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 Brennendes Haus |
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Pippen
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 |  Themenstart: 2023-09-26
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Ein Haus brennt. A1 steht bereit und bekommt den Wassereimer von A2, der von A3, der von A4 usw. ad. infinitum! Angenommen die Wahrscheinlichkeit für jedes „x bekommt den Eimer mit Wasser von y“ wäre 0.9. Wir hätten also: P(A1 bekommt Wassereimer|A2 bekommt Wassereimer) = 0.9, P(A2 bekommt Wassereimer|A3 bekommt Wassereimer) = 0.9 usw. usf. Kann man P(A1 bekommt Wassereimer) ausrechnen? Denn das wäre gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit, dass das brennende Haus gelöscht werden könnte (wir abstrahieren hier natürlich massiv von der Realität, wo brennende Häuser nicht bloß durch einen Wassereimer zu löschen sind und es keine unendlich lange Wassereimer-Kette gäbe usw.)
Mir schwebt eine verschachtelte Anwendung der totalen Wahrscheinlichkeit vor, aber dann verläßt mich nicht nur meine Intuition, sondern auch mein stochastisches Wissen. Ist das Ding überhaupt lösbar?
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traveller
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| Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-26
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Hallo,
Ohne jetzt genauer darüber nachzudenken, ob und wie man das sinnvoll definieren könnte, aber könnte das Ergebnis (sofern existent) irgendwas anderes als 0 sein?
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Pippen
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-26
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Ich muss wohl noch was nachtragen: Die Wahrscheinlichkeit, x bekommt den Wassereimer nicht von y, sei 0.1, immerhin bestehe eine gewisse Chance, dass irgendjemand anderes für An+1 einspringt und An das Wasser reicht. Also P(An|An+1) = 0.9, P(An|~An+1) = 0.1
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gonz
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-26
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Na dann kann man doch schön eine Kette bilden... hast du da schon was zu probiert, Pippen?
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Pippen
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-26
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Ich würde sagen, P (A1) = 0. Denn P(A1) = P(A1|A2) * P(A2) + P(A1|~A2) * P(~A2). Es ergibt sich nun eine verschachtelte Struktur die zu ungefähr sowas führt: P(A1) = 0.9 * … * 0.9 * … * P(Ax) + 0.1 * … * 0.1 * … * P(~Ax) und das konvergiert gegen Null.
ChatGPT kommt leider auf P(A1) = 0.5 :(
Falls ich recht hätte, wäre bei dieser unendlichen Kette P(A1) immer Null oder gibt es eine Einstellung, wo mal was größer Null rauskäme?
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gonz
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-26
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Kannst du bei ChatGPT nicht nachfragen, wie es darauf gekommen ist?
Meine Anmerkung mit "Kette bilden" war konkret so gemein, dass sich aus deinem Ansatz P(An|An+1) = 0.9, P(An|~An+1) = 0.1
\
ja konkret ergibt (wobei ich p(An) mit p_n bezeichne):
p_n = 0.9 p_(n+1) + 0.1 (1-p_(n+1)) = 0.8 p_(n+1) + 0.1
Betrachtet man das für n=1, sieht man, dass p_1 zumindest größer oder gleich 0.1 sein muss, da ja p_(n+1)=p_2 als Wahrscheinlichkeit nicht negativ sein kann.
Hilft dir das weiter?
Grüße - Gerhard/Gonz
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Pippen
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-26
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Leider nicht. Da habe ich zuwenig stochastisches Wissen, allein deine neue Symbolik überfordert mich. In meinem vorletzten Beitrag habe ich meinen Gedankengang aufgeschrieben. Kannst du da einen Fehler erkennen bzw. nachvollziehen, was ich meine?
ChatGPT erkannte eine geometrische Reihe, die ich so nicht sehe. Es hat mir dann recht gegeben, aber das muss nichts heißen, das macht er oft.
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gonz
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-09-26
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Wir können auch bei deiner Notation bleiben. Du kannst die Kette schrittweise aufbauen.
Die Wahrscheinlichkeit p(~A2) kannst du jedenfalls durch die Gegenwahrscheinlichkeit ausdrücken, es ist dann p(~A2)=1-p(A2) und so weiter, wir erhalten also
p(An) = 0.1 (1-p(An+1)) + 0.9 p(An+1) = 0.1 + 0.8 p(An+1)
und damit eine Formel, die es erlaubt, aus p(An) den Wert von p(An+1) zu bestimmen oder umgekehrt, je nachdem, nach welchem der beiden Werte wir auflösen. Sind wir soweit beieinander?
