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 Koordinatentransformation von Integral über dem Rand |
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Cielo
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Dabei seit: 01.05.2017
Mitteilungen: 129
 |  Themenstart: 2023-09-25
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Hallo zusammen,
ich frage mich momentan, wie man Partielle Integration mit einer Koordinatentransformation zusammen bringen kann. Konkret betrachte ich ein Vektorfeld $u$ und eine Funktion $v$ auf einem beliebigen Gebiet $\Omega$, wobei ich hier zuerst nur in $1D$ arbeiten will. Außerdem sei $\phi := \phi(x) = y + tx$. Dann gilt mit partieller Integration:
\[
\int_{\Omega} v \cdot \nabla u \, d\Omega = \int_{\partial \Omega} u v \cdot n \, d \sigma(x) - \int_{\Omega} u \cdot \nabla v d\Omega
\]
Wenn ich jetzt eine Koordinatentransformation durchführen wollte, hätte ich ja
\[
\int_{\tilde{\Omega}} v \cdot \frac{d \phi}{d x} \nabla_{\phi} u \, \frac{dx}{d \phi}\, d \tilde{\Omega} = \int_{\partial \tilde {\Omega}} u v \cdot n \, d \sigma(\phi) - \int_{\tilde{\Omega}} u \cdot \frac{d \phi}{d x} \nabla v_{\phi} \frac{dx}{d \phi} \, d \tilde{\Omega} \\
\Leftrightarrow \int_{\tilde{\Omega}} v \cdot \nabla_{\phi} u \, d \tilde{\Omega} = \int_{\partial \tilde {\Omega}} u v \cdot n \, d \sigma(\phi) - \int_{\tilde{\Omega}} u \cdot \nabla_{\phi} v \, d \tilde{\Omega}
\]
Stimmt die Transformation so für das Integral über den Rand des Gebiets? Und wie kann man dann die Substitution für höhere Dimensionen über den Rand verallgemeinern?
Ich würde mich sehr freuen, wenn ihr mir da weiterhelfen könnt oder auch eine gute Quelle habt, bislang habe ich leider noch nichts gefunden.
Danke,
Cielo
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nzimme10
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Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Eine recht allgemeine Version davon wäre für Differentialformen auf einer hinreichend netten Mannigfaltigkeit mit Rand.
Konkret sei $M$ eine $n$-dimensionale, orientierbare, glatte Mannigfaltigkeit mit Rand. Für eine $k$-Form $\omega$ und eine $m$-Form $\eta$ auf $M$ mit $k+m+1=n$ (jeweils mit kompaktem Träger) haben wir
$$
\d(\omega\wedge \eta)=\d\omega\wedge\eta+(-1)^k\omega\wedge \d\eta.
$$
Nach dem Satz von Stokes ist daher
$$
\int_{\partial M}\omega\wedge \eta=\int_M \d(\omega\wedge \eta)=\int_M\d\omega\wedge\eta+(-1)^k\int_M\omega\wedge \d\eta
$$
und somit
$$
(-1)^k\int_M\omega\wedge \d\eta=\int_{\partial M}\omega\wedge \eta-\int_M\d\omega\wedge\eta.
$$
Für einen orientierungserhaltenden Diffeomorphismus $\Phi\colon N\to M$ kann man $\omega$ und $\eta$ in jedem der Integrale einfach durch ihren jeweiligen Pullback nach $N$ ersetzen und $M$ durch $N$ ersetzen.
Mehr dazu findet man in jedem einführenden Buch über moderne Differentialgeometrie.
LG Nico\(\endgroup\)
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