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| Autor |
 Definition der Interpretation (Semantik) |
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carlox
Aktiv 
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1623
 |  Themenstart: 2023-09-27
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Hallo allerseits,
Die Interpretation einer Variable, Term, Formel wird in verschiedenen Lehrbüchern verschieden formuliert.
Dies geschieht (so wie es kenne) mit Fallunterscheidungen, d.h.
Für die Interpretation eines Terms wird ein anderes Zeichen verwendet wie für die Interpretation einer Formel.
Könnte man das nicht wie folgt vereinfachen:
Vorbemerkungen:
x sei eine Variable
t sei ein Term
F sei eine Formel
$\mathfrak{A}$ sei eine Struktur
h sei eine Belegung der Variablen
Definiere:
$I(x,\mathfrak{A},h)$ = h(x) (d.h. Element der Trägermenge)
$I(t,\mathfrak{A},h)$ = Wert des Terms t (d.h. Element der Trägermenge)
$I(F,\mathfrak{A},h)$ = Wahrheitswert der Formel F (d.h. W oder F)
D.h. der Zielbereich der Abbildung I ist Trägermenge $\cup$ {W,F}
mfg
cx
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Pippen
Aktiv 
Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 244
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-27
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Kannst du nochmal wiederholen, was eine Struktur ist, vielleicht ein Beispiel?
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2961
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-09-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Man muss weder unterschiedliche Zeichen benutzen, noch künstlich dafür sorgen, dass man mit tatsächlich einer Funktion auskommt (was technisch auch nicht so funktioniert, wie du es vorschlägst). Genau so, wie $\vDash$ gewöhnlich für ca. 4 verschiedene Relationen steht, je nachdem, welcher Art die Dinge links und rechts sind (bei feststehender Signatur), kann man auch eine einzige Notation $\sem -$ (ggf. mit Gestrüpp dran) für verschiedene Interpretationsfunktionen benutzen.
Ich mach's meist ungefähr so:
(Signatur sei fixiert).
Für Mengen $X$ sei $T(X)$ die Menge aller Terme, deren freie Variablen allesamt in $X$ liegen. Die Familie $(T(X))_{X\in\mathrm{Set}}$ ist dabei induktiv definiert.
Für Mengen $X$ sei $F(X)$ die Menge aller Formeln, deren freie Variablen allesamt in $X$ liegen. Die Familie ebenfalls induktiv definiert.
Für jede Struktur $\mathfrak A$ und jede Menge $X$ haben wir ${\sem -}_\mathfrak A \colon T(X) \to |\mathfrak A|^{|\mathfrak A|^X}$, also für $t \in T(X)$: $\sem t_\mathfrak A \colon |\mathfrak A|^X \to |\mathfrak A|$. U.a. ist natürlich für Variablen $x \in X$ und Variablenbelegungen $e\colon X \to |\mathfrak A|$ unter dieser Funktion $\sem x_\mathfrak A(e) = e(x)$.
Für jede Struktur $\mathfrak A$ und jede Menge $X$ haben wir ${\sem -}_\mathfrak A \colon F(X) \to \Omega^{|\mathfrak A|^X}$, also für $\phi \in F(X)$: $\sem \phi_\mathfrak A \colon |\mathfrak A|^X \to \Omega$. Für Variablenbelegungen $e\colon X \to |\mathfrak A|$ ist $\sem \phi_\mathfrak A(e) \in \Omega$ ein Wahrheitswert.
Usw.\(\endgroup\)
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carlox
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Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1623
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-28
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\quoteon(2023-09-27 20:36 - Pippen in Beitrag No. 1)
Kannst du nochmal wiederholen, was eine Struktur ist, vielleicht ein Beispiel?
\quoteoff
Eine Struktur besteht aus einer Trägermenge (also die möglichen Belegungen aller Variablen) und den zu den Relationszeichen und Funktionszeichen zugehörigen Relationen bzw. Funktionen.
Beispiel:
$\mathfrak N$ := Struktur der natürlichen Zahlen = $(\mathbb{N}, +_\mathfrak N, *_\mathfrak N)$
mit:
$\mathbb{N}$ = Menge natürlichen Zahlen
$+_\mathfrak N$ = Addition auf den natürlichen Zahlen
$*_\mathfrak N$ = Multiplikation auf den natürlichen Zahlen
mfg
cx
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carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1623
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-29
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\quoteon(2023-09-28 00:01 - tactac in Beitrag No. 2)
Man muss weder unterschiedliche Zeichen benutzen, noch künstlich dafür sorgen, dass man mit tatsächlich einer Funktion auskommt (was technisch auch nicht so funktioniert, wie du es vorschlägst).
\quoteoff
Technisch kann man erst die Interpretation von Termen als induktiv definierte Menge aufbauen.
Dann kann man eine induktiv definierte Menge auf den Formeln aufbauen.
Dann kann man das Funktionssymbol I einführen.
Warum geht das nicht ?
mfg
cx
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