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Diophant
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 | Beitrag No.8, eingetragen 2023-09-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo zusammen,
das Resultat von gonz ist auch insofern plausibel, als es zum Ausdruck bringt, dass die Wahrscheinlichkeit von \(0.1\), mit der \(A_n\) zwar einen Wasserkrug bekommt, aber nicht von \(A_{n+1}\), offensichtlich eine untere Schranke für die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(A_n\) sein muss.
(Ich beziehe mich dabei auf Beitrag #2, oder habe ich dort etwas falsch verstanden?)
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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gonz
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-09-26
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@Diophant passt genau. so war es gemeint.
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Diophant
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-09-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo nochmals,
@gonz:
\quoteon(2023-09-26 16:54 - gonz in Beitrag No. 9)
@Diophant passt genau. so war es gemeint.
\quoteoff
Alles klar, dankeschön.
Das Problem an der Aufgabe ist ja, dass es eine Rekursion 'ohne Anfang' ist, es gibt also keinen Startwert. M.E. kann man daher auch nicht mehr sagen, als dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit mindestens gleich \(0.1\) sein muss.
Die Rekursion \(x_{n+1}=0.1(1-x_n)+0.9x_n=0.1+0.8x_n\) besitzt andererseits für jeden Startwert den Grenzwert \(0.5\). Wenn wir also in Gedanken das Experiment einmal umkehren insofern, dass irgendjemand möglicherweise einmal mit dem Weiterreichen von Wassereimern begonnen hat, dann ist das Resultat von ChatGPT an dieser Stelle durchaus interessant...
Gruß, Diophant
\(\endgroup\)
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gonz
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-09-26
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Ja, und auch wenn wir das nicht verwenden kommen wir weiter, denn wenn wir wissen, dass p(Ax)>=0.1 ist für alle x, dann können wir das wiederum verwenden, um eine neue untere Schranke zu bestimmen. Es muss dann nämlich
p(Ax) = 0.1 + 0.8 p(Ax+1) >= 0.18 sein.
Und das Verfahren können wir beliebig oft anwenden... Das führt dann wenn auch nicht auf so eine griffige Formel doch auf eine "art von ansteigender geometrischer Reihe", für die man sich überlegen kann, wo sie nach oben begrenzt ist. Und damit sind wir dann auch wieder genau bei dem Wert 0.5
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Pippen
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-26
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Puh, das wächst schnell über meinen Kopf, also langsam und erstmal für zwei A. Da komme ich auf sowas:
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54816_23_PNG-Bild.png
Ist das erstmal richtig? Und wie kommt ihr dann auf eure Formeln? Bei dieser Verschachtelung wird man ja meschugge.
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Pippen
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-27
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Ok, hier ChatGPT in Action. Ich verstehe alles, nur nicht so richtig wie der Bot auf die Formel in Schritt 5 kommt. Wo macht er einen Fehler? Denn der Bot vertritt nach wie vor meine Meinung P(A1) = 0.
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54816_IMG_0488.jpeg
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zippy
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 | Beitrag No.14, eingetragen 2023-09-27
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Wenn du von$$
P(A_n\mid A_{n+1}) = p \;,\quad
P(A_n\mid\lnot A_{n+1}) = 1-p
$$mit $p\in(0,1)$ ausgehst, hast du$$\begin{align*}
P(A_n) &= p\cdot P(A_{n+1}) + (1-p)\cdot P(\lnot A_{n+1}) \\[2.4ex]
&= p\cdot P(A_{n+1}) + (1-p)\cdot\bigl[1-P(A_{n+1})\bigr] \\[2.4ex]
&= (2p-1)\cdot P(A_{n+1}) + (1-p) \;,
\end{align*}$$und das kann man auch in der Form$$
P(A_n) - \frac12 = (2p-1)\cdot\left[P(A_{n+1})-\frac12\right]
$$schreiben. Iterieren dieser Formel liefert$$
P(A_1) - \frac12 = (2p-1)^k\cdot\left[P(A_{k+1})-\frac12\right] \to0 \;,
$$und damit $P(A_1)=\frac12$.
