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  Ganze Funktion mit nach oben beschränktem Realteil ist konstant |
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katze1
Aktiv 
Dabei seit: 22.05.2023
Mitteilungen: 24
 |  Themenstart: 2023-09-29
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Sei g: \IC\textrightarrow\IC holomorph und M\el\ \IR mit Re(g(z))<=M für alle z \el\ \IC . Nun soll ich zeigen, dass g konstant ist.
Ich habe mir überlegt, dass ich hier den Satz von Liouville nutzen könnte. Ich müsste dann zeigen, dass es eine Konstante c\el\IR mit abs(g(z))<=c \forall\ z\el\IC gibt. Wie stelle ich das an? Nach Voraussetzung weiß ich ja erstmal nur, dass der Realteil eine obere Grenze hat (d.h. nicht mal dessen Betrag ist zwangsläufig beschränkt). Oder muss ich ganz anders dabei vorgehen?
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-29
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
du kannst zum Beispiel $|\e^{g(z)}|=\e^{\opn{Re}(g(z))}$ verwenden.
LG Nico\(\endgroup\)
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katze1
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-30
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Danke für deine Antwort! Ist es nun trivial, dass aus abs(e^(g(z)))<=e^M die Beschränktheit von abs(g(z)) folgt oder muss man das begründen? Wenn ja, wie?
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-30
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Wenn du fragen musst, dann ist es nicht trivial (zumindest nicht für dich). Es folgt zunächst einmal die Konstanz von $\varphi\colon \mathbb C\to \mathbb C, \ z\mapsto \e^{g(z)}$.
Jetzt kann man sich zum Beispiel $\varphi'(z)=0$ für alle $z\in \mathbb C$ zu Nutze machen, indem man $\varphi'(z)$ mit der Kettenregel ausrechnet.
Ein ganz anderes Argument - ohne den Umweg über die Exponentialfunktion - geht zum Beispiel mit Hilfe von Casorati-Weierstrass. $g$ hat als Funktion auf der Riemann-Sphäre eine isolierte Singularität in $\infty$. Diese kann wegen Casorati-Weierstrass keine wesentliche sein. Ein Pol kann sie auch nicht sein, weil ansonsten $g$ ein nicht konstantes Polynom wäre und damit $g(\mathbb C)=\mathbb C$ gelten würde. Es muss also eine hebbare Singularität, und $g$ damit beschränkt, sein.
LG Nico\(\endgroup\)
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katze1
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-30
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