...
Gruß, Diophant
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]\(\endgroup\)
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2796
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-09-25
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Diese Frage wurde neulich erst in https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=263452 besprochen. Daher an dieser Stelle auch der Hinweis auf die Suchfunktion des Forums.
LG Nico
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Kohlenstoffderivat hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kohlenstoffderivat hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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