--zippy
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Pippen
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-27
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Bereits die erste Prämisse scheint mir falsch, weil das Komplement von P(An|An+1) nicht P(An|~An+1) ist, also gilt dein p, 1-p nicht.
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zippy
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| Beitrag No.16, eingetragen 2023-09-27
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\quoteon(2023-09-27 19:29 - Pippen in Beitrag No. 15)
Bereits die erste Prämisse scheint mir falsch, weil das Komplement von P(An|An+1) nicht P(An|~An+1) ist, also gilt dein p, 1-p nicht.
\quoteoff
Wenn ich diese Aussage mit Folgender vergleiche...
\quoteon(2023-09-26 09:38 - Pippen in Beitrag No. 2)
Also P(An|An+1) = 0.9, P(An|~An+1) = 0.1
\quoteoff
... dann möchte ich doch fragen: Wenn die Summe von $p=0.9$ und $1-p=0.1$ nicht $1$ ergibt, auf was für ein Ergebnis kommst du denn dann?
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Pippen
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| Beitrag No.17, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-27
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Du hast natürlich recht, Schubladen-Denkfehler meinerseits.
Ich verstehe deine Argumentation bis zu dem Punkt, wo du P(An) = (2p - 1) * P(An+1) + (1-p) zu P(An) - 1/2 = (2p - 1) * [P(An+1) - 1/2] umformst. Wie genau machst du das?
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zippy
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| Beitrag No.18, eingetragen 2023-09-27
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\quoteon(2023-09-27 22:50 - Pippen in Beitrag No. 17)
Ich verstehe deine Argumentation bis zu dem Punkt, wo du P(An) = (2p - 1) * P(An+1) + (1-p) zu P(An) - 1/2 = (2p - 1) * [P(An+1) - 1/2] umformst. Wie genau machst du das?
\quoteoff
Wenn man eine Rekursion $x_{n+1} = a\,x_n+b$ lösen möchte, dann versucht man die in die Form $y_{n+1} = a\,y_n$ mit $y=x+\xi$ zu bringen, und das gelingt mit $\xi=b/(a-1)$.
In deinem Fall ist$$
\xi = {1-p\over(2p-1)-1} = {1-p\over2p-2} = -\frac12 \;.$$
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Pippen
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| Beitrag No.19, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-28
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@zippy: Das ist jenseits meines math. Verständnisses. Aber trotzdem glaube ich (m)einen Weg gefunden zu haben und möchte ihn hier komplett vorstellen, mit der Bitte um Begutachtung, ob das i.O. geht. (Ich abstrahiere dabei von der konkreten Textaufgabe, die Lösung P(A1) = 0.5 hieße also, dass das brennende Haus nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% gelöscht würde, weil A1 nur mit dieser W. den Wassereimer bekäme.)
AUFGABE:
Gegeben sei eine unendlich bedingte Kette A1, A2, A3, …, d.h. A1 wenn A2, A2 wenn A3, A3 wenn A4, …; es gilt weiter P(An|An+1) = 0.9, P(An|~An+1) = 0.1; gesucht wird P(A1).
LÖSUNG:
P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|~B) * P(~B) (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit)
also hier
P(An) = P(An|An+1) * P(An+1) + P(An|~An+1) * P(~An+1)
= 0.9 * P(An+1) + 0.1 * (1 - P(An+1)
= 0.9 * P(An+1) + 0.1 - 0.1 * P(An+1)
= 0.1 + 0.8 * P(An+1),
also
P(A1) = 0.1 + 0.8 * P(A2)
durch Einsetzung der jeweiligen P(An) ergibt sich
P(A1) = 0.1 + 0.8 * (0.1 + 0.8 * (0.1 + 0.8 * (0.1 + …)
durch $\color{red}{Ausklammern???}$ ergibt sich
P(A1) = 0.1 + (0.8 * 0.1) + (0.8^2 * 0.1) + (0.8^3 * 0.1) + …
durch Ausklammern ergibt sich
P(A1) = 0.1 * (1 + 0.8 + 0.8^2 + 0.8^3 + …),
wobei in Klammern eine geometrische Reihe mit |q| < 1 liegt, also
P(A1) = 0.1 * (1 / (1 - 0.8))
= 0.1 * 5
= 0.5.
