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| Autor |
  Diophantische Gleichung mit x in der Form 2^p |
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mathemops
Junior 
Dabei seit: 12.07.2023
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2023-10-01
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Betreff: Diophantische Gleichung mit x in der Form $2^{p}$
Liebes Forum,
ich beschäftige mich ein wenig mit den diophantischen Gleichungen.
$ax + by = 1$ mit $a$, $b$ aus $\mathbb{Z}$
1.) Es gibt unendlich viele rationale Lösungen für $x$,$y$ aus $\mathbb{Q}$.
2.) Wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind [ $ggT(a,b) | 1$ ] dann gibt es unendliche viele ganzzahlige Lösungen für $x$ und $y$. ($x,y$ aus $\mathbb{Z}$)
Nun die Frage zu einer speziellen Gleichung:
$ax - 3^{n}y = 1 \ ,\ wobei \ a \ und \ 3^{n} \ teilerfremd \ sind.$
Die Variable $x$ ist aber leider $\in \mathbb{Q}$ mit der Form
$x = \frac{2^{p}}{s}$ , mit $p,s$ aus $\mathbb{N}$.
$x$ hat aber die 'angenehme' Eigenschaft, dass $ax \in \mathbb{N}$ ist.
D.h. $s|a$ , sodaß
$a=st$, mit $t \in \mathbb{N}$.
Eingesetzt ergibt das:
$st \cdot \frac{2^{p}}{s} - 3^{n}y = 1$
$t2^{p} - 3^{n}y = 1$ , mit $t,n \in \mathbb{N}$, $t$ und $3^{n}$ sind natürlich immer noch teilerfremd.
Durch die Subtraktion kann auf $\mathbb{N}$ eingeschränkt werden.
Nun zur meiner eigentlichen Frage:
Ist die Gleichung (bei gegebenen $t$ und $n$, $n>0$)
$t2^{p} - 3^{n}y = 1$
für $p,y \in \mathbb{N}$ (mit $p>0$) lösbar ?
Vielen Dank und beste Grüße
mathemops
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mathemops
Junior 
Dabei seit: 12.07.2023
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.1, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-02
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Wenn man die Gleichung umstellt,
$t2^{p} -1 = 3^{n}y$
dann erhält man auf der linken Seite, durch wiederholte Multiplikation mit 2, verschiedene gerade Zahlen von denen 1 abgezogen wird.
Eine dieser Zahlen ist sicher durch 3 teilbar.
Vom 'Gefühl' her müsste eine dieser Zahlen auch durch 3^n teilbar sein.
Aber wie beschreibt man das formell ?
Beste Grüße
mathemops
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thureduehrsen
Senior 
Dabei seit: 13.11.2007
Mitteilungen: 1778
Wohnort: Kiel, Deutschland
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-10-02
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Hallo mathemops,
\quoteon(2023-10-02 09:37 - mathemops in Beitrag No. 1)
Aber wie beschreibt man das formell ?
\quoteoff
Mittels der p-Bewertung.
mfg
thureduehrsen
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mathemops
Junior
Dabei seit: 12.07.2023
Mitteilungen: 8
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-02
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Hallo thureduehrsen,
aha, danke dir!
mfg mathemops
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mathemops hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
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