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  Abschätzung bei konkaver Funktion |
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Suppe_Helme
Aktiv 
Dabei seit: 13.05.2023
Mitteilungen: 145
 |  Themenstart: 2023-10-02
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Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Äquivalenzumformung:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56335_Bildschirmfoto_2023-10-02_um_11.39.28.png
Wenn ich diese versuche nachzuvollziehen und dabei
\(t=(1- \lambda)x+\lambda y \Leftrightarrow \lambda = \frac{t-x}{y-x}\) auflöse und dann wieder in die Gleichung eingesetzt, dabei habe ich dann erhalten:
\(f((1- \lambda)x+\lambda y) \le (1- \lambda) f(x) +\lambda f(y) \Leftrightarrow f(t) \le f(x)- \frac{t-x}{y-x} f(x) + \frac{t-x}{y-x} f(y) \Leftrightarrow \frac{f(t)-f(x)}{t-x} \le \frac{f(y)-f(x)}{y-x}\)
Allerdings ist ja bei der Umformung \(\frac{f(y)-f(t)}{y-t}\) gefordert.
Rein Intuitiv hätte ich gesagt, dass aufgrund der Voraussetzung, dass f konkav ist, folgt, dass der Differenzquotient für das kompakte Intervall \([t, y]\) immer größer gleich dem Differenzquotienten des Intervalls \([x, t]\) sein muss, da ansonsten nicht die Bedingung erfüllt wurde, sprich das f konkav ist. Jedoch weiß ich nicht ganz, wie man das formal beweist.
Ich bedanke mich schon einmal vielmals für eure Antworten
LG
Doc
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 Profil
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Mandelbluete
Senior 
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 628
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-10-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\thet}{\vartheta}
\newcommand{\Sp}{\operatorname{Sp}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\und}{\quad\text{und}\quad}\)
Huhu!
Es gibt noch eine zweite Ungleichung. Wir haben
\[
\lambda = \frac{t-x}{y-x} \und 1 - \lambda = \frac{y-t}{y-x}= \frac{t-y}{x-y}.
\]
Damit bekommen wir einerseits
\[
f(t) \leq f(x) + \lambda[f(y) - f(x)] = f(x) + \frac{f(y) - f(x)}{y-x}(t-x),
\]
andererseits
\[
f(t) \leq f(y) + (1-\lambda)[f(x) - f(y)] = f(y) + \frac{f(x) - f(y)}{x-y}(t-y).
\]
Jetzt gilt es zu beachten, daß $t-y < 0$ ist, so daß sich, wenn man dadurch teilt, die Ungleichung umdreht. Wir bekommen also insgesamt
\[
\frac{f(x) - f(t)}{x-t} \leq \frac{f(x) - f(y)}{x-y} \leq \frac{f(y) - f(t)}{y-t}, \quad t \in (x,y),
\]
und somit $x < y \implies f'(x) < f'(y)$. Weil $f$ als differenzierbar vorausgesetzt ist, genügen die einseitigen Grenzwerte.
Liebe Grüße
Mandelblüte\(\endgroup\)
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Suppe_Helme
Aktiv
Dabei seit: 13.05.2023
Mitteilungen: 145
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-02
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Hallo Madelbluete,
vielen Dank für deine Antwort, ich konnte es sehr gut nachvollziehen.
LG
Doc
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Suppe_Helme hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Suppe_Helme hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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