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gonz
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Dabei seit: 16.02.2013
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Wohnort: Harz
| Beitrag No.20, eingetragen 2023-09-29
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Hallo Pippen,
würdest du folgendes Argument akzeptieren? Ausgehend von deiner Feststellung
P(A1) = 0.1 + 0.8 * P(A2)
kann man sich überlegen, dass die Aufgabe genau dieselbe Lösung haben müsste, wenn man nicht fragt, ob ein Wassereimer bei A1 bereitsteht, sondern nach dem bei A2 fragt. Es ist nämlich genau die gleiche Fragestellung, es geht immer noch um eine unendlich lange Kette, und für jedes Kettenglied gelten genau die gleichen Bedingungen. Daraus kann man folgern, dass die Antwort bei beiden Fragestellungen gleich sein muss, also, wenn es eine eindeutige Lösung gibt, dies bedeutet, dass p(A2)=p(A1).
Setzt man das in deine obige Gleichung ein, erhält man sofort p(A1)=0.5
Grüße,
Gerhard/Gonz
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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
 | Beitrag No.21, eingetragen 2023-09-29
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Hallo,
Wieso soll denn P(An|~An+1) = 0,1 sein? Es ist doch P(An|~An+1) = 0.
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Pippen
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Dabei seit: 06.07.2021
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-29
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Hallo gonz, strgaltentf,
@gonz: dein Argument leuchtet mir zwar ein, aber meines ist robuster, weil es Schritt-für-Schritt alles mechanisch abgeht und daher weniger Raum für Irrtümer bildet. Dein Argument ist kreativer/genialer, aber auch anfälliger für Denkfehler.
Ich habe aber auch eine Überlegung: mir scheint, dass P(A1) = 0 gdw. P(An|An+1) = 0 oder P(An|~An+1) = 0, außer P(An) = 1, dann trivial natürlich auch P(An). Ist das richtig?
@strg: Ich weiß nicht genau was du meinst, ich hatte den Wert für P(An|~An+1) mit 0.1 festgelegt, rein willkürlich. Im Prinzip müsste man problemlos ein Programm schreiben können, was für eine Eingabe P(An|An+1) und P(An|~An+1) den Wert für P(A1) ausspuckt. Hab das sogar versucht mit ChatGPT, hat aber nicht funktioniert, entweder weil der Code falsch war oder weil ich mich irgendwo mit GitHub verhaspelt habe, denn ich habe nur ein iPad und da kann man so ein Programm nicht einfach laufen lassen.
p.s. Das rote „Ausklammern“ würde ich jetzt wohl mit „Explikation“ ersetzen oder was würdet ihr schreiben? Wie gesagt: wenn mein Argument noch Fehler hat, bitte mitteilen. Daran lernt man als Anfänger unglaublich viel.
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
| Beitrag No.23, eingetragen 2023-09-29
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\quoteon(2023-09-29 16:20 - Pippen in Beitrag No. 22)
mir scheint, dass P(A1) = 0 gdw. P(An|An+1) = 0 oder P(An|~An+1) = 0, außer P(An) = 1, dann trivial natürlich auch P(An).
\quoteoff
Im allgemeinen Fall mit $P(A_n\mid A_{n+1})=p$ und $P(A_n\mid\lnot A_{n+1})=q$ existiert eine eindeutige Lösung, und zwar$$
P(A_n)={q\over1-p+q} \;,
$$falls $|p-q|<1$ ist. Auszuschließen sind also nur die Kombinationen $p=0$, $q=1$ und $p=1$, $q=0$.
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Pippen
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Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 244
| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-29
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\quoteon(2023-09-29 16:36 - zippy in Beitrag No. 23)
\quoteon(2023-09-29 16:20 - Pippen in Beitrag No. 22)
mir scheint, dass P(A1) = 0 gdw. P(An|An+1) = 0 oder P(An|~An+1) = 0, außer P(An) = 1, dann trivial natürlich auch P(An).
\quoteoff
Im allgemeinen Fall mit $P(A_n\mid A_{n+1})=p$ und $P(A_n\mid\lnot A_{n+1})=q$ existiert eine eindeutige Lösung, und zwar$$
P(A_n)={q\over1-p+q} \;,
$$falls $|p-q|<1$ ist. Auszuschließen sind also nur die Kombinationen $p=0$, $q=1$ und $p=1$, $q=0$.
\quoteoff
…und da ist dann P(A1) = P(An) = 0?
Was schreibt man statt meinem roten Ausklammern hin? Was ist das, was ich da tue?
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
| Beitrag No.25, eingetragen 2023-09-29
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\quoteon(2023-09-29 20:30 - Pippen in Beitrag No. 24)
…und da ist dann P(A1) = P(An) = 0?
\quoteoff
Dieser Fall liegt vor für $q=0$ und $p\ne1$.
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Pippen
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Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 244
| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-29
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ME auch für den umgekehrten Fall. Meine Überlegung geht so:
Mein Ausgangspunkt ist P(An) = P(An|An+1) * P(An+1) + P(An|~An+1) * P(~An+1).
Wenn jetzt P(An|An+1) = 0, dann P(An) = P(An|~An+1) * P(~An+1), aber wenn nun nicht gerade beide Teile gleich 1 sind, dann wird das gegen Null laufen. Umgekehrt genauso für P(An|~An+1) = 0. Daher sage ich: P(A1) = 0 gdw. q oder p Null sind, es sei denn q oder p ist Eins.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
| Beitrag No.27, eingetragen 2023-09-29
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\quoteon(2023-09-29 21:16 - Pippen in Beitrag No. 26)
Wenn jetzt P(An|An+1) = 0, dann P(An) = P(An|~An+1) * P(~An+1), aber wenn nun nicht gerade beide Teile gleich 1 sind, dann wird das gegen Null laufen.
\quoteoff
Da steht doch $P(A_n)=q\cdot\bigl(1-P(A_{n+1})\bigr)$ und das bedeutet$$
P(A_n)-{q\over1+q} =-q\cdot\left[P(A_{n+1})-{q\over1+q}\right] \;.
$$Iterieren liefert$$
P(A_n)-{q\over1+q} =(-q)^k\cdot\left[P(A_{n+k})-{q\over1+q}\right] \;,
$$und die rechte Seite geht wegen $|q|<1$ gegen $0$ für $k\to\infty$. Also muss$$
P(A_n)={q\over1+q} $$sein. Das ist $\ne0$ und entspricht der Formel in Beitrag Nr. 23.
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StrgAltEntf
Senior
Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
| Beitrag No.28, eingetragen 2023-09-29
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\quoteon(2023-09-29 16:20 - Pippen in Beitrag No. 22)
@strg: Ich weiß nicht genau was du meinst, ich hatte den Wert für P(An|~An+1) mit 0.1 festgelegt, rein willkürlich.
\quoteoff
Was mir nicht klar ist: Wenn Person n+1 keinen Wassereimer hat, wieso und woher bekommt Person n dann mit Wahrscheinlichkeit 0.1 einen Wassereimer?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.26 begonnen.]
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
| Beitrag No.29, eingetragen 2023-09-29
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\quoteon(2023-09-29 21:57 - StrgAltEntf in Beitrag No. 28)
Was mir nicht klar ist: Wenn Person n+1 keinen Wassereimer hat, wieso und woher bekommt Person n dann mit Wahrscheinlichkeit 0.1 einen Wassereimer?
\quoteoff
In Pippens Modell sind zwei Fälle zu unterscheiden:
1. $A_{n+1}$ hat einen Wassereimer. Dann gibt er ihn mit der Wahrscheinlichkeit $P(A_n\mid A_{n+1})$ an $A_n$ weiter oder lässt das mit der Wahrscheinlichkeit $1-P(A_n\mid A_{n+1})$ bleiben.
2. $A_{n+1}$ hat keinen Wassereimer. Dann entsteht für $A_n$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(A_n\mid\lnot A_{n+1})$ ein Wassereimer aus dem Nichts.
Die spontane Entstehung von Wassereimern im zweiten Fall ist vielleicht nicht sehr realitätsnah, führt aber mathematisch zu keinen Inkonsistenzen.
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Pippen
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Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 244
| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-30
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Wenn p = 0, also P(An|An+1) = 0, dann gilt nur noch: P(An) = P(An|~An+1) * P(~An+1) bzw. P(An) = q * P(~An+1)…und da ist dann doch keine Summe mehr, wodurch auch keine geometrische Reihe entstehen kann. Wenn q kleiner 1, dann sehe ich da nur noch viele Multiplikationen mit einer Zahl kleiner 1 und das konvergiert zu 0.
Unabhängig vom Weg, was vertrittst du im Ergebnis? Das Folgende?
Wenn q = 0 und p ungleich 1, dann P(An) = 0.
Wenn q ungleich 0 und p = 0, dann P(An) nicht definiert.
Wenn 0 < q, p < 1, dann P(An) = x, also irgendwas größer 0 aber kleiner 1.
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
| Beitrag No.31, eingetragen 2023-09-30
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\quoteon(2023-09-30 19:50 - Pippen in Beitrag No. 30)
was vertrittst du im Ergebnis?
\quoteoff
Wie schon gesagt:
\quoteon(2023-09-29 16:36 - zippy in Beitrag No. 23)
Im allgemeinen Fall mit $P(A_n\mid A_{n+1})=p$ und $P(A_n\mid\lnot A_{n+1})=q$ existiert eine eindeutige Lösung, und zwar$$
P(A_n)={q\over1-p+q} \;,
$$falls $|p-q|<1$ ist. Auszuschließen sind also nur die Kombinationen $p=0$, $q=1$ und $p=1$, $q=0$.
\quoteoff
Also:
\quoteon(2023-09-30 19:50 - Pippen in Beitrag No. 30)
Wenn q = 0 und p ungleich 1, dann P(An) = 0.
\quoteoff
Richtig.
\quoteon(2023-09-30 19:50 - Pippen in Beitrag No. 30)
Wenn q ungleich 0 und p = 0, dann P(An) nicht definiert.
\quoteoff
Falsch. Außer im Fall $q=1$ ist $P(A_n)$ definiert und es ist $P(A_n)={q\over1+q}$.
\quoteon(2023-09-30 19:50 - Pippen in Beitrag No. 30)
Wenn 0 < q, p < 1, dann P(An) = x, also irgendwas größer 0 aber kleiner 1.
\quoteoff
Richtig, und zwar ist $x={q\over1-p+q}$.
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Pippen
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| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-01
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Hallo zippy, kannst du Schritt für Schritt zeigen, wie du von
P(An) = p * P(An+1) + q * (1 - P(An+1)) kommst zu
P(An) = 1 / 1-p + q?
Ich sehe es nicht und meine Umformungstechniken - das hat diese Diskussion mir gezeigt - ist auf Grundschulniveau. ChatGPT scheitert übrigens auch. :)
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zippy
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| Beitrag No.33, eingetragen 2023-10-01
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Das geht völlig analog zu Beitrag Nr. 14: Wir haben$$\begin{align}
P(A_n) &= p\cdot P(A_{n+1}) + q\cdot P(\lnot A_{n+1}) \\[2.4ex]
&= p\cdot P(A_{n+1}) + q\cdot\bigl[1-P(A_{n+1})\bigr] \\[2.4ex]
&= (p-q)\cdot P(A_{n+1}) + q \;.
\end{align}$$Das schreiben wir, wie in Beitrag Nr. 18 erläutert, in der Form$$\begin{align}
P(A_n) - {q\over1-p+q} = (p-q)\cdot\left[
P(A_{n+1}) - {q\over1-p+q}\right] \;.\end{align}$$Wenn du der Überlegung in Beitrag Nr. 18 nicht über den Weg traust, kannst du auch einfach nachrechnen, dass $(4)$ wegen$$\begin{align}
(p-q)\cdot\left[-{q\over1-p+q}\right]+{q\over1-p+q} =
{-pq+q^2+q\over1-p+q} = q\cdot{-p+q+1\over1-p+q} = q
\end{align}$$äquivalent zu $(3)$ ist.
Wenn wir $(4)$ jetzt nicht nur einmal, sondern $k$-mal anwenden, haben wir$$\begin{align}P(A_n) - {q\over1-p+q}
&= (p-q)^{\hphantom2}\cdot\left[P(A_{n+1}) - {q\over1-p+q}\right] \\[2.4ex]
&= (p-q)^2\cdot\left[P(A_{n+2}) - {q\over1-p+q}\right] \\
&\;\;\vdots\\
&= (p-q)^k\cdot\left[P(A_{n+k}) - {q\over1-p+q}\right] \;.
\end{align}$$Für $|p-q|<1$ geht der Faktor $(p-q)^k\to0$ für $k\to\infty$, während der Inhalt der eckigen Klammern beschränkt ist. Also muss die linke Seite verschwinden,$$\begin{align}
P(A_n) - {q\over1-p+q} = 0 \;,
\end{align}$$und das bedeutet$$\begin{align}
P(A_n) = {q\over1-p+q} \;. \end{align}$$Die Bedingung $|p-q|<1$ ist wegen $p,q\in[0,1]$ äquivalent dazu, dass weder $p=0$, $q=1$ noch $p=1$, $q=0$ ist.
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Pippen
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-02
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1. Für |p - q| = 1 (was anderes kommt ja als Alternative zu deiner Bedingung nicht in Frage) wäre P(An) schlicht nicht über deine Abkürzung, sondern nur über die Ausgangsformel berechenbar und das Ergebnis wäre offen, d.h. man kann für die Fälle p = 0, q = 1 und umgekehrt noch nicht sagen, wie P(An) und damit P(A1) ausfällt. Richtig?
2. Und noch eine interessante Feststellung, der ich mir aber auch nicht sicher bin. Wenn weder p noch q die Extremwerte 0, 1 haben, dann ist jedenfalls P(A1) > 0, nie P(A1) = 0! Richtig?
3. Und nehmen wir an, es gäbe einen einzigen Punkt Ax, wo einmal nicht die vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten p = 0.9, q = 0.1 gelten würden, sondern P(Ax|Ax+1) = 0, P(Ax|~Ax+1) = 0. Würde das überhaupt etwas ändern?
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zippy
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| Beitrag No.35, eingetragen 2023-10-03
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1. Für $|p-q|=1$ ist entweder, für $p=1$ und $q=0$,$$
P(A_n)=P(A_{n+1})=P(A_{n+2})=P(A_{n+3})=\cdots
$$oder, für $p=0$ und $q=1$,$$
P(A_n)=1-P(A_{n+1})=P(A_{n+2})=1-P(A_{n+3})=\cdots \;,
$$und über den Wert der Gleichungsketten weiß man nichts.
Im zweiten Fall würde einem die zusätzliche Annahme, dass der Prozess zeitlich homogen ist, $P(A_n)=\frac12$ liefern, und das ist auch der Wert der Formel $(11)$ in Beitrag Nr. 33 für $p=0$ und $q=1$.
2. Ja: Es ist $P(A_n)>0$ für $p,q\in(0,1)$.
3. Deine Annahme ist äquivalent zu $P(A_x)=0$ für ein bestimmtes $x$. Damit ergeben sich für $n>x$ die bisher berechneten Werte von $P(A_n)$ und für $n
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Pippen
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-03
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zippy
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| Beitrag No.37, eingetragen 2023-10-03
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Du übersiehst die folgende Eigenschaft deines Modells:
\quoteon(2023-09-29 22:15 - zippy in Beitrag No. 29)
In Pippens Modell sind zwei Fälle zu unterscheiden:
1. $A_{n+1}$ hat einen Wassereimer. Dann gibt er ihn mit der Wahrscheinlichkeit $P(A_n\mid A_{n+1})$ an $A_n$ weiter oder lässt das mit der Wahrscheinlichkeit $1-P(A_n\mid A_{n+1})$ bleiben.
2. $A_{n+1}$ hat keinen Wassereimer. Dann entsteht für $A_n$ mit der Wahrscheinlichkeit $P(A_n\mid\lnot A_{n+1})$ ein Wassereimer aus dem Nichts.
\quoteoff
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Pippen
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| Beitrag No.38, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-03
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Um also das Modell realistisch zu gestalten, dürfte nur gelten: P(An|An+1) = p, P(An|~An+1) = 0. Bei p < 1 führt das zu P(A1) = 0, was man gut damit erklären kann, dass je länger die Kette, desto wahrscheinlicher ein Ausfall. Bei p = 1 wäre P(A1) unberechenbar, es sei denn es gäbe irgendein An mit P(An) = 1, dann P(A1) = 1. Richtig?
Dabei will ich es dann auch hier bewenden lassen. Vielen Dank für deine Hilfen, zippy.
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