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Kombinatorik & Graphentheorie » Graphentheorie » Perfektes Matching im K_2n
Autor
Universität/Hochschule J Perfektes Matching im K_2n
oliare
Neu Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 04.10.2023
Mitteilungen: 2
  Themenstart: 2023-10-04

Hallo zusammen! Aufgabe: Wieviele perfekte Matchings hat der $K_{2n}$? Ansatz: Der $K_{2n}$ ist bipartit. Also lassen sich die Knoten in Menge $A$ und Menge $B$ unterteilen. Nun gibt es $(2n)!$ viele Möglichkeiten, perfekte Matchings herzustellen. Da Reihenfolge/Symmetrie keine Rolle spielen, müssen diese Anzahl jedoch korrigiert werden. Soweit verstehe ich das. Die Lösung ist $(2n)!/(2^nn!)$. Ich verstehe nicht, woher nun die $2^nn!$ kommen. Vielen Dank!

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StrgAltEntf
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Dabei seit: 19.01.2013
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Wohnort: Milchstraße
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-10-04

Hallo oliare und willkommen auf dem Matheplaneten! \(K_{2n}\) ist der vollständige Graph mit 2n Knoten und nicht bipartit. Hilft das schon weiter? Du hattest wohl den vollständigen bipartiten Graphen \(K_{n,n}\) mit n und n Knoten im Sinn. Der hat n! perfekte Matchings. Gruß StrgAltEntf

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AnnaKath
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Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 3858
Wohnort: hier und dort (s. Beruf)
  Beitrag No.2, eingetragen 2023-10-04

\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \) Huhu zusammen und auch von mir ein Willkommen auf dem MP, oliare. Als Ergänzung: Der vollständige Graph mit $2n$ Knoten (ist i.A. natürlich nicht bipartit, siehe #1) hat doch offensichtlich $(2n-1)!! = (2n-1) \cdot (2n-3) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 1$ perfekte Matchings. Wie man hier nachlesen kann, gilt auch $(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n n!}$. Das ist aber mehr ein Rechentrick; die Interpretation der Doppelfakultät erscheint mit intuitiv und unmittelbar einleuchtend. lg, AK\(\endgroup\)

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oliare
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Mitteilungen: 2
  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-10-05

Super, vielen Dank. Jetzt ist es mir klar!!

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oliare hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
oliare